Фізичний маятник

Фізи́чний ма́ятник — тверде тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, що не проходить через центр маси тіла.

Фізичний маятник.
${\displaystyle O}$ — вісь підвісу;
${\displaystyle N}$ — реакція осі підвісу;
${\displaystyle G}$ — центр ваги;
${\displaystyle O'}$ — центр гойдання;
${\displaystyle \lambda }$ — зведена довжина;
${\displaystyle \theta }$ — кут відхилення маятника від рівноваги;
${\displaystyle \alpha }$ — початковий кут відхилення маятника;
${\displaystyle m}$ — маса маятника;
${\displaystyle h}$ — відстань від точки підвісу до центру ваги маятника;
${\displaystyle g}$ — прискорення вільного падіння.

Основні характеристики

Період коливань фізичного маятника визначається формулою:

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}}$,

де I — момент інерції, m — маса, d — віддаль від центра маси тіла до осі, g — прискорення вільного падіння.

Зведена довжина фізичного маятника — довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника. Вона дорівнює

${\displaystyle l_{r}={\frac {I}{md}}}$.

Диференціальне рівняння руху фізичного маятника

Момент інерції відносно осі, що проходить через точку підвісу за теоремою Штейнера:

${\displaystyle I=I_{0}+mh^{2}=m\left(r^{2}+h^{2}\right),}$

де ${\displaystyle I_{0}}$ — момент інерції відносно осі проходить через центр ваги;

${\displaystyle r}$ — ефективний радіус інерції відносно осі, що проходить через центр ваги.

Динамічне рівняння довільного обертання твердого тіла:

${\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-M_{s},}$

де ${\displaystyle M_{s}}$ — сумарний момент сил, що діють на тіло відносно осі обертання.

${\displaystyle M_{s}=M+M_{f},}$

де ${\displaystyle M}$ — момент сил, викликаний силою тяжіння;

${\displaystyle M_{f}}$ — момент сил, викликаний силами тертя середовища.

Момент викликаний силою тяжіння залежить від кута відхилення тіла від положення рівноваги:

${\displaystyle M=mgh\sin \theta }$

Якщо знехтувати опором середовища, диференціальне рівняння коливань фізичного маятника в полі сили тяжіння:

${\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgh\sin \theta }$.

Якщо розділити обидві частини рівняння на ${\displaystyle h}$ і покласти ${\displaystyle \lambda ={\frac {r^{2}+h^{2}}{h}}={\frac {r^{2}}{h}}+h,}$ то рівняння буде:

${\displaystyle \lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\sin \theta .}$

Таке рівняння аналогічне рівнянню коливань математичного маятника довжини ${\displaystyle \lambda }$. Величину ${\displaystyle \lambda }$ називають зведеною довжиною фізичного маятника.

Центр гойдання фізичного маятника

Центр гойдання — точка, в якій треба зосередити всю масу фізичного маятника, щоб його період коливань не змінився.

Помістимо на промені, що проходить від точки підвісу через центр ваги, точку на відстані ${\displaystyle \lambda }$ від точки підвісу. Ця точка і буде центром гойдання маятника.

Дійсно, якщо всю масу зосередити в центрі гойдання, то центр гойдання буде збігатися з центром ваги. Тоді момент інерції відносно осі підвісу дорівнюватиме ${\displaystyle I=m\lambda ^{2}}$, а момент сили тяжіння відносно тієї ж осі ${\displaystyle -mg\lambda \sin \theta }$. При цьому рівняння руху не зміниться.

Теорема Гюйгенса

Формулювання

Якщо фізичний маятник підвісити за центр гойдання, то його період коливань не зміниться, а колишня точка підвісу зробиться новим центром гойдання.

Доведення

Обчислимо зведену довжину нового маятника:

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {r^{2}}{r^{2}/h}}+{\frac {r^{2}}{h}}=h+{\frac {r^{2}}{h}}=\lambda }$.

Збіг зведених довжин для двох випадків і доводить твердження теореми.

Період коливань фізичного маятника

Для того, щоб знайти період коливань фізичного маятника, необхідно розв'язати рівняння гойдання.

Для цього помножимо ліву ${\displaystyle \lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=\lambda {\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)}$ і праву частини цього рівняння на ${\displaystyle d\theta }$. Тоді:

${\displaystyle \lambda {\frac {d\theta }{dt}}d\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)=-g\sin \theta \,d\theta }$.

Інтегруючи це рівняння, отримуємо:

${\displaystyle \lambda \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}=2g\cos \theta +C}$,

де ${\displaystyle C}$ — довільна стала.

Її можна знайти з граничної умови, що в моменти ${\displaystyle \theta =\pm \alpha \,\,\,,{\frac {d\theta }{dt}}=0}$. Маємо:

${\displaystyle C=-2g\cos \alpha .}$

Підставляємо і перетворюємо отримане рівняння:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=2{\sqrt {\frac {g}{\lambda }}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}.}$

Відокремлюємо змінні й інтегруємо це рівняння:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{\lambda }}}t=\int \limits _{0}^{\frac {\theta }{2}}{\frac {d\left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}.}$

Зручно зробити заміну змінної ${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin \varphi }$. Тоді шукане рівняння набуде вигляду:

${\displaystyle t={\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}={\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}F\left(\varphi \setminus \alpha /2\right).}$

Тут ${\displaystyle F\left(\varphi \setminus \alpha \right)}$ — нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 1-го роду. Для періоду коливань отримуємо формулу:

${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\,\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}=4{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\,K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right).}$

Тут ${\displaystyle K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)}$ — повний нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 1-го роду. Розкладаючи його в ряд, можна отримати зручну для практичних обчислень формулу:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots \right\}.}$

Період малих коливань фізичного маятника

Якщо ${\displaystyle \alpha \ll 1,}$ — випадок малих максимальних кутових відхилень від рівноваги, ${\displaystyle \theta <\alpha ,}$ то ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$ оскільки розклад синуса в ряд Маклорена ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta -\theta ^{3}/3\dots }$ і рівняння руху переходить у рівняння гармонійного осцилятора без тертя:

${\displaystyle \lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\theta .}$

Період коливань маятника в цьому випадку:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}.}$

В іншому формулюванні: якщо амплітуда коливань ${\displaystyle \alpha }$ мала, то корінь у знаменнику еліптичного інтеграла наближено дорівнює одиниці. Такий інтеграл легко береться, і виходить добре відома формула малих коливань:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgh}}}.}$

Ця формула дає результати прийнятної точності (помилка менш 1 %) при кутах, що не перевищують 4°.

Наступний порядок наближення можна використовувати з прийнятною точністю (помилка менше 1 %) при кутах відхилення до 1 радіана (≈57°):

${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right)={\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left(9-\cos {\alpha }\right).}$

Див. також

• Маятник
• Математичний маятник
• Крутильний маятник
• Пружинний маятник

Посилання

• Маятник // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.)
• Физический маятник // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.)