Геометричний вектор — у фізиці і математиці — величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. У фізиці існує чимало важливих величин, котрі є векторами, наприклад сила, положення, швидкість, прискорення, кутовий момент, імпульс, напруженість електричного і магнітного полів. Їх можна протиставити іншим величинам, таким, як маса, об'єм, тиск, температура та густина, які можна описати звичайним числом, їх називають «скалярами».
Графічно вектори зображають у вигляді напрямлених відрізків певної довжини . Наприклад, для графічного представлення сили величиною два ньютони треба намалювати відрізок прямої довжиною дві одиниці в напрямку дії сили. Стрілка вказує, що сила діє від точки A до точки B; якби сила діяла від B до A, то треба було б записати . Числове значення вектора називається модулем чи довжиною і позначається ||. Ця величина — скаляр. Два паралельних вектори, що мають однакові довжини, але протилежні напрямки, називаються протилежними. Якщо вектор позначено через , то протилежний йому вектор позначається через . Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим і позначається .
Два вектори називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються. У механіці цим визначенням треба користуватися з обережністю, оскільки дві рівні сили, прикладені до різних точок тіла можуть призводити до різних результатів.
Багато алгебраїчних дій мають свої аналоги і для векторів: вектори можна між собою додавати і віднімати, можна множити і ділити на числа. Для цих операцій діють багато правил алгебри, як, наприклад, комутативність, асоціативність та дистрибутивність (віднімання трактується як особливий випадок додавання). Суму двох векторів з однаковим початком можна знайти геометрично за допомогою правила паралелограма.
Вектор є тензором першого рангу.
Поняття вектора
Поняття вектора з'явилося в роботах німецького математика XIX ст. Г. Грассмана і ірландського математика В. Гамільтона; потім воно було охоче сприйняте багатьма математиками і фізиками. У сучасній математиці це поняття відіграє дуже важливу роль.
Загальний опис
В фізиці та інженерії, як правило вектор це геометрична сутність. яка характеризується величиною і напрямком. Формально він визначається за допомогою направленого відрізку, або стрілкою, в Евклідовому просторі. В чистій математиці, вектор визначається більш загально як будь-який довільний елемент векторного простору. В тому контексті, вектори це абстрактні сутності, які не обов'язково можуть характеризуватися напрямом і величиною. Це узагальнене визначення передбачає, що вищезгадані геометричні об'єкти є особливим видом векторів, і вони є елементами окремого виду векторного простору, що називається Евклідовим простором.
Термін вектор має узагальнене визначення для просторів вищого порядку і в більш формальних підходах вирішення більш широких задач.
Приклади для одного виміру
Оскільки фізичне поняття сили має напрям і величину, її можна розглядати як вектор. Наприклад, розглянемо направлену в право силу F в 15 Ньютон. Якщо позитивна вісь також направлена вправо, тоді F представляється вектором в 15 Н, а якщо додатна вісь вказує вліво, тоді вектор F становить −15 Н. У будь-якому випадку, величина вектора в 15 Н. Аналогічно, вектор, який описує переміщення Δs на 4 метра буде задаватися як 4 м або −4 м, в залежності від його напрямку, і його величина буде 4 м відповідно.
У декартовій системі координат
У декартовій системі координат, зв'язаний вектор може задаватися координатами початкової і кінцевої точки. Наприклад, точки A = (1,0,0) і B = (0,1,0) в просторі задають зв'язаний вектор , який вказує із точки x=1 на осі x на точку y=1 на осі y.
В декартовій системі координат може задаватися вільний вектор в термінах відповідного вектора, який має початкову точку на початку координат в точці O = (0,0,0). І він задається координатами кінцевої точки як задається зв'язаний вектор. В такому випадку вільний вектор представлений координатами (1,0,0) це вектор одиничної довжини, який вказує вздовж додатної осі x.
Таке представлення векторів у вигляді координат дозволяє у зручній чисельній формі виразити їх алгебраїчні властивості. Наприклад, сумою двох (вільних) векторів (1,2,3) і (−2,0,4) є (вільний) вектор
- (1, 2, 3) + (−2, 0, 4) = (1 − 2, 2 + 0, 3 + 4) = (−1, 2, 7).
Векторна алгебра
Додавання і віднімання
Припустимо, що a і b це вектори, що можуть мати довільний напрям і величину. Сумою a і b буде
Суму векторів можна показати графічно розміщуючи початок вектора b в голові вектора a, і проводячи новий вектор від початку вектора a до голови вектора b. Новий вектор, зображений стрілкою є вектором a + b, як показано нижче:
Різницею векторів a і b є
Різниця двох векторів геометрично може задаватися наступним чином: для того, щоб відняти b із a, треба розмістити початки векторів a і b в одній точці, а потім провести стрілку від голови вектора b до голови вектора a. Ця нова стрілка представляє собою вектор a − b, як показано нижче:
Множення на скаляр
Вектор може помножуватись, або бути масштабованим, на дійсне число r. В контексті , ці дійсні числа часто називають скалярами (від слова шкала) аби розрізняти їх від векторів. Операція помноження вектора на скаляр називається скалярним добутком. Результуючий вектор буде дорівнювати
Очевидно, що помноження на скаляр r масштабує вектор на величину r. Геометрично, це можна зобразити (принаймні для випадку, коли r є цілим числом) розмістивши копії вектора r разів в лінію, так що кінець одного вектора є початком кожного наступного.
Якщо r є від'ємним числом, тоді вектор змінює напрям: він розвертається на 180°. Нижче наведені два приклади (для r = −1 і r = 2):
Довжина вектора
Довжина, величина або норма вектора a позначається як ‖a‖ або, рідше, |a|, що не варто плутати із позначенням абсолютного значення (скалярною "нормою").
Довжину вектора a можна розрахувати за допомогою (Евклідової норми)
- ,
що є наслідком теореми Піфагора, оскільки базисні вектори ex, ey, ez є перпендикулярними одиничними векторами.
В деяких випадках евклідова норма дорівнює квадратному кореню із скалярного добутку, який детальніше описаний далі, вектора самого на себе:
- Одиничний вектор
Одиничний вектор — це будь-який вектор із довжиною, що дорівнює одиниці; як правило, одиничні вектори використовуються для того, щоб вказувати напрям. Щоб отримати одиничний вектор, вектор довільної довжини можна поділити на його довжину. Це називають нормалізацією вектора. Одиничний вектор як правило записують із «шапочкою» як â.
Аби нормалізувати вектор a = (a1, a2, a3), вектор масштабують за допомогою співвідношення з його довжиною ‖a‖. Тобто:
- Нульовий вектор
Нульовий вектор це вектор, довжина якого дорівнює нулю. Якщо записаний у вигляді координат, цей вектор є (0, 0, 0), і як правило позначається як , 0, або просто 0. На відміну від будь-якого іншого вектора, він має довільним, або невизначений напрямок, і його не можна нормалізувати (тобто, не існує одиничного вектора, який є множником нульового вектора). Додавання нульового вектора до будь-якого вектора a буде давати в результаті a (тобто, 0 + a = a).
Скалярний добуток
Скалярний добуток двох векторів a і b (іноді називається внутрішній добуток) позначається як a ∙ b і визначається наступним чином:
де θ це міра кута між a і b (див. тригонометричні функції, щоб знайти пояснення косинуса). геометричний зміст визначається тим, що a і b, зображаються із спільною точкою початку, і в результаті довжина вектора a помножується із довжиною проєкції вектора b, що вказує в тому ж самому напрямку, що і a.
Скалярний добуток також можна визначити як суму добутків компонентів кожного вектора, наступним чином:
Властивості векторів
Вектори є ортогональними тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.
Інколи замість цього терміну використовують «перпендикулярність», проте слід враховувати, що нульовий вектор ортогональний будь-якому вектору, але поняття перпендикулярності для нього не визначене, оскільки не визначений кут між нульовим і іншим вектором.
Колінеарність
Вектори є колінеарними тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нулю.
Часто замість цього терміну використовують термін «паралельність», проте слід враховувати, що нульовий вектор коллінеарний будь-якому вектору, але поняття паралельності для нього не визначене, оскільки не визначений кут між нульовим і іншим вектором.
Рівність векторів
Нехай i — два вектори площини (або простору). Кажуть, що вектор || дорівнює вектору , і записують = , якщо:
1)довжина відрізка AB дорівнює довжині відрізка CD;
2)промені AB i CD однаково напрямлені.
Властивості додавання векторів
1) властивість нульового вектора:
a+0=a;
2) асоціативність додавання:
(a+b)+c=a+(b+c);
3) комутативність додавання:
a+b=b+a;
1) комутативність:
λa=aλ;
2) асоціативність:
λ(μa)=(λμ)a;
3) дистрибутивність відносно додавання векторів:
λ(a+b)=λa+λb;
4) дистрибутивність відносно додавання чисел:
(μ+λ)a=μa+λa;
Застосування
Вектори застосовуються в класичній механіці Галілея — Ньютона (в її сучасному викладенні), в теорії відносності, природознавства, не кажучи вже про застосування векторів в різноманітних галузях математики.
Примітки
- Ito, 1993, с. 1678
Джерела
- Довідник з математики для середніх навчальних закладів / За ред. С. О. Степанова. — К.: Вища шк. Головне видавництво, 1998. — 416с..:іл.
Посилання
- Динамічні математичні моделі FIZMA.neT [ 23 січня 2022 у Wayback Machine.]
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Vektor znachennya Geometrichnij vektor u fizici i matematici velichina yaka harakterizuyetsya chislovim znachennyam i napryamkom U fizici isnuye chimalo vazhlivih velichin kotri ye vektorami napriklad sila polozhennya shvidkist priskorennya kutovij moment impuls napruzhenist elektrichnogo i magnitnogo poliv Yih mozhna protistaviti inshim velichinam takim yak masa ob yem tisk temperatura ta gustina yaki mozhna opisati zvichajnim chislom yih nazivayut skalyarami Grafichno vektori zobrazhayut u viglyadi napryamlenih vidrizkiv pevnoyi dovzhini AB displaystyle overrightarrow AB Napriklad dlya grafichnogo predstavlennya sili velichinoyu dva nyutoni treba namalyuvati vidrizok pryamoyi dovzhinoyu dvi odinici v napryamku diyi sili Strilka vkazuye sho sila diye vid tochki A do tochki B yakbi sila diyala vid B do A to treba bulo b zapisati BA displaystyle overrightarrow BA Chislove znachennya vektora a displaystyle vec a nazivayetsya modulem chi dovzhinoyu i poznachayetsya a displaystyle vec a Cya velichina skalyar Dva paralelnih vektori sho mayut odnakovi dovzhini ale protilezhni napryamki nazivayutsya protilezhnimi Yaksho vektor poznacheno cherez a displaystyle vec a to protilezhnij jomu vektor poznachayetsya cherez a displaystyle vec a Vektor pochatok i kinec yakogo zbigayutsya nazivayetsya nulovim i poznachayetsya 0 displaystyle vec 0 Dva vektori nazivayutsya rivnimi yaksho voni odniyeyi dovzhini i yih napryamki zbigayutsya U mehanici cim viznachennyam treba koristuvatisya z oberezhnistyu oskilki dvi rivni sili prikladeni do riznih tochok tila mozhut prizvoditi do riznih rezultativ Bagato algebrayichnih dij mayut svoyi analogi i dlya vektoriv vektori mozhna mizh soboyu dodavati i vidnimati mozhna mnozhiti i diliti na chisla Dlya cih operacij diyut bagato pravil algebri yak napriklad komutativnist asociativnist ta distributivnist vidnimannya traktuyetsya yak osoblivij vipadok dodavannya Sumu dvoh vektoriv z odnakovim pochatkom mozhna znajti geometrichno za dopomogoyu pravila paralelograma Vektor ye tenzorom pershogo rangu Ponyattya vektoraPonyattya vektora z yavilosya v robotah nimeckogo matematika XIX st G Grassmana i irlandskogo matematika V Gamiltona potim vono bulo ohoche sprijnyate bagatma matematikami i fizikami U suchasnij matematici ce ponyattya vidigraye duzhe vazhlivu rol Zagalnij opisV fizici ta inzheneriyi yak pravilo vektor ce geometrichna sutnist yaka harakterizuyetsya velichinoyu i napryamkom Formalno vin viznachayetsya za dopomogoyu napravlenogo vidrizku abo strilkoyu v Evklidovomu prostori V chistij matematici vektor viznachayetsya bilsh zagalno yak bud yakij dovilnij element vektornogo prostoru V tomu konteksti vektori ce abstraktni sutnosti yaki ne obov yazkovo mozhut harakterizuvatisya napryamom i velichinoyu Ce uzagalnene viznachennya peredbachaye sho vishezgadani geometrichni ob yekti ye osoblivim vidom vektoriv i voni ye elementami okremogo vidu vektornogo prostoru sho nazivayetsya Evklidovim prostorom Termin vektor maye uzagalnene viznachennya dlya prostoriv vishogo poryadku i v bilsh formalnih pidhodah virishennya bilsh shirokih zadach Prikladi dlya odnogo vimiru Oskilki fizichne ponyattya sili maye napryam i velichinu yiyi mozhna rozglyadati yak vektor Napriklad rozglyanemo napravlenu v pravo silu F v 15 Nyuton Yaksho pozitivna vis takozh napravlena vpravo todi F predstavlyayetsya vektorom v 15 N a yaksho dodatna vis vkazuye vlivo todi vektor F stanovit 15 N U bud yakomu vipadku velichina vektora v 15 N Analogichno vektor yakij opisuye peremishennya Ds na 4 metra bude zadavatisya yak 4 m abo 4 m v zalezhnosti vid jogo napryamku i jogo velichina bude 4 m vidpovidno U dekartovij sistemi koordinat U dekartovij sistemi koordinat zv yazanij vektor mozhe zadavatisya koordinatami pochatkovoyi i kincevoyi tochki Napriklad tochki A 1 0 0 i B 0 1 0 v prostori zadayut zv yazanij vektor AB displaystyle overrightarrow AB yakij vkazuye iz tochki x 1 na osi x na tochku y 1 na osi y V dekartovij sistemi koordinat mozhe zadavatisya vilnij vektor v terminah vidpovidnogo vektora yakij maye pochatkovu tochku na pochatku koordinat v tochci O 0 0 0 I vin zadayetsya koordinatami kincevoyi tochki yak zadayetsya zv yazanij vektor V takomu vipadku vilnij vektor predstavlenij koordinatami 1 0 0 ce vektor odinichnoyi dovzhini yakij vkazuye vzdovzh dodatnoyi osi x Take predstavlennya vektoriv u viglyadi koordinat dozvolyaye u zruchnij chiselnij formi viraziti yih algebrayichni vlastivosti Napriklad sumoyu dvoh vilnih vektoriv 1 2 3 i 2 0 4 ye vilnij vektor 1 2 3 2 0 4 1 2 2 0 3 4 1 2 7 Vektorna algebraDokladnishe Vektorna algebra Dodavannya i vidnimannya Dokladnishe div Vektornij prostir Pripustimo sho a i b ce vektori sho mozhut mati dovilnij napryam i velichinu Sumoyu a i b bude a b a1 b1 e1 a2 b2 e2 a3 b3 e3 displaystyle mathbf a mathbf b a 1 b 1 mathbf e 1 a 2 b 2 mathbf e 2 a 3 b 3 mathbf e 3 Sumu vektoriv mozhna pokazati grafichno rozmishuyuchi pochatok vektora b v golovi vektora a i provodyachi novij vektor vid pochatku vektora a do golovi vektora b Novij vektor zobrazhenij strilkoyu ye vektorom a b yak pokazano nizhche Dodavannya dvoh vektoriv a i b Rizniceyu vektoriv a i b ye a b a1 b1 e1 a2 b2 e2 a3 b3 e3 displaystyle mathbf a mathbf b a 1 b 1 mathbf e 1 a 2 b 2 mathbf e 2 a 3 b 3 mathbf e 3 Riznicya dvoh vektoriv geometrichno mozhe zadavatisya nastupnim chinom dlya togo shob vidnyati b iz a treba rozmistiti pochatki vektoriv a i b v odnij tochci a potim provesti strilku vid golovi vektora b do golovi vektora a Cya nova strilka predstavlyaye soboyu vektor a b yak pokazano nizhche Vidnimannya dvoh vektoriv a i bMnozhennya na skalyar Skalyarnij dobutok vektora na chislo 3 zbilshuye vektor v tri razi Vektor mozhe pomnozhuvatis abo buti masshtabovanim na dijsne chislo r V konteksti ci dijsni chisla chasto nazivayut skalyarami vid slova shkala abi rozriznyati yih vid vektoriv Operaciya pomnozhennya vektora na skalyar nazivayetsya skalyarnim dobutkom Rezultuyuchij vektor bude dorivnyuvati ra ra1 e1 ra2 e2 ra3 e3 displaystyle r mathbf a ra 1 mathbf e 1 ra 2 mathbf e 2 ra 3 mathbf e 3 Ochevidno sho pomnozhennya na skalyar r masshtabuye vektor na velichinu r Geometrichno ce mozhna zobraziti prinajmni dlya vipadku koli r ye cilim chislom rozmistivshi kopiyi vektora r raziv v liniyu tak sho kinec odnogo vektora ye pochatkom kozhnogo nastupnogo Yaksho r ye vid yemnim chislom todi vektor zminyuye napryam vin rozvertayetsya na 180 Nizhche navedeni dva prikladi dlya r 1 i r 2 Skalyarni dobutki a i 2a vektora a Dovzhina vektora Dovzhina velichina abo norma vektora a poznachayetsya yak a abo ridshe a sho ne varto plutati iz poznachennyam absolyutnogo znachennya skalyarnoyu normoyu Dovzhinu vektora a mozhna rozrahuvati za dopomogoyu Evklidovoyi normi a ax2 ay2 az2 displaystyle left mathbf a right sqrt a x 2 a y 2 a z 2 sho ye naslidkom teoremi Pifagora oskilki bazisni vektori ex ey ez ye perpendikulyarnimi odinichnimi vektorami V deyakih vipadkah evklidova norma dorivnyuye kvadratnomu korenyu iz skalyarnogo dobutku yakij detalnishe opisanij dali vektora samogo na sebe a a a displaystyle left mathbf a right sqrt mathbf a cdot mathbf a Odinichnij vektorNormalizaciya vektora a do odinichnogo vektoru aDokladnishe Odinichnij vektor Odinichnij vektor ce bud yakij vektor iz dovzhinoyu sho dorivnyuye odinici yak pravilo odinichni vektori vikoristovuyutsya dlya togo shob vkazuvati napryam Shob otrimati odinichnij vektor vektor dovilnoyi dovzhini mozhna podiliti na jogo dovzhinu Ce nazivayut normalizaciyeyu vektora Odinichnij vektor yak pravilo zapisuyut iz shapochkoyu yak a Abi normalizuvati vektor a a1 a2 a3 vektor masshtabuyut za dopomogoyu spivvidnoshennya z jogo dovzhinoyu a Tobto a a a a1 a e1 a2 a e2 a3 a e3 displaystyle mathbf hat a frac mathbf a left mathbf a right frac a 1 left mathbf a right mathbf e 1 frac a 2 left mathbf a right mathbf e 2 frac a 3 left mathbf a right mathbf e 3 Nulovij vektor Nulovij vektor ce vektor dovzhina yakogo dorivnyuye nulyu Yaksho zapisanij u viglyadi koordinat cej vektor ye 0 0 0 i yak pravilo poznachayetsya yak 0 displaystyle vec 0 0 abo prosto 0 Na vidminu vid bud yakogo inshogo vektora vin maye dovilnim abo neviznachenij napryamok i jogo ne mozhna normalizuvati tobto ne isnuye odinichnogo vektora yakij ye mnozhnikom nulovogo vektora Dodavannya nulovogo vektora do bud yakogo vektora a bude davati v rezultati a tobto 0 a a Skalyarnij dobutok Dokladnishe Skalyarnij dobutok Skalyarnij dobutok dvoh vektoriv a i b inodi nazivayetsya vnutrishnij dobutok poznachayetsya yak a b i viznachayetsya nastupnim chinom a b a b cos 8 displaystyle mathbf a cdot mathbf b left mathbf a right left mathbf b right cos theta de 8 ce mira kuta mizh a i b div trigonometrichni funkciyi shob znajti poyasnennya kosinusa geometrichnij zmist viznachayetsya tim sho a i b zobrazhayutsya iz spilnoyu tochkoyu pochatku i v rezultati dovzhina vektora a pomnozhuyetsya iz dovzhinoyu proyekciyi vektora b sho vkazuye v tomu zh samomu napryamku sho i a Skalyarnij dobutok takozh mozhna viznachiti yak sumu dobutkiv komponentiv kozhnogo vektora nastupnim chinom a b a1b1 a2b2 a3b3 displaystyle mathbf a cdot mathbf b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 Vlastivosti vektorivOrtogonalnist Vektori ye ortogonalnimi todi i tilki todi koli yihnij skalyarnij dobutok dorivnyuye nulyu Inkoli zamist cogo terminu vikoristovuyut perpendikulyarnist prote slid vrahovuvati sho nulovij vektor ortogonalnij bud yakomu vektoru ale ponyattya perpendikulyarnosti dlya nogo ne viznachene oskilki ne viznachenij kut mizh nulovim i inshim vektorom Kolinearnist Vektori ye kolinearnimi todi i tilki todi koli yihnij vektornij dobutok dorivnyuye nulyu Chasto zamist cogo terminu vikoristovuyut termin paralelnist prote slid vrahovuvati sho nulovij vektor kollinearnij bud yakomu vektoru ale ponyattya paralelnosti dlya nogo ne viznachene oskilki ne viznachenij kut mizh nulovim i inshim vektorom Rivnist vektoriv Nehaj AB displaystyle vec AB i CD displaystyle vec CD dva vektori ploshini abo prostoru Kazhut sho vektor AB displaystyle vec AB dorivnyuye vektoru CD displaystyle vec CD i zapisuyut AB displaystyle vec AB CD displaystyle vec CD yaksho 1 dovzhina vidrizka AB dorivnyuye dovzhini vidrizka CD 2 promeni AB i CD odnakovo napryamleni Vlastivosti dodavannya vektoriv 1 vlastivist nulovogo vektora a 0 a 2 asociativnist dodavannya a b c a b c 3 komutativnist dodavannya a b b a Vlastivosti mnozhennya vektora na chislo 1 komutativnist la al 2 asociativnist l ma lm a 3 distributivnist vidnosno dodavannya vektoriv l a b la lb 4 distributivnist vidnosno dodavannya chisel m l a ma la ZastosuvannyaVektori zastosovuyutsya v klasichnij mehanici Galileya Nyutona v yiyi suchasnomu vikladenni v teoriyi vidnosnosti prirodoznavstva ne kazhuchi vzhe pro zastosuvannya vektoriv v riznomanitnih galuzyah matematiki PrimitkiIto 1993 s 1678DzherelaDovidnik z matematiki dlya serednih navchalnih zakladiv Za red S O Stepanova K Visha shk Golovne vidavnictvo 1998 416s il PosilannyaDinamichni matematichni modeli FIZMA neT 23 sichnya 2022 u Wayback Machine Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi