Кутовий момент

Моме́нт і́мпульсу (також: кутовий момент, момент кількості руху) — векторна величина, що характеризує величину та напрямок обертального руху тіла. Для матеріальної точки вона дорівнює векторному добутку радіус-вектора точки ${\displaystyle \mathbf {r} }$ та її імпульсу ${\displaystyle \mathbf {p} }$.

Момент імпульсу
Розмірність	${\displaystyle {\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}}$
Формула	${\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}}$^[1]^[2]
Позначення у формулі	${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ і ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$
Символ величини (LaTeX)	${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$^[2]
Підтримується Вікіпроєктом
Рекомендована одиниця вимірювання	^d^[2]^[3]
Момент імпульсу у Вікісховищі

Момент імпульсу в класичній механіці

Зв'язок між імпульсом ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {p} }}$ і моментом ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {L} }}$

Зовнішні відеофайли
	1. Що таке момент імпульсу (кутовий момент) // Канал «Цікава наука» на YouTube, 13 квітня 2021.

Визначення

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно початку координат в класичній механіці є псевдовектор, який дорівнює векторному добутку радіус-вектора даної точки та її імпульсу:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

Відповідно,

• ${\displaystyle \mathbf {L} }$ — момент імпульсу;
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радіус-вектор;
• ${\displaystyle \mathbf {p} }$ — імпульс.

Якщо фізична система складається з багатьох матеріальних точок, то результуючий момент імпульсу відносно початку координат є сумою (інтегралом) усіх моментів імпульсу складових системи.

Для багатьох практичних задач, які вивчають властивості об'єкта, що обертається навколо певної осі, достатньо проаналізувати скалярне значення моменту імпульсу ${\displaystyle L}$, яке є проєкцією вектора моменту імпульсу на дану вісь і може бути як додатним, так і від'ємним. Ця величина також називається моментом імпульсу відносно осі. Відповідно до визначення векторного добутку векторів, скаляр моменту імпульсу визначається як

${\displaystyle L=|\mathbf {r_{\perp }} ||\mathbf {p_{\perp }} |\sin \theta _{r,p}}$,

де ${\displaystyle \mathbf {r_{\perp }} }$ та ${\displaystyle \mathbf {p_{\perp }} }$ — проєкції векторів ${\displaystyle \mathbf {r} }$ та ${\displaystyle \mathbf {p} }$ на площину, що перпендикулярна даній осі, ${\displaystyle \theta _{r,p}}$ — кут між ${\displaystyle \mathbf {r_{\perp }} }$ та ${\displaystyle \mathbf {p_{\perp }} }$, який вимірюється від ${\displaystyle \mathbf {r_{\perp }} }$ до ${\displaystyle \mathbf {p_{\perp }} }$; такий порядок обходу векторів при визначенні кута є принциповим. Якщо порядок змінити на зворотний, зміниться й знак.

Для тіла сталої маси, яке обертається навколо фіксованої осі, момент імпульсу можна визначити як добуток моменту інерції тіла відносно цієї осі та кутової швидкості обертання тіла:

${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}$,

де ${\displaystyle I}$ — скалярний момент інерції, ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ — вектор кутової швидкості. У випадку довільного обертання величина ${\displaystyle I}$ є тензором другого рангу і називається тензором інерції. Тоді ${\displaystyle \mathbf {L} }$ може бути непаралельним до ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$.

Момент імпульсу у Спеціальній теорії відносності та класичній теорії поля

У Спеціальній теорії відносності вектор моменту імпульсу дає компоненти антисиметричного тензора другого рангу - тензора моменту імпульсу та спіну:

${\displaystyle \ L_{\alpha \beta }=x_{\alpha }p_{\beta }-x_{\beta }p_{\alpha }}$,

або, у явному вигляді,

${\displaystyle \ L_{\alpha \beta }=(\mathbf {G} ,\mathbf {L} )={\begin{pmatrix}0&-G_{x}&-G_{y}&-G_{z}\\G_{x}&0&L_{z}&-L_{y}\\G_{y}&-L_{z}&0&L_{x}\\G_{z}&L_{y}&-L_{x}&0\end{pmatrix}}}$,

де ${\displaystyle \ \mathbf {L} =[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ],\quad \mathbf {G} ={\frac {E}{c}}\mathbf {r} -ct\mathbf {p} }$ - вектори моменту імпульсу та спіну.

Тензорне представлення вектора моменту імпульсу слідує з того, що перетворення Лоренца даного вектора збігається з перетворенням Лоренца компонент антисиметричного тензора.

У рамках класичної теорії поля тензором моменту імпульсу та спіну називають струм, який відповідає інваріантності лагранжіану поля по відношенню до перетворень Лоренца, які можна інтерпретувати як повороти у 4-просторі-часі:

${\displaystyle \ J_{\mu ,\alpha \beta }=L_{\mu ,\alpha \beta }+S_{\mu ,\alpha \beta }=(x_{\alpha }T_{\mu \beta }-x_{\beta }T_{\mu \alpha })+{\frac {\partial L}{\partial (\partial ^{\mu }\Psi _{k})}}Y_{k,\alpha \beta }}$,

де ${\displaystyle \ T_{\alpha \beta }}$ - тензор енергії-імпульсу, ${\displaystyle \ \Psi _{k}}$ - поле, ${\displaystyle \ Y_{k,\alpha \beta }}$ - величина-похідна, що визначає трансформаційні властивості поля по відношенню до перетворення Лоренца.

Наявність спінової частини у тензорі моменту імпульсу та спіну тісно пов'язано із симетрією тензора енергії-імпульсу відносно перестановки індексів. Якщо тензор енергії-імпульсу симетричний, то кутова та спінова частини тензору моменту імпульсу та спіну зберігаються (у термінах теорії поля) окремо. Якщо ж провести процедуру "занесення" спінової частини до кутової тензору моменту імпульсу та спіну, то одночасно із цим можна симетризувати тензор енергії-імпульсу. Така процедура називається процедурою Беліфанте. ${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$

Закон збереження моменту імпульсу

Момент імпульсу — одна з фізичних величин, для якої діє фундаментальний закон збереження.

Назвемо замкненою (в сенсі обертання) таку систему, для якої сума моментів зовнішніх сил ${\displaystyle \mathbf {M} }$ дорівнює нулю. Для такої системи

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\sum {\boldsymbol {M_{i}}}=0}$,

звідки

${\displaystyle \mathbf {L} ={\text{const}}}$.

Тобто, в замкненій системі момент імпульсу зберігається незмінним. Як випливає з теореми Нетер, таке твердження є наслідком ізотропності (тобто рівноцінності всіх напрямів) простору.

Момент імпульсу у квантовій фізиці

Докладніше: Оператор кутового моменту

В квантовій механіці момент імпульсу визначається не як фізична величина, а як оператор над вектором стану.

Оператор моменту імпульсу має вигляд:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

де r та p — оператори радіус-вектора та імпульсу системи. Для вільної частинки без спіну та електричного заряду, оператор моменту імпульсу може бути наведений в такій формі:

${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )}$, де ${\displaystyle \nabla }$ — оператор Гамільтона.

Окремі компоненти оператора моменту імпульсу не комутують між собою. Внаслідок цього їх неможливо визначити одночасно. Детальніше дивись в статті оператор кутового моменту.

Див. також

• Теорема про зміну моменту імпульсу системи

Примітки

1. 4-12 // Quantities and units—Part 4: Mechanics — 1 — ISO, 2006. — 24 p.
   d:Track:Q26711933d:Track:Q15028
2. 4-11 // Quantities and units — Part 4: Mechanics — 2 — ISO, 2019. — 15 с.
   d:Track:Q15028d:Track:Q73391977
3. 4-12.a // Quantities and units—Part 4: Mechanics — 1 — ISO, 2006. — 24 p.
   d:Track:Q26711933d:Track:Q15028

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
• Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М. : Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М. : Мир, 1990. — 720 с.
• Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л. : Наука, 1975. — 441 с.
• Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М. : Мир, 1993. — 352 с.