Бінарний оператор

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Операція.

Біна́рна опера́ція (двомісна операція) — це математичне правило комбінування двох елементів (які називаються операндами), для отримання іншого елемента. Формально, це операція арності 2 (див. Містність операції).

Бінарна операція
Попередник	унарна операція
Наступник	тернарна операція
Підтримується Вікіпроєктом
Бінарна операція у Вікісховищі

Визначення

Бінарною операцією на множині ${\displaystyle \,S}$ є відображення декартового добутку ${\displaystyle \,S\times S}$ в множину ${\displaystyle \,S}$:

${\displaystyle \,f\colon S\times S\rightarrow S.}$

Бінарні операції часто записують за допомогою інфікса, наприклад, a * b, a + b, a • b, замість функціонального запису f(a, b).

Іноді елементи просто пишуть одне за одним без інфікса: ab.

Бінарні операції є наріжним каменем алгебричних структур, що їх вивчають в абстрактній алгебрі.

Бінарні операції входять в означення таких структур, як групи, моноїди, напівгрупи, кільця, поля тощо.

За визначенням: магма є множиною з довільною бінарною операцією на ній.

Типи бінарних операцій

Багато бінарних операцій, що становлять інтерес, є комутативними чи асоціативними. Багато з них також мають нейтральний елемент та обернені елементи.

Типовими прикладами таких бінарних операцій є додавання (+) і множення (*) чисел та матриць.

Прикладами некомутативних бінарних операцій є віднімання (-), ділення (/), піднесення до степеня (^), композиція функцій.

Деякі операції мають властивість ідемпотентності чи дистрибутивності.

Приклади бінарних операцій

• арифметичні дії з числами: додавання, віднімання, множення, ділення;
• додавання, множення матриць;
• об'єднання і перетин множин;
• добуток графів.

Зовнішні бінарні операції

Зовнішня бінарна операція — це бінарна операція з ${\displaystyle \,K\times S}$ в ${\displaystyle \,S}$. Вона відрізняється від бінарної операції тим, що K не обов'язково є S, її елементи беруться "зовні".

Прикладом зовнішньої бінарної операції є множення на скаляр в лінійній алгебрі. В цьому випадку K є полем, а S — векторним простором над цим полем.

Зовнішню бінарну операцію можна з іншого боку розглядати як (групову дію): K діє на S.

Див. також

• Арність
• Унарна операція
• Тернарна операція

Література

• Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)
• Bourbaki. Algebra, Part I. — Hermann, 1973. — С. 516. — (Елементи математики)(англ.)
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)

Посилання

• Jessica K. Sklar. Pacific Lutheran University 2.1: Бінарні операції та структури
• Жучок Ю.В. (2020) Класифікація двоелементних допельнапівгруп. Фізико-математична освіта. 2020. Випуск 3(25). Частина 2. С. 38-42. DOI:10.31110/2413-1571-2020-025-3-023
• Weisstein, Eric W. Binary Operation(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Бінарна операція // ВУЕ