Спектр кільця

Спектр кільця — множина простих власних ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ кільця R. Зазвичай на спектрі задається топологія Зариського. Іноді розглядають максимальний спектр ${\displaystyle \mathrm {Specm} (R)\,}$ — підпростір простору ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)\,}$, що складається із замкнутих точок.

Властивості

• Простір ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ несе пучок локальних кілець ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathrm {Spec} (R))}$ , званий структурним пучком. Для точки ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)}$ шар пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathrm {Spec} (R))}$ над ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — це локалізація ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ кільця R щодо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.

• Будь-якому гомоморфізму кілець ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B}$, що переводить одиницю в одиницю, відповідає неперервне відображення ${\displaystyle \varphi ^{*}:{\mathfrak {p}}\mapsto \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$ . Якщо N — нільрадикал кільця А, то природне відображення ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R/N)\mapsto \mathrm {Spec} (R)}$ є гомеоморфізмом топологічних просторів.

• Для ненільпотентного елементу ${\displaystyle f\in R}$ нехай ${\displaystyle D(f)=\mathrm {Spec} (R)\setminus V(f)}$, де ${\displaystyle V(f)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)|f\in {\mathfrak {p}}\}}$. Тоді простори D(f) і ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)_{(f)}}$, де ${\displaystyle (R)_{(f)}}$ — локалізація R відносно f, є ізоморфними. Множини D(f) називаються головними відкритими множинами. Вони утворюють базис топологічного простору ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ .
• Точка ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)}$ замкнута тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — максимальний ідеал кільця R.

• Зіставляючи точці ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ її замикання ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {p}}}}$ в ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)\,}$, одержується взаємно однозначна відповідність між точками простору ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)\,}$ і множиною замкнутих незвідних підмножин в ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)\,}$.
• Простір ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)\,}$ є квазікомпактним, але, як правило, не є гаусдорфовим. Розмірністю простору ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)\,}$ називається найбільше n, для якого існує послідовність відмінних замкнутих незвідних множин ${\displaystyle Z_{0}\subset \ldots \subset Z_{n}\subseteq \mathrm {Spec} (R)}$.

• Багато властивостей кільця R можна охарактеризувати в термінах топологічного простору ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)\,}$. Наприклад кільце R нетерове тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)\,}$ — нетеровий простір; простір ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)\,}$ є незвідним тоді і тільки тоді, коли кільце R/N є областю цілісності; розмірність ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ збігається з розмірністю Круля кільця R і т.д.
• Для кожної підмножини ${\displaystyle U\subset \mathop {\mathrm {Spec} } (R)}$ яка є одночасно відкритою і замкнутою у топології Зариського існує єдиний ідемпотент ${\displaystyle e\in R}$ для якого ${\displaystyle U=D(e)}$. Таким чином одержується бієкція між підмножинами ${\displaystyle U\subset \mathop {\mathrm {Spec} } (R),}$ що є одночасно відкритими і замкнутими і ідемпотентами ${\displaystyle e\in R}$.
• Нехай ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Spec} } (R)=U\amalg V}$ де ${\displaystyle U}$ і ${\displaystyle V}$ є відкритими (і, відповідно, також замкнутими) підмножинами. Тоді ${\displaystyle R\cong R_{e}\times R_{1-e}}$ ${\displaystyle e\in R}$ для якого ${\displaystyle U\cong \mathop {\mathrm {Spec} } (R_{e})}$ і ${\displaystyle V\cong \mathop {\mathrm {Spec} } (R_{1-e}).}$

Див. також

• Простий ідеал
• Схема (математика)
• Топологія Зариського

Література

• Атья М., Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.