Інверсія (від лат. inversio «звернення») відносно кола — перетворення евклідової площини, що переводить узагальнені кола (кола або прямі) в узагальнені кола, при якому одне з кіл поточково переводиться в себе.
Визначення
Нехай на евклідовій площині задано деяке коло з центром (що називається полюсом або центром інверсії, ця точка виколота) і радіусом . Інверсія точки щодо є точка , що лежить на промені така, що
Інверсія переводить внутрішню область кола у зовнішню, і назад.
Часто до площини додають «нескінченно віддалену точку» і вважають її інверсним образом , а — інверсним образом . У цьому випадку інверсія є бієктивним перетворенням цієї розширеної «колової площини».
Аналогічно визначається інверсія евклідового простору щодо сфери та інверсія в евклідових просторах більш високих розмірностей.
Властивості
Інверсія відносно кола з центром O має такі основні властивості:
- Інверсія є інволюцією: якщо точка P переходить у точку Q, то і точка Q переходить у точку P.
- Пряма, що проходить через O, переходить у себе.
- Пряма, що не проходить через O, переходить у коло, що проходить через O з виколотою точкою O; і навпаки, коло, що проходить через O, переходить у пряму, яка не проходить через O.
- Коло, яке не проходить через O, переходить у коло, яке не проходить через O (при цьому образ його центру не є центром образу).
- Інверсія є конформним відображенням другого роду (тобто вона зберігає кути між кривими і змінює орієнтацію).
- Коло або пряма, перпендикулярна до , переходить у себе.
Побудова
Отримати образ P' точки P при інверсії відносно даного кола з центром O можна таким чином:
- Якщо відстань від P до O більша, ніж радіус кола — провести з P дотичну до кола, тоді перпендикуляр до прямої OP з точки дотику перетне цю пряму в шуканій точці P'
- Якщо відстань від P до O менша, ніж радіус кола — провести через P перпендикуляр до OP, а через точку його перетину з колом — дотичну до нього, яка перетне OP в шуканій точці P'
- Якщо відстань від P до O дорівнює радіусу кола, образ P збіжиться з нею самою.
Координатні подання
Інверсія відносно одиничного кола з центром у початку координат задається співвідношенням
- .
Якщо точку площини задати однієї комплексною координатою , то цей вираз можна подати у вигляді
- ,
де — комплексно спряжене число для . Дана функція комплексної змінної є антиголоморфною, звідки, зокрема, слідує конформність інверсії.
У загальному випадку інверсія щодо кола з центром у точці і радіусом задається співвідношенням
- .
Полярні координати
Інверсія відносно кола радіусом з центром у початку координат задається співвідношенням
- .
Застосування
- Застосуванням інверсії розв'язується задача Аполлонія.
- На властивості інверсії ґрунтується механізм Ліпкіна — Посельє.
- Застосуванням інверсії доводиться теорема Мора — Маскероні, яка стверджує, що всі побудови, які можна зробити за допомогою циркуля і лінійки можна зробити за допомогою циркуля (пряма вважається побудованою, якщо відомі дві її точки)
Варіації та узагальнення
Інверсія відносно конічного перерізу
Можна визначити інверсію щодо довільного невиродженого конічного перетину, з тією лише різницею, що величина буде (змінною) відстанню від центра відповідної кривої (у випадку еліпса і гіперболи) до точок перетину цієї кривої з прямою .
У разі інверсії відносно гіперболи, залежно від сектора, в якому знаходиться точка між асимптотами, можливий випадок, коли пряма не перетинається з гіперболою. Тоді для обчислення береться точка перетину цієї прямої зі спряженою гіперболою (якщо тільки точка не лежить на асимптоті), а відповідна величина береться зі знаком мінус, тобто промінь спрямовується в бік, протилежний до променя .
Інверсія відносно параболи — це просто симетричне відображення відносно неї вздовж прямої, паралельної осі параболи.
Альтернативне визначення — інверсія відносно конічного перерізу як середина хорди, що відтинається полярою точки відносно на . Однак у випадку, коли відповідна поляра не перетинає для повноти визначення доводиться застосовувати це, часткове, визначення у "зворотному напрямку" ( — це така точка, що є серединою хорди, яку відтинає поляра на ), що не завжди зручно.
Див. також
Примітки
- Погорелов А. В. Геометрия. — М. : Наука, 1983. — С. 41—42.
- Жижилкин, 2009.
- Курант, 2000.
Посилання
- Ануфриенко С. А. Симметрия относительно окружности [ 1 вересня 2019 у Wayback Machine.].
- Бакельман И. Я. Инверсия [ 23 жовтня 2019 у Wayback Machine.]. [ru], Вып. 44, М., Наука, 1966.
- Жижилкин И. Д. Инверсия.. — М. : МЦНМО, 2009.
- Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — М. : МЦМО, 2000. — С. Гл. III, § 4.. — ISBN 5–900916–45–6.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Inversiya vid lat inversio zvernennya vidnosno kola peretvorennya evklidovoyi ploshini sho perevodit uzagalneni kola kola abo pryami v uzagalneni kola pri yakomu odne z kil potochkovo perevoditsya v sebe Kardioyida inversiya paraboliViznachennyaInversiya Nehaj na evklidovij ploshini zadano deyake kolo G displaystyle Gamma z centrom O displaystyle O sho nazivayetsya polyusom abo centrom inversiyi cya tochka vikolota i radiusom R displaystyle R Inversiya tochki P displaystyle P shodo G displaystyle Gamma ye tochka P displaystyle P sho lezhit na promeni O P displaystyle OP taka sho O P O P R 2 displaystyle OP cdot OP R 2 Inversiya perevodit vnutrishnyu oblast kola u zovnishnyu i nazad Chasto do ploshini dodayut neskinchenno viddalenu tochku displaystyle infty i vvazhayut yiyi inversnim obrazom O displaystyle O a O displaystyle O inversnim obrazom displaystyle infty U comu vipadku inversiya ye biyektivnim peretvorennyam ciyeyi rozshirenoyi kolovoyi ploshini Analogichno viznachayetsya inversiya evklidovogo prostoru shodo sferi ta inversiya v evklidovih prostorah bilsh visokih rozmirnostej VlastivostiObraz centru kola ne ye centrom obrazu Inversiya vidnosno kola G displaystyle Gamma z centrom O maye taki osnovni vlastivosti Inversiya ye involyuciyeyu yaksho tochka P perehodit u tochku Q to i tochka Q perehodit u tochku P Pryama sho prohodit cherez O perehodit u sebe Pryama sho ne prohodit cherez O perehodit u kolo sho prohodit cherez O z vikolotoyu tochkoyu O i navpaki kolo sho prohodit cherez O perehodit u pryamu yaka ne prohodit cherez O Kolo yake ne prohodit cherez O perehodit u kolo yake ne prohodit cherez O pri comu obraz jogo centru ne ye centrom obrazu Inversiya ye konformnim vidobrazhennyam drugogo rodu tobto vona zberigaye kuti mizh krivimi i zminyuye oriyentaciyu Kolo abo pryama perpendikulyarna do G displaystyle Gamma perehodit u sebe PobudovaPobudova obrazu tochki pri inversiyi shodo kola Otrimati obraz P tochki P pri inversiyi vidnosno danogo kola z centrom O mozhna takim chinom Yaksho vidstan vid P do O bilsha nizh radius kola provesti z P dotichnu do kola todi perpendikulyar do pryamoyi OP z tochki dotiku peretne cyu pryamu v shukanij tochci P Yaksho vidstan vid P do O mensha nizh radius kola provesti cherez P perpendikulyar do OP a cherez tochku jogo peretinu z kolom dotichnu do nogo yaka peretne OP v shukanij tochci P Yaksho vidstan vid P do O dorivnyuye radiusu kola obraz P zbizhitsya z neyu samoyu Koordinatni podannyaDekartovi koordinati Inversiya vidnosno odinichnogo kola z centrom u pochatku koordinat zadayetsya spivvidnoshennyam x y x x 2 y 2 y x 2 y 2 displaystyle x y mapsto left frac x x 2 y 2 frac y x 2 y 2 right Yaksho tochku ploshini zadati odniyeyi kompleksnoyu koordinatoyu z x i y displaystyle z x iy to cej viraz mozhna podati u viglyadi z z 1 displaystyle z mapsto bar z 1 de z displaystyle bar z kompleksno spryazhene chislo dlya z displaystyle z Dana funkciya kompleksnoyi zminnoyi ye antigolomorfnoyu zvidki zokrema sliduye konformnist inversiyi U zagalnomu vipadku inversiya shodo kola z centrom u tochci O x 0 y 0 displaystyle O x 0 y 0 i radiusom r displaystyle r zadayetsya spivvidnoshennyam x y x 0 r 2 x x 0 x x 0 2 y y 0 2 y 0 r 2 y y 0 x x 0 2 y y 0 2 displaystyle x y mapsto left x 0 frac r 2 x x 0 x x 0 2 y y 0 2 y 0 frac r 2 y y 0 x x 0 2 y y 0 2 right Polyarni koordinati Dokladnishe Polyarna sistema koordinat Inversiya vidnosno kola radiusom r displaystyle r z centrom u pochatku koordinat zadayetsya spivvidnoshennyam ϕ r ϕ r 2 r displaystyle phi rho mapsto phi r 2 rho ZastosuvannyaZastosuvannyam inversiyi rozv yazuyetsya zadacha Apolloniya Na vlastivosti inversiyi gruntuyetsya mehanizm Lipkina Poselye Zastosuvannyam inversiyi dovoditsya teorema Mora Maskeroni yaka stverdzhuye sho vsi pobudovi yaki mozhna zrobiti za dopomogoyu cirkulya i linijki mozhna zrobiti za dopomogoyu cirkulya pryama vvazhayetsya pobudovanoyu yaksho vidomi dvi yiyi tochki Variaciyi ta uzagalnennyaInversiya vidnosno konichnogo pererizu Mozhna viznachiti inversiyu shodo dovilnogo nevirodzhenogo konichnogo peretinu z tiyeyu lishe rizniceyu sho velichina R displaystyle R bude zminnoyu vidstannyu vid centra O displaystyle O vidpovidnoyi krivoyi u vipadku elipsa i giperboli do tochok peretinu ciyeyi krivoyi z pryamoyu O P displaystyle OP U razi inversiyi vidnosno giperboli zalezhno vid sektora v yakomu znahoditsya tochka P displaystyle P mizh asimptotami mozhlivij vipadok koli pryama O P displaystyle OP ne peretinayetsya z giperboloyu Todi dlya obchislennya R displaystyle R beretsya tochka peretinu ciyeyi pryamoyi zi spryazhenoyu giperboloyu yaksho tilki tochka P displaystyle P ne lezhit na asimptoti a vidpovidna velichina R 2 displaystyle R 2 beretsya zi znakom minus tobto promin O P displaystyle OP spryamovuyetsya v bik protilezhnij do promenya O P displaystyle OP Inversiya vidnosno paraboli ce prosto simetrichne vidobrazhennya vidnosno neyi vzdovzh pryamoyi paralelnoyi osi paraboli Alternativne viznachennya inversiya vidnosno konichnogo pererizu K displaystyle mathcal K yak seredina hordi sho vidtinayetsya polyaroyu tochki P displaystyle P vidnosno K displaystyle mathcal K na K displaystyle mathcal K Odnak u vipadku koli vidpovidna polyara ne peretinaye K displaystyle mathcal K dlya povnoti viznachennya dovoditsya zastosovuvati ce chastkove viznachennya u zvorotnomu napryamku P displaystyle P ce taka tochka sho P displaystyle P ye seredinoyu hordi yaku vidtinaye polyara P displaystyle P na K displaystyle mathcal K sho ne zavzhdi zruchno Div takozhInversiya krivoyiPrimitkiPogorelov A V Geometriya M Nauka 1983 S 41 42 Zhizhilkin 2009 Kurant 2000 PosilannyaAnufrienko S A Simmetriya otnositelno okruzhnosti 1 veresnya 2019 u Wayback Machine Bakelman I Ya Inversiya 23 zhovtnya 2019 u Wayback Machine ru Vyp 44 M Nauka 1966 Zhizhilkin I D Inversiya M MCNMO 2009 Kurant R Robbins G Chto takoe matematika M MCMO 2000 S Gl III 4 ISBN 5 900916 45 6 Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr