Площина Мебіуса

Площина Мебіуса (також колова площина і інверсна площина) — площина, описувана системою аксіом ідентичності, в якій основну роль відіграють точки і так звані узагальнені кола.

Прикладом колової площини є евклідова площина, доповнена однією ідеальною точкою (${\displaystyle \infty }$). Узагальненими колами є звичайні кола, а також звичайні прямі, доповнені точкою ${\displaystyle \infty }$, відношення інцидентності — відношення належності.

Колова площина: аксіоми (A1), (A2)

Визначення

Колова площина це структура інцидентності ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=(P,Z,\in )}$, де ${\displaystyle P}$ — множина точок, ${\displaystyle Z}$ — множина узагальнених кіл і ${\displaystyle \in }$ — симетричне відношення інцидентності між ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Z}$, яка задовольняє таким аксіомам:

A1: Для будь-яких трьох точок ${\displaystyle A,B,C}$ існує рівно одне узагальнене коло ${\displaystyle z}$, яке інцидентне ${\displaystyle A,B,C}$.

A2: Для будь-якого узагальненого кола ${\displaystyle z}$, будь-яких точок ${\displaystyle P\in z}$ і ${\displaystyle Q\notin z}$ існує рівно одне узагальнене коло ${\displaystyle z'}$, таке, що: ${\displaystyle P,Q\in z}$ і ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$ (тобто, ${\displaystyle z}$ і ${\displaystyle z'}$ дотикаються одне з одним у точці ${\displaystyle P}$).

А3: Будь-яке узагальнене коло інцидентне принаймні трьом точкам. Існує щонайменше чотири різні точки, які не інцидентні одному колу.

Див. також

• Інверсія (геометрія)
• Сфера Рімана

Посилання

• EF Assmus Jr and JD Key, Designs and their codes, Cambridge University Press, . с. 309—312.
• P. Dembowski, Finite geometries, Springer Verlag, 1968, repr.1996, .
• DR Hughes and FC Piper, Design theory, Cambridge University Press, . с. 133—136.
• И. М. Виноградов. Мёбиуса плоскость // Математическая энциклопедия. — М. : Советская энциклопедия, 1977—1985. — стаття з математичної енциклопедії. В. В. Афанасьєв.
• Möbius plane [ 24 жовтня 2018 у Wayback Machine.] — стаття з Encyclopaedia of Mathematics.