У математиці шлях в топологічному просторі X — це безперервне відображення f з одиничного відрізка I = [0,1] в X
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlE0TDFCaGRHZ3VjM1puTHpJeU1IQjRMVkJoZEdndWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
- f : I → X.
Початковою точкою шляху є f(0), а кінцевою точкою — f(1). Часто говорять про «шлях з x в y», де x і y — початкова і кінцева точки шляху. Зауважимо, що шлях — це не просто підмножина X, яка «виглядає як» крива, він також включає параметризацію. Наприклад, відображення f(x) = x і g(x) = x2 представляють два різні шляхи від 0 до 1 на дійсній прямій.
Петля в просторі X з базовою точкою x ∈ X — це шлях з x в x. Петля може також бути визначена як відображення f : I → X з f(0) = f(1) або як неперервне відображення одиничного кола S1 в X
- f : S1 → X.
Останнє випливає з того, що S1 можна вважати фактор-простором I при ототожненні 0 з 1. Множина всіх петель на X утворює простір, який називається простором петель простору X.
Топологічний простір, в якому існує шлях, що з'єднує будь-які дві точки, називається лінійно зв'язаним. Будь-який простір можна розбити на множину лінійно зв'язаних компонент. Множина лінійно зв'язаних компонент простору X часто позначається π0(X);.
Можна також визначити шляхи і петлі в [en], які важливі в теорії гомотопій. Якщо X є топологічним простором з виділеною точкою x0, то шлях в X — це шлях, початковою точкою якого є x0. Подібним чином петля в X — це петля в точці x0.
Гомотопія шляхів
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekF3TDBodmJXOTBiM0I1WDJKbGRIZGxaVzVmZEhkdlgzQmhkR2h6TG5OMlp5OHlNakJ3ZUMxSWIyMXZkRzl3ZVY5aVpYUjNaV1Z1WDNSM2IxOXdZWFJvY3k1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Шляхи і петлі є центральними об'єктами вивчення гілки алгебраїчної топології, званої теорією гомотопій. Гомотопія шляхів робить точним поняття неперервної деформації шляху при збереженні кінців шляху.
Зокрема, гомотопія шляхів у X — це сімейство шляхів ft : I → X індексованих за I, таких що
- ft(0) = x0 і ft(1) = x1 фіксовані.
- відображення F : I × I → X, задане F(s, t) = ft(s) є неперервним.
Кажуть, що шляхи f0 і f1 гомотопні (або, точніше, лінійно-гомотопні), якщо вони пов'язані гомотопією. Можна аналогічним чином визначити гомотопію петель, яка зберігає базову точку.
Відношення гомотопії є відношенням еквівалентності шляхів у топологічному просторі. Клас еквівалентності шляху f при цьому називається класом гомотопії f, і часто позначається [f].
Означення
Два шляхи і
зі спільним початком та кінцем
і
називаються гомотопними в області
, якщо існує неперервне відображення
(через
ми позначимо добуток відрізків, тобто квадрат
) так, що
Композиція шляхів
Можна утворити композицію шляхів у топологічному просторі очевидним чином. Нехай f — шлях з x в y, а g — шлях з y в z. Шлях fg визначається як шлях, одержуваний спочатку проходом f, а потім g:
Ясно, що композиція шляхів визначена тільки у випадку, коли кінцева точка f збігається з початковою точкою g. Якщо розглядати петлі в точці x0, то композиція шляхів є бінарною операцією.
Композиція шляхів, якщо вона визначена, не є асоціативною операцією з огляду на відмінності в параметризації. Проте вона є асоціативною з точністю до гомотопії. Тобто [(fg)h] = [f(gh)]. Композиція шляхів визначає структуру групи на множині гомотопних класів петель на X з базовою точкою x0. Результуюча група називається фундаментальною групою X із позначеною точкою x0 і зазвичай позначається π1(X,x0).
Можна визначити шлях в X як безперервне відображення інтервалу [0,a] X для будь-якого дійсного a ≥ 0. Шлях f цього виду має довжину |f|, визначається як a. Композиція шляхів тоді визначається, як і раніше, з такою зміною:
У той час як у попередньому визначенні f, g і fg мають довжину 1, дане визначення дає |fg| = |f| + |g|. В попередньому визначенні призводило до порушення асоціативності те, що хоча (fg)h і f(gh) мали одну довжину, а саме 1, середня точка (fg)h виявлялася між g і h, у той час як середня точка f(gh) виявлялася між f і g. У модифікованому визначенні (fg)h і f(gh) мають однакову довжину, а саме |f|+|g|+|h|, і ті ж самі середні точки, які знаходяться в (|f|+|g|+|h|)/2, як для (fg)h, так і для f(gh). І навіть вони мають одну і ту саму параметризацію.
Фундаментальний групоїд
Будь-який топологічний простір X дає початок категорії, об'єктами якої є точки X, а морфізмами є класи гомотопії шляхів. Оскільки будь-який морфізм у цій категорії є ізоморфізмом, ця категорія є групоїдом, званим фундаментальним групоїдом X. Петлі в цій категорії є ендоморфізмами (всі вони насправді є автоморфізмами). Група автоморфізмів точки x0 в X — це просто фундаментальна група в X. Можна визначити фундаментальний групоїд на будь-якій підмножині A в X, використовуючи класи гомотопій шляхів, що з'єднують точки A.
Див. також
Література
- Ronald Brown. Topology and groupoids. — Deganwy, United Kingdom, 2006. — .
- Peter May. A concise course in algebraic topology. — Chicago, IL : University of Chicago Press, 1999. — ISBN 10: 0226511820 13: 9780226511825.
- James R. Munkres. Topology. — 2ed. — N.J. : Prentice Hall, 2000. — .
- John Frank Adams. Infinite Loop Spaces. — Princeton University Press, 1978. — Т. 90. — (Annals of mathematics studies). — .
- О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. Элементарная топология. — М. : МЦНМО, 2010. — .
Примітки
- Adams, 1978.
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет