Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Математичні таблиці - це списки чисел, що показують результати розрахунку з різними аргументами. До того, як калькулятори стали дешевими і розповсюдженими, люди використовували такі таблиці, щоб спростити та пришвидшити обчислення. Таблиці логарифмів та тригонометричних функцій були поширені в математичних та наукових підручниках. Спеціалізовані таблиці були опубліковані для таких дисциплін, як астрономія, небесна навігація та статистика.
Простий приклад
Для обчислення синусоїдної функції 75 градусів, 9 хвилин, 50 секунд за допомогою таблиці тригонометричних функцій, таких як таблиця Бернеггера 1619 року, потрібно округлити значення функції до 75 градусів, 10 хвилин, а потім знайти значення 10 хвилин, відкривши сторінку 75 градусів, яка показана на фото. Таке значення приблизно дорівнює 0,9666746.
Однак точне значення становить 4 знаки після коми. Якщо хтось хоче більшої точності, можна інтерполювати лінійно наступним чином:
З таблиці Бернеггер:
- sin (75° 10′) = 0.9666746
- sin (75° 9′) = 0.9666001
Різниця між цими значеннями становить 0.0000745.
Оскільки в хвилині 60 секунд, ми домножуємо різницю на 50/60, щоб отримати поправку значення: (50/60)*0.0000745 ≈ 0.0000621; і після цього додаємо отримане значення до sin (75° 9′) і в результаті отримуємо:
- sin (75° 9′ 50″) ≈ sin (75° 9′) + 0.0000621 = 0.9666001 + 0.0000621 = 0.9666622
Сучасні калькулятори обчислюють значення sin (75° 9′ 50″) як 0.96666219991, отже наша інтерполізована відповідь відповідає 7-значній точності таблиці Бернеггера.
Для таблиць з більшою точністю (більше цифр для кожного значення) може знадобитися інтерполяція вищого порядку. У епоху до електронних комп'ютерів, інтерполяція даних таблиці була єдиним практичним способом отримання високоточних значень математичних функцій, необхідних для таких дисциплін, як навігація, астрономія та геодезичні дослідження.
Щоб зрозуміти важливість точності в такій науці, як навігація, зазначимо, що на рівні моря одна хвилина дуги вздовж екватора Землі або меридіана дорівнює приблизно одній морській милі (1,852 км або 1,151 миля).
Історія і використання
Перші таблиці тригонометричних функцій, зроблені Гіппархом (приблизно 190 - 120 роки до н.е.) та Менелаєм Александрійським (приблизно 70 - 140 роки н.е.), були втрачені. На відміну від збереженої таблиці Птолемея (приблизно 90 - 168 роки н.е.) всі вони були таблицями хордей, а не півхордами, тобто синусоїдальною функцією. Таблиця, створена індійським математиком Арібахтою, вважається першою таблицею синусів, коли-небудь створеною. Таблиця Арібахти залишалася стандартною таблицею синусів Стародавньої Індії. Були безперервні спроби удосконалити точність цієї таблиці, кульмінацією якого було відкриття Мадхави з Сангамаграма (приблизно 1350 - 1425 роки н.е.) розширень силового ряду синусоїдних та косинусоїдних функцій, а також табуляція таблиці синусів Магдави з точним значенням до семи чи восьми знаків після коми.
Таблиці десяткових (загальних) логарифмів використовувалися для швидкого множення, ділення та експонування, включаючи добування кореня n-го порядку, ще до винаходу комп'ютерів та електронних калькуляторів.
Механічні машини спеціального призначення, відомі як різницеві двигуни, були запропоновані в XIX столітті для підрахунку поліноміальних наближень логарифмічних функцій, тобто для обчислення великих логарифмічних таблиць. Це було мотивовано в основному помилками в логарифмічних таблицях, зроблених обчислювачами того часу. Ранні цифрові комп'ютери були розроблені під час Другої світової війни частково для виробництва спеціалізованих математичних таблиць для прицілювання артилерії. З 1972 року, із запуском та збільшенням використання наукових калькуляторів, більшість математичних таблиць вийшли з експлуатації.
Однією з останніх великих зусиль з побудови таких таблиць був проект "Математичні таблиці", який був запущений в 1938 році як проект Адміністрації робіт з розвитку, на якому було задіяно 450 безробітних працівників для підрахунку вищих математичних функцій і який тривав протягом Другої світової війни.
Таблиці спеціальних функцій, як і раніше, використовуються. Наприклад, використання таблиць значень кумулятивної функції розподілу нормального розподілу - так звані стандартні звичайні таблиці - залишається звичним і сьогодні, особливо в школах.
Створення таблиць, що зберігаються в пам'яті довільного доступу, є загальним методом оптимізації коду в комп'ютерному програмуванні, де використання таких таблиць прискорює розрахунки в тих випадках, коли пошук по таблицях швидше, ніж відповідні розрахунки (особливо якщо комп'ютер, про який йде мова, не має апаратної реалізації розрахунків).
Таблиці логарифмів
Таблиці, що містять загальні (десяткові) логарифми, широко використовувались в обчисленнях ще до появи комп'ютерів та калькуляторів, оскільки логарифми перетворюють дії множення та ділення на набагато легші дії з додаванням і відніманням. Логарифми десяткової системи числення мають додаткову властивість, яка є унікальною та корисною: загальний логарифм чисел більший, ніж той, який відрізняється лише коефіцієнтом потужності десяти, має однакову дробову частину, відома як мантиса. Таблиці загальних логарифмів, як правило, включали лише мантиси; ціла частина логарифма, відома як характеристика, може бути легко визначена шляхом підрахунку цифр у вихідному номері.
Дробова частина загального логарифма чисел, більших за нуль, але менших одиниці, становить лише 1 мінус мантиса одного і того ж числа з десятковою крапкою, що зміщується праворуч від першої нульової цифри. Але та сама мантиса може бути (і була) використана для чисел менших одиниці, компенсуючи характеристику. Таким чином, одна таблиця загальних логарифмів може бути використана для всього діапазону додатних десяткових чисел. Див. також статтю про десятковий логарифм для більшої інформації про використання характеристики і мантиси десяткових логарифмів.
Історія
Михаель Штифель опублікував книгу „Arithmetica integra“ в Нюрнберзі в 1544 році, яка містить таблицю цілих чисел і вважалася ранньою версією логарифмічної таблиці.
Метод логарифмів опублікував Джон Непер 1614 року в книзі під назвою „Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio“ („Опис чудового правила логарифмів“). Книга містить п'ятдесят сім сторінок пояснення та дев'яносто сторінок таблиць, що стосуються неперових логарифмів. Англійський математик Генрі Бріґґз відвідав Непера в 1615 році і запропонував повторне масштабування його логарифмів, щоб сформувати те, що зараз називають загальними або десятковим логарифмом. Непер передав Бриґґзу розрахунки переглянутої таблиці і пізніше, в 1617 році, вони опублікували книгу „Logarithmorum Chilias Prima“ ("Тисяча перших логарифмів"), в якій коротко викладено логарифми та таблиці для перших 1000 цілих чисел (розрахованих до 14 чисел піля коми).
Див. також
Джерела
- Бевз Г.П. Довідник з математики. — К. : Радянська школа, 1981. — 262 с.
- Кісілевич О.В., Пенцак О.С., Барбуляк Л.В. Математика. — Львів : Новий Світ-2000, 2006. — 320 с. — .
 | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Matematichni tablici ce spiski chisel sho pokazuyut rezultati rozrahunku z riznimi argumentami Do togo yak kalkulyatori stali deshevimi i rozpovsyudzhenimi lyudi vikoristovuvali taki tablici shob sprostiti ta prishvidshiti obchislennya Tablici logarifmiv ta trigonometrichnih funkcij buli poshireni v matematichnih ta naukovih pidruchnikah Specializovani tablici buli opublikovani dlya takih disciplin yak astronomiya nebesna navigaciya ta statistika Oblicyuvannya storinok knigi pro matematichni tablici 1619 rik Mattiasa Berneggera sho pokazuyut znachennya dlya sinusovih dotichnih ta sichnih trigonometrichnih funkcij Na livij storinci znajdeno kuti menshe 45 kuti bilshe 45 sprava Kosinus kotangens ta kosekansa zustrichayutsya za dopomogoyu zapisu na protilezhnij storinci Prostij prikladDlya obchislennya sinusoyidnoyi funkciyi 75 gradusiv 9 hvilin 50 sekund za dopomogoyu tablici trigonometrichnih funkcij takih yak tablicya Berneggera 1619 roku potribno okrugliti znachennya funkciyi do 75 gradusiv 10 hvilin a potim znajti znachennya 10 hvilin vidkrivshi storinku 75 gradusiv yaka pokazana na foto Take znachennya priblizno dorivnyuye 0 9666746 Odnak tochne znachennya stanovit 4 znaki pislya komi Yaksho htos hoche bilshoyi tochnosti mozhna interpolyuvati linijno nastupnim chinom Z tablici Bernegger sin 75 10 0 9666746 sin 75 9 0 9666001 Riznicya mizh cimi znachennyami stanovit 0 0000745 Oskilki v hvilini 60 sekund mi domnozhuyemo riznicyu na 50 60 shob otrimati popravku znachennya 50 60 0 0000745 0 0000621 i pislya cogo dodayemo otrimane znachennya do sin 75 9 i v rezultati otrimuyemo sin 75 9 50 sin 75 9 0 0000621 0 9666001 0 0000621 0 9666622 Suchasni kalkulyatori obchislyuyut znachennya sin 75 9 50 yak 0 96666219991 otzhe nasha interpolizovana vidpovid vidpovidaye 7 znachnij tochnosti tablici Berneggera Dlya tablic z bilshoyu tochnistyu bilshe cifr dlya kozhnogo znachennya mozhe znadobitisya interpolyaciya vishogo poryadku U epohu do elektronnih komp yuteriv interpolyaciya danih tablici bula yedinim praktichnim sposobom otrimannya visokotochnih znachen matematichnih funkcij neobhidnih dlya takih disciplin yak navigaciya astronomiya ta geodezichni doslidzhennya Shob zrozumiti vazhlivist tochnosti v takij nauci yak navigaciya zaznachimo sho na rivni morya odna hvilina dugi vzdovzh ekvatora Zemli abo meridiana dorivnyuye priblizno odnij morskij mili 1 852 km abo 1 151 milya Istoriya i vikoristannyaPershi tablici trigonometrichnih funkcij zrobleni Gipparhom priblizno 190 120 roki do n e ta Menelayem Aleksandrijskim priblizno 70 140 roki n e buli vtracheni Na vidminu vid zberezhenoyi tablici Ptolemeya priblizno 90 168 roki n e vsi voni buli tablicyami hordej a ne pivhordami tobto sinusoyidalnoyu funkciyeyu Tablicya stvorena indijskim matematikom Aribahtoyu vvazhayetsya pershoyu tabliceyu sinusiv koli nebud stvorenoyu Tablicya Aribahti zalishalasya standartnoyu tabliceyu sinusiv Starodavnoyi Indiyi Buli bezperervni sprobi udoskonaliti tochnist ciyeyi tablici kulminaciyeyu yakogo bulo vidkrittya Madhavi z Sangamagrama priblizno 1350 1425 roki n e rozshiren silovogo ryadu sinusoyidnih ta kosinusoyidnih funkcij a takozh tabulyaciya tablici sinusiv Magdavi z tochnim znachennyam do semi chi vosmi znakiv pislya komi Tablici desyatkovih zagalnih logarifmiv vikoristovuvalisya dlya shvidkogo mnozhennya dilennya ta eksponuvannya vklyuchayuchi dobuvannya korenya n go poryadku she do vinahodu komp yuteriv ta elektronnih kalkulyatoriv Mehanichni mashini specialnogo priznachennya vidomi yak riznicevi dviguni buli zaproponovani v XIX stolitti dlya pidrahunku polinomialnih nablizhen logarifmichnih funkcij tobto dlya obchislennya velikih logarifmichnih tablic Ce bulo motivovano v osnovnomu pomilkami v logarifmichnih tablicyah zroblenih obchislyuvachami togo chasu Ranni cifrovi komp yuteri buli rozrobleni pid chas Drugoyi svitovoyi vijni chastkovo dlya virobnictva specializovanih matematichnih tablic dlya pricilyuvannya artileriyi Z 1972 roku iz zapuskom ta zbilshennyam vikoristannya naukovih kalkulyatoriv bilshist matematichnih tablic vijshli z ekspluataciyi Odniyeyu z ostannih velikih zusil z pobudovi takih tablic buv proekt Matematichni tablici yakij buv zapushenij v 1938 roci yak proekt Administraciyi robit z rozvitku na yakomu bulo zadiyano 450 bezrobitnih pracivnikiv dlya pidrahunku vishih matematichnih funkcij i yakij trivav protyagom Drugoyi svitovoyi vijni Tablici specialnih funkcij yak i ranishe vikoristovuyutsya Napriklad vikoristannya tablic znachen kumulyativnoyi funkciyi rozpodilu normalnogo rozpodilu tak zvani standartni zvichajni tablici zalishayetsya zvichnim i sogodni osoblivo v shkolah Stvorennya tablic sho zberigayutsya v pam yati dovilnogo dostupu ye zagalnim metodom optimizaciyi kodu v komp yuternomu programuvanni de vikoristannya takih tablic priskoryuye rozrahunki v tih vipadkah koli poshuk po tablicyah shvidshe nizh vidpovidni rozrahunki osoblivo yaksho komp yuter pro yakij jde mova ne maye aparatnoyi realizaciyi rozrahunkiv Tablici logarifmivDiv takozh Istoriya logarifmiv Storinka z knigi Genri Briggsa Logarithmorum Chilias Prima 1617 rik yaka pokazuye logarifmi cilih chisel desyatkovoyi sistemi chislennya vid 0 do 67 do chotirnadcyati desyatkovih znakiv Chastina tablici 20 go stolittya zagalnih logarifmiv u dovidniku Abramovich i Stegun Tablici sho mistyat zagalni desyatkovi logarifmi shiroko vikoristovuvalis v obchislennyah she do poyavi komp yuteriv ta kalkulyatoriv oskilki logarifmi peretvoryuyut diyi mnozhennya ta dilennya na nabagato legshi diyi z dodavannyam i vidnimannyam Logarifmi desyatkovoyi sistemi chislennya mayut dodatkovu vlastivist yaka ye unikalnoyu ta korisnoyu zagalnij logarifm chisel bilshij nizh toj yakij vidriznyayetsya lishe koeficiyentom potuzhnosti desyati maye odnakovu drobovu chastinu vidoma yak mantisa Tablici zagalnih logarifmiv yak pravilo vklyuchali lishe mantisi cila chastina logarifma vidoma yak harakteristika mozhe buti legko viznachena shlyahom pidrahunku cifr u vihidnomu nomeri Drobova chastina zagalnogo logarifma chisel bilshih za nul ale menshih odinici stanovit lishe 1 minus mantisa odnogo i togo zh chisla z desyatkovoyu krapkoyu sho zmishuyetsya pravoruch vid pershoyi nulovoyi cifri Ale ta sama mantisa mozhe buti i bula vikoristana dlya chisel menshih odinici kompensuyuchi harakteristiku Takim chinom odna tablicya zagalnih logarifmiv mozhe buti vikoristana dlya vsogo diapazonu dodatnih desyatkovih chisel Div takozh stattyu pro desyatkovij logarifm dlya bilshoyi informaciyi pro vikoristannya harakteristiki i mantisi desyatkovih logarifmiv Istoriya Dokladnishe logarifm Mihael Shtifel opublikuvav knigu Arithmetica integra v Nyurnberzi v 1544 roci yaka mistit tablicyu cilih chisel i vvazhalasya rannoyu versiyeyu logarifmichnoyi tablici Metod logarifmiv opublikuvav Dzhon Neper 1614 roku v knizi pid nazvoyu Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio Opis chudovogo pravila logarifmiv Kniga mistit p yatdesyat sim storinok poyasnennya ta dev yanosto storinok tablic sho stosuyutsya neperovih logarifmiv Anglijskij matematik Genri Briggz vidvidav Nepera v 1615 roci i zaproponuvav povtorne masshtabuvannya jogo logarifmiv shob sformuvati te sho zaraz nazivayut zagalnimi abo desyatkovim logarifmom Neper peredav Briggzu rozrahunki pereglyanutoyi tablici i piznishe v 1617 roci voni opublikuvali knigu Logarithmorum Chilias Prima Tisyacha pershih logarifmiv v yakij korotko vikladeno logarifmi ta tablici dlya pershih 1000 cilih chisel rozrahovanih do 14 chisel pilya komi Div takozhRizniceva mashina Charlza Bebbidzha Efemerida Tablici Keli Logarifm Matrici Tablicya mnozhennya Tablicya Tablicya poshuku Tablici istinnosti Tablici BarlouDzherelaBevz G P Dovidnik z matematiki K Radyanska shkola 1981 262 s Kisilevich O V Pencak O S Barbulyak L V Matematika Lviv Novij Svit 2000 2006 320 s ISBN 966 418 013 0 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi