Область головних ідеалів

Область головних ідеалів — це область цілісності, в якій будь-який ідеал є головним. Загальніше поняття — кільце головних ідеалів, від якого не вимагається цілісність (однак деякі автори, наприклад Бурбакі, посилаються на кільце головних ідеалів як на цілісне кільце).

Елементи кільця головних ідеалів у деякому сенсі схожі на числа: для будь-якого елемента існує єдиний розклад на прості, для будь-яких двох елементів існує найбільший спільний дільник.

Області головних ідеалів можна позначити на такому ланцюжку включень:

Коммутативні кільця ⊃ Області цілісності ⊃ Факторіальні кільця ⊃ Області головних ідеалів ⊃ Евклідові кільця ⊃ Поля

Крім того, всі області головних ідеалів є нетерівськими і дедекіндовими кільцями.

Приклади

• Кільце цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Кільце многочленів над полем k — k[x], а також кільце формальних степеневих рядів
• Z[i] — кільце цілих гаусових чисел
• Кільце цілих чисел Ейзенштейна

Приклади цілісних кілець, які не є кільцями головних ідеалів:

• Z[x] — кільце многочленів з цілими коефіцієнтами (ідеал (2, x) можна породити одним многочленом)
• Кільце многочленів від двох змінних k[x, y] (ідеал (x, y) не є головним)

Модулі

Основний результат тут — така теорема: якщо R — область головних ідеалів і M — скінченнопороджений модуль над R, то M розкладається в пряму суму циклічних модулів, тобто модулів, породжених одним елементом. Оскільки існує сюр'єктивний гомоморфізм з R у циклічний модуль над ним (який відправляє одиницю в генератор), за теоремою про гомоморфізм будь-який циклічний модуль має вигляд ${\displaystyle R/xR}$ для деякого ${\displaystyle x\in R}$.

Зокрема, будь-який підмодуль вільного модуля над областю головних ідеалів вільний. Це хибно для довільних кілець, як контрприклад можна навести вкладення ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$-модулів ${\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]}$.

Див. також

• Алгоритм Евкліда
• Нормальна форма Сміта

Література

• Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра тт.1-2. — М: ИЛ, 1963
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers, 2004.
• Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009.