Задача про гарматні кулі

Зада́ча про гарма́тні я́дра (англ. cannonball problem) — задача про знаходження числа гарматних ядер, які можна вкласти і в один шар у формі квадрата, і у формі піраміди з квадратом в основі, тобто про знаходження квадратних чисел, які також є квадратними пірамідними числами. Знаходження цього числа зводиться до розв'язання діофантового рівняння ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}}$ або ${\displaystyle {\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}}$. Рівняння має два розв'язки: ${\displaystyle N=1}$ і ${\displaystyle M=1}$, тобто одне гарматне ядро, і ${\displaystyle N=24}$ і ${\displaystyle M=70}$ тобто 4900 гарматних ядер.

Єдиний нетривіальний спосіб укладання гарматних ядер у квадрат і піраміду

Історія задачі

Питання вкладання гарматних ядер цікавили вже сера Волтера Релі та його сучасника Томаса Герріота, однак у наведеній вище формі задачу сформулював в 1875 року Едуар Люка, який припустив, що крім ${\displaystyle N=1}$ і ${\displaystyle N=24}$ розв'язків немає. Часткові доведення запропонували Море-Блан (1876) та сам Люка (1877). Перше повне доведення запропонував ^[ru] (1918); у доведенні використано еліптичні функції. Ще одне доведення, з використанням рівняння Пелля, запропонував ^[en] (1952). Доведення з використанням лише елементарних функцій запропонували Ма (1985) та Енглін (1990).

Доведення

Доведення Вотсона

Доведення Вотсона ґрунтується на спостереженні, що з трьох чисел ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle N+1}$ і ${\displaystyle 2N+1}$ одне має ділитися на 3; і або ${\displaystyle N}$, або ${\displaystyle N+1}$ є парним; і що решта множників мають бути квадратами. Тому можливі шість варіантів:

1. ${\displaystyle N=3a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=c^{2};}$
2. ${\displaystyle N=2a^{2},\ N+1=3b^{2},\ 2N+1=c^{2};}$
3. ${\displaystyle N=2a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=3c^{2};}$
4. ${\displaystyle N=a^{2},\ N+1=6b^{2},\ 2N+1=c^{2};}$
5. ${\displaystyle N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2};}$
6. ${\displaystyle N=a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=3c^{2}.}$

Однак, оскільки ${\displaystyle 2b^{2}}$ при діленні на 3 може мати лише остачу 0 або 2, перший варіант призводить до суперечності. Аналогічно можна виключити другий, третій та четвертий варіанти.

П'ятий варіант приводить до розв'язку ${\displaystyle N=24}$. Справді, ${\displaystyle N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2}}$ можливо тільки при непарному ${\displaystyle c}$, і ${\displaystyle (c-1)(c+1)=12a^{2}}$ тобто існують цілі числа ${\displaystyle d}$ і ${\displaystyle e}$, такі що ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a=de}$ або ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a=de}$. Однак, ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a=de}$ приводить до суперечності ${\displaystyle 3e^{2}-d^{2}\equiv 1{\pmod {3}}}$. Отже, ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a=de}$, тобто, ${\displaystyle c-1=6d^{2},\ c+1=2e^{2}}$ і ${\displaystyle c+1=2e^{2},\ c^{2}+1=2b^{2}}$. Як показав ^[ru], ${\displaystyle c=1}$ і ${\displaystyle c=7}$ є єдиними розв'язками останньої системи рівнянь. Випадок ${\displaystyle c=1}$ неможливий, оскільки ${\displaystyle N=0}$; випадок ${\displaystyle c=7}$ приводить до ${\displaystyle N=24}$. Альтернативне доведення єдиності розв'язку ${\displaystyle N=24}$ у цьому випадку, наведене в розділі 6.8.2 книги Коена, використовує те, що розв'язками ${\displaystyle y^{2}=8x^{4}+1}$ є тільки ${\displaystyle (0,\;1),\ (0,\;-1),\ (1,\;3),\ (1,\;-3),\ (-1,\;3),\ (-1,\;-3)}$.

Доведення відсутності нетривіальних розв'язків у шостому варіанті потребує застосування еліптичних функцій. Дійсно, шостий варіант можна звести до вигляду ${\displaystyle 2b^{2}-a^{2}=1,2b^{2}+a^{2}=3c^{2}}$. Замість цих рівнянь Вотсон розглядає загальніший випадок ${\displaystyle 2X^{2}-Y^{2}=Z^{2},2X^{2}+Y^{2}=3W^{2}}$ і показує, що розв'язки цих рівнянь мають задовольняти ${\displaystyle {\frac {Z}{W}}=(-1)^{r}\operatorname {sd} ((2r+1)\beta ){\sqrt {\frac {3}{2}}}}$, де ${\displaystyle r}$ — невід'ємне ціле число, ${\displaystyle \beta }$ задана ${\displaystyle \operatorname {sn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$, ${\displaystyle \operatorname {cn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$, ${\displaystyle \operatorname {dn} (\beta )={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$, а ${\displaystyle \operatorname {sn} }$, ${\displaystyle \operatorname {cn} }$, ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ і ${\displaystyle \operatorname {sd} }$ — еліптичні функції Якобі. Далі Вотсон доводить, що ${\displaystyle Z}$ чисельно дорівнює одиниці, тільки якщо ${\displaystyle r=0}$, тобто ${\displaystyle X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=W^{2}=1}$, і єдиний можливий у цьому випадку розв'язок ${\displaystyle N=1}$.

Доведення Ма

Доведення єдиності наведених вище розв'язків, запропоноване Ма, ґрунтується на послідовному доведенні таких тверджень:

• Єдиним парним розв'язком задачі про укладання ядер є ${\displaystyle (24,70)}$. Дійсно, парність ${\displaystyle n}$ дозволяє виключити варіанти 1, 4 і 6 з довдення Вотсона, варіанти 2 і 3 призводять до суперечності (див. доведення Вотсона), а ${\displaystyle (24,70)}$ — єдиний розв'язок, можливий для варіанту 5.
• Нехай ${\displaystyle \alpha =2+{\sqrt {3}},\beta =2-{\sqrt {3}},M_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/2}$. Тоді для невід'ємних ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle M_{n}}$ має вигляд ${\displaystyle 4x^{2}+3}$ тільки для ${\displaystyle n=2}$.
• Єдиним непарним ${\displaystyle N}$, що задовольняє задачі про укладання ядер, є ${\displaystyle N=1}$. Справді, міркуючи аналогічно доведенню Вотсона, непарне ${\displaystyle N}$ має задовольняти варіанту 6, тобто, ${\displaystyle N=a^{2},N+1=2b^{2},2N+1=3c^{2}}$. Оскільки для будь-якого ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle (4x+3)^{2}-8(x+1)(2x+1)=1}$ і ${\displaystyle 4x+3=2(2x+1)+1}$, це також справедливо для ${\displaystyle N}$. Підставляючи ${\displaystyle 2b^{2}}$ і ${\displaystyle 3c^{2}}$ замість ${\displaystyle x+1}$ і ${\displaystyle 2x+1}$, отримаємо ${\displaystyle (2(3c^{2})+1)^{2}-8\cdot 2b^{2}\cdot 3c^{2}=1}$, тобто, ${\displaystyle (6c^{2}+1)^{2}-3(4bc)^{2}=1}$. Оскільки ${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$ породжує групу одиниць ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]}$, існує ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ таке, що ${\displaystyle 6c^{2}+1+4bc{\sqrt {3}}=\pm (M_{n}+G_{n}{\sqrt {3}})}$, де ${\displaystyle M_{n}}$ визначено вище, а ${\displaystyle G_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/(\alpha -\beta )}$ . Оскільки ${\displaystyle M_{n}}$ додатне, ${\displaystyle M_{n}=6c^{2}+1}$ і, за визначенням ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle M_{n}=4a^{2}+3}$. За попередньою лемою, ${\displaystyle n=2,M_{n}=7}$, тобто ${\displaystyle a=1}$ і ${\displaystyle n=1}$.

Подробиці доведення наведено в розділі 6.8.2 книги Коена.

Узагальнення задачі

За винятком тривіального випадку ${\displaystyle N=1}$, не існує числа гарматних ядер, які можна було б укласти у вигляді піраміди з квадратом у основі, і яке б при цьому одночасно було кубом, четвертим або п'ятим степенем натурального числа. Більш того, це справедливо для укладання ядер у вигляді правильного тетраедра.

Іншим узагальненням задачі є питання про знаходження числа ядер, які можна укласти у формі квадрата та зрізаної піраміди з квадратом у основі. Тобто шукають ${\displaystyle n}$ послідовних квадратів (не обов'язково починаючи з 1), сума яких є квадратом. Відомо, що множина ${\displaystyle S}$ таких ${\displaystyle n}$ нескінченна, має асимптотичну щільність нуль і для ${\displaystyle n}$, які є квадратами, існує нескінченно багато розв'язків. Число ${\displaystyle N(x)}$ елементів множини ${\displaystyle S}$, що не перевищують ${\displaystyle x}$, оцінюється як ${\displaystyle c_{1}{\sqrt {x}}<N(x)<c_{2}{\frac {x}{\ln {x}}}}$. Перші елементи ${\displaystyle n}$ множини ${\displaystyle S}$ та відповідні найменші значення ${\displaystyle a}$, такі що ${\displaystyle \sum _{k=a}^{a+n-1}k^{2}}$ є квадратом, наведено в таблиці:

Для ${\displaystyle n=2}$ і ${\displaystyle a=3}$ розв'язком є піфагорова трійка ${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$. Для ${\displaystyle n=24}$ і ${\displaystyle a=1}$ розв'язком є наведений вище розв'язок задачі про укладання гарматних ядер. Послідовність елементів множини ${\displaystyle S}$ — послідовність A001032 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Ще одне узагальнення завдання розглянули Канеко і Татібана: замість питання про рівність суми перших квадратних чисел та іншого квадратного числа вони розглянули питання про рівність суми перших багатокутних чисел та іншого багатокутного числа і показали, що для будь-якого ${\displaystyle m\geqslant 3}$ існує нескінченно багато послідовностей перших ${\displaystyle m}$-кутних чисел, таких що їх сума дорівнює іншому багатокутному числу, і що для будь-якого ${\displaystyle n\geqslant 3}$ існує нескінченна кількість ${\displaystyle n}$-кутних чисел, подаваних у вигляді суми послідовностей перших багатокутних чисел. Більш того, Канеко та Татібана встановили, що для будь-якого натурального ${\displaystyle k}$ виконуються такі відношення:

${\displaystyle Pyr_{m}(3(m-2)k-2)=G_{9k+2}((m-2)^{2}k-m+3),}$

${\displaystyle Pyr_{m}(3k-1)=G_{(m-2)k+3}(3k-1),}$

${\displaystyle Pyr_{m}(6k-3)=G_{4(m-2)(2k-1)+6}(3k-1),}$

${\displaystyle G_{n}((n-2)k^{2}-3k+1)=Pyr_{3k+2}((n-2)k-2),}$

${\displaystyle G_{n}(8k^{2}-6k+1)=Pyr_{3(n-2)k+2}(4k-2),}$

де ${\displaystyle G_{m}(n)}$ — ${\displaystyle n}$-е ${\displaystyle m}$-кутне число, а ${\displaystyle Pyr_{m}(n)}$ — ${\displaystyle n}$-е ${\displaystyle m}$ -кутне пірамідне число, тобто, сума ${\displaystyle n}$ перших ${\displaystyle m}$-кутних чисел.

Зв'язок з іншими галузями математики

Нетривіальний розв'язок ${\displaystyle N=24}$ призводить до побудови ґратки Ліча (яка, у свою чергу, пов'язана з різними галузями математики та теоретичної фізики — , монстром). Це робиться за допомогою парної унімодулярної ґратки ${\displaystyle \mathrm {II} _{25,1}}$ у 25+1-вимірному псевдоевклідовому просторі. Розглянемо вектор цієї ґратки ${\displaystyle w=(0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;23,\;24;\;70)}$. Оскільки ${\displaystyle N=24}$ і ${\displaystyle M=70}$ — розв'язок задачі про вкладання гарматних ядер, цей вектор — світлоподібний, ${\displaystyle w\cdot w=0}$, звідки, зокрема, випливає, що він належить власному ортогональному доповненню ${\displaystyle w^{\bot }}$. Згідно з Конвеєм, вектор ${\displaystyle w}$ дозволяє побудувати ґратку Ліча

• як фактор-множину ${\displaystyle (w^{\bot }\cap \mathrm {II} _{25,1})/w}$, яка коректно визначена завдяки світлоподібності ${\displaystyle w}$;
• як множину всіх векторів ${\displaystyle r\in \mathrm {II} _{25,1}}$ таких, що ${\displaystyle r\cdot r=2,r\cdot w=-1}$. Такі вектори утворюють множину так званих фундаментальних коренів ґратки ${\displaystyle \mathrm {II} _{25,1}}$. У всіх випадках, коли можна таким способом побудувати множину фундаментальних коренів парної унімодулярної ґратки у псевдоевклідовому просторі ${\displaystyle \mathrm {II} _{n,1}}$, завжди можна використати цілочисловий вектор із просторовими компонентами, що йдуть підряд від нуля; а щоб ця множина утворювала ґратку, цей вектор має бути світлоподібним. І, оскільки ${\displaystyle N=24}$ — єдиний нетривіальний розв'язок задачі про вкладання гарматних ядер, то 24-вимірна ґратка Ліча — єдина ґратка, яку можна в такий спосіб отримати з ${\displaystyle \mathrm {II} _{n,1}}$.

Див. також

• Щільне пакування рівних сфер

Примітки

1. David Darling. Cannonball Problem. The Internet Encyclopedia of Science. Архів оригіналу за 23 грудня 2017. Процитовано 6 липня 2017.
2. Édouard Lucas. Question 1180. : [арх. 1 вересня 2017]. — Nouv. Ann. Math. — 1875. — Вип. 14. — С. 336.
3. Claude Séraphin Moret-Blanc. Question 1180. : [арх. 2 вересня 2017]. — Nouv. Ann. Math. — 1876. — Вип. 15. — С. 46—48.
4. Édouard Lucas. Question 1180. : [арх. 1 вересня 2017]. — Nouv. Ann. Math. — 1877. — Вип. 15. — С. 429—432.
5. G. N. Watson. The Problem of the Square Pyramid.. — Messenger Math. — 1918. — Вип. 48. — С. 1—22.
6. Eric W. Weisstein. Cannonball Problem. MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.). Архів оригіналу за 18 липня 2017. Процитовано 6 липня 2017.
7. Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory / K. A. Bencsath, P. R. Halmos. — 3rd. — Springer. — P. 223—224. — (Problem Books in Mathematics) — .
8. W. Ljunggren. New solution of a problem proposed by E. Lucas. — Norsk Mat. Tid.. — 1952. — Вип. 34. — С. 65—72.
9. D. G. Ma. An Elementary Proof of the Solutions to the Diophantine Equation ${\displaystyle 6y^{2}=x(x+1)(2x+1)}$.. — Sichuan Daxue Xuebao. — 1985. — Вип. 4. — С. 107—116.
10. W. S. Anglin. The Square Pyramid Puzzle.. — Amer. Math. Monthly. — 1990. — Вип. 97. — С. 120—124.
11. C.-C. Gerono. Démonstration d'une formule dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton. — Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. — 1857. — С. 237—240.
12. Henri Cohen. Number Theory. — 2007 : Springer. — Т. Volume I: Tools and Diophantine Equations. — P. 424—427. — .
13. Elena Deza, Michel Marie Deza. Figurate Numbers. — Singapore : World Scientific, 2012. — P. 98. — .
14. . A001032Numbers n such that sum of squares of n consecutive integers ≥ 1 is a square. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (англ.). Архів оригіналу за 30 липня 2017. Процитовано 10 липня 2017.
15. Masanobu Kaneko and Katsuichi Tachibana. When is a polygonal pyramid number again polygonal? : [арх. 1 вересня 2017] : ( )[англ.]. — Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 2002. — № 1. — С. 149—165.
16. J. H. Conway. The automorphism group of the 26-dimensional even unimodular Lorentzian lattice. — Journal of Algebra. — 1983. — Vol. 80. — P. 159—163.
17. J. H. Conway, N. J. A. Sloane. 26. Lorentzian Forms for the Leech Lattice. 27. The Automorphism Group of the 26-Dimensional Lorentzian Lattice // Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed.. — Springer-Verlag New York, 1999. — , 978-0-387-98585-5.