Ґратка Ліча

Ґратка Ліча — ґратка певного типу в 24-вимірному просторі.

Побудови

Побудова через код Голея

Гратку Ліча можна визначити за допомогою коду Голея ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ типу ${\displaystyle [24,12,8]}$ як образ при стисканні в ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$ разів множини векторів ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{24})\in \mathbb {Z} ^{24}}$ таких, що

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}}$

і для кожного класу j лишків за модулем 4 двійкове 24-бітове слово v, задане як

${\displaystyle v_{i}={\begin{cases}1,&a_{i}\equiv j{\pmod {4}},\\0,&a_{i}\not \equiv j{\pmod {4}},\end{cases}}}$

належить ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Побудова через псевдоевклідів простір сигнатури (25,1)

Гратку Ліча можна побудовати за допомогою псевдоевклідового простору сигнатури (25,1). А саме, в цьому просторі розглядають парну унімодулярну ґратку ${\displaystyle \mathrm {II} _{25,1}}$, що складається з векторів ${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{25})}$, у яких усі координати одночасно цілі або одночасно напівцілі, і при цьому ${\displaystyle x_{0}+\dots +x_{24}-x_{25}\in 2\mathbb {Z} }$, інакше кажучи, скалярний добуток із вектором зі всіх одиниць парний.

Такій ґратці належить ізотропний вектор ${\displaystyle u=(0,1,\dots ,24,70)}$. Зазначимо, що через ізотропність ${\displaystyle u\in \langle u\rangle ^{\perp }}$ тому можна розглянути фактор-простір ${\displaystyle \langle u\rangle ^{\perp }/\langle u\rangle }$. Обмеження скалярного добутку на цей факторпростір (знову-таки, через ізотропність ${\displaystyle u}$) коректно визначене та виявляється додатно визначеним. Образ ${\displaystyle (\langle u\rangle ^{\perp }\cap \mathrm {II} _{25,1})/\langle u\rangle }$ перетину початкової ґратки з ортогональним доповненням за такої факторизації і буде ґраткою Ліча в отриманому 24-вимірному евклідовому просторі.

Властивості

• Ґратка Ліча є парною самодвоїстою (зокрема, унімодулярною) ґраткою з довжиною найкоротшого вектора рівною 2.
• Ґратка Ліча реалізує найбільше можливе контактне число в розмірності 24. Її контактне число дорівнює 196560.
• Ґратка Ліча реалізує щільне пакування куль у розмірності 24. Щільність пакування ґратки Ліча становить ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930}$.
• Група автоморфізмів ґратки Ліча — група Конвея Co₀. Вона включає деякі спорадичні групи, зокрема як фактор-групу Co₀ за інверсією простору, ^[en] і ^[en] як підгрупи. Група Конвея має порядок 8 315 553 613 086 720 000. Хоча обертова симетрія ґратки Ліча дуже висока, її група автоморфізмів не включає жодних відбиттів; іншими словами, ґратка Ліча хіральна.

Див. також

• Ґратка E8

Література

• Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М. : Мир, 1990.

Примітки

1. J. H. Conway, N. J. A. Sloane. Chapter 26, Theorem 3(b) // Sphere packings, lattices and groups. — С. 524.
2. «Контактное число шаров и сферические коды» Архівна копія на сайті Wayback Machine. — фільм із серії «»
3. Weisstein, Eric W. Leech Lattice(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
4. Анотація курсу В. В. Успенського Решетка Лича, или По направлению к Монстру Архівна копія на сайті Wayback Machine.
5. Lisa Grossman. New maths proof shows how to stack oranges in 24 dimensions // New Scientist. — 2016. — 3. з джерела 30 липня 2018.