Універсальна множина

Універсальна множина (універсум)  — в теорії множин така множина U, для якої перетин цієї множини з будь-якою множиною X збігається з цією множиною X. Універсальна множина єдина.

Формально: U — універсальна множина ⇔ ∀X: X∩U=X.

Таким чином, будь-яка множина X повністю міститься в універсальній множині U. Виходячи з цього можна дати таке визначення універсальної множини: якщо в рамках деякої задачі розглядаються тільки підмножини деякої фіксованої множини U, то сама ця множина U називається універсальною множиною.

Не слід плутати поняття універсальної множини з поняттям множини всіх множин в наївній теорії множин (див. Парадокс Расселла). Існування такої множини всіх множин забороняється .

В алгебрі множин універсальна множина є одиничним елементом.

Також для будь-якої множини X справедливо: X∪U=U.

Властивості універсальної множини

• Будь-який об'єкт, якою б не була його природа є елементом універсальної множини.

  ${\displaystyle \forall a\colon a\in U}$

• Зокрема, універсальна множина містить як один з елементів сама себе.

  ${\displaystyle U\in U}$

• Будь-яка множина є підмножиною універсальної множини.

  ${\displaystyle \forall A\colon A\subseteq U}$

• Зокрема, універсальна множина є власною підмножиною.

  ${\displaystyle U\subseteq U}$

• Об'єднання універсальної множини з будь-якою іншою множиною дорівнює універсальній множині.

  ${\displaystyle \forall A\colon U\cup A=U}$

• Зокрема, об'єднання універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.

  ${\displaystyle U\cup U=U}$

• Перетин універсальної множини з іншою множиною дорівнює множині, що перетинається з універсальною.

  ${\displaystyle \forall A\colon U\cap A=A}$

• Зокрема, перетин універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.

  ${\displaystyle U\cap U=U}$

• Виключення універсальної множини з будь-якої іншої множини дорівнює порожній множині.

  ${\displaystyle \forall A\colon A\setminus U=\varnothing }$

• Зокрема, виключення універсальної множини із самої себе дорівнює порожній множині.

  ${\displaystyle U\setminus U=\varnothing }$

• Виключення будь-якої множини з універсальної множини дорівнює доповненню цієї множини.

  ${\displaystyle \forall A\colon U\setminus A={\overline {A}}}$

• Доповненням універсальної множини є порожня множина.

  ${\displaystyle {\overline {U}}=\varnothing }$

• Симетрична різниця універсальної множини з будь-якою множиною дорівнює доповненню останної множини.

  ${\displaystyle \forall A\colon U\triangle A={\overline {A}}}$

• Зокрема, симетрична різниця універсальної множини із собою дорівнює порожній множині.

  ${\displaystyle U\triangle U=\varnothing }$

Див. також

• Аксіоматика теорії множин
• Парадокс Расселла
• Універсум (математика)
• Універсум фон Неймана

Джерела

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : , 1937. — 304 с. — .(рос.)

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)