Ендоморфізм

В математиці ендоморфізмом називають морфізм (або гомоморфізм) від математичного об'єкта до себе. Наприклад, ендоморфізмом векторного простору V буде лінійне відображення ƒ: V → V, а ендоморфізмом групи G буде гомоморфізм груп ƒ: G → G. Загалом ми можемо говорити про ендоморфізм у теорії категорій. У категорії множин ендоморфізм — функціональне відображення множини самої на себе.

У будь-якій категорії, композиція двох ендоморфізмів X є ендоморфізмом X. Це означає, що множина всіх ендоморфізмів Х формує Моноїд. Позначається End(X) (або End_C(X) щоб підкреслити категорію С).

Оборотний ендоморфізм Х є автоморфізмом. Множиною всіх автоморфізмів є підмножина End(X) з груповою структурою. Вона називається групою автоморфізмів Х і позначається Aut(X). Розгляньте діаграму нижче (стрілки позначають імплікації):

автоморфізм	${\displaystyle \Rightarrow }$	ізоморфізм
${\displaystyle \Downarrow }$		${\displaystyle \Downarrow }$
ендоморфізм	${\displaystyle \Rightarrow }$	гомоморфізм

Будь-які два ендоморфізми абелевої групи A можна обчислити за формулою (ƒ + g)(a) = ƒ(a) + g(a). Відповідно до цієї формули ендоморфізми абелевих груп утворюють . Наприклад, множина всіх ендорфізмів Zⁿ — це кільце всіх n × n матриць, які складаються з цілих значень. Ендоморфізм векторного простору або модуля також утворюють кільце, як це роблять ендоморфізми будь-якого елемента в предикативних категоріях.

Теорія операторів

В будь-якій конкретній категорії, особливо для векторного простору, ендоморфізм — це відображення множини самої на себе, може інтерпретуватись як унарна операція, що діє на ці елементи. Це дозволить нам визначити поняття орбіти елементів тощо. В залежності від додаткової структури, категорії визначені в розділах (Топологія). Такі оператори можуть мати такі властивості, як неперервна функція і так далі. Більше інформації ви знайдете в розділі Теорія операторів.

Ендофункція в математиці

В математиці ендофункція — це функція, область значень якої дорівнює області її визначення. Ендофункція гомоморфізму — це ендоморфізм. Нехай S — це довільна множина. Серед ендофункцій на S знайдеться перестановка з S і констант функцій, пов'язаних з ${\displaystyle x\in S}$ даних ${\displaystyle c\in S}$. Кожна перестановка з S має свою область значень, еквіваленту області визначень, і є бієктивною та інволютивною. Постійна функція на S, якщо S містить більше одного елемента, має область значень, яка є підмножиною області визначень, та не є бієктивною (інволютивною). Частково, бієктивні ендофункції є інволютивними, тобто функціями, які збігаються зі своїми інверсіями.

Див. також

• Область значень
• Область визначення
• Топологія
• Неперервна функція
• Теорія операторів
• Гомоморфізм
• Абелева група
• Обернений елемент
• Елемент