Категорія метричних просторів або Met — категорія, об'єктами якої є метричні простори, а морфізмами — короткі відображення. (Оскільки композиція з двох коротких відображень є коротким відображенням, ці об'єкти та морфізми дійсно утворюють категорію.)
Початок вивчення цієї категорії поклав [en].
Стрілки
Мономорфізми Met є ін'єктивними короткими відображеннями. Епіморфізми — короткі відображення зі скрізь щільним образом. Ізоморфізми — ізометрії.
Наприклад, включення раціональних чисел у дійсні числа є мономорфізмом та епіморфізмом, але не ізоморфізмом.
Початковим об'єктом Met є порожній метричний простір; будь-який одноточковий метричний простір є термінальним об'єктом. Оскільки початковий об'єкт і термінальні об'єкти різняться, Met не має нульових об'єктів.
Ін'єктивні об'єкти в Met називають ін'єктивними метричними просторами. Ін'єктивні метричні простори вперше ввели та вивчили [en] і Панічпакді (Aronszajn та Panitchpakdi, (1956)), до вивчення Met як категорії; їх також можна визначити внутрішньо в термінах їхніх метричних куль, тому Аронзайн і Панічпакді назвали їх гіперопуклими просторами. Будь-який метричний простір має найменший ін'єктивний метричний простір, в який його можна вкласти ізометрично, званий його ін'єктивною оболонкою.
Добутки
Добуток скінченної множини метричних просторів у Met це метричний постір, точками якого є декартові добутки просторів; відстань у просторі добутків визначається як супремум відстаней у координатних просторах.
Добуток нескінченної множини метричних просторів може не існувати, оскільки відстані в базових просторах можуть не мати супремуму. Тобто Мет не є повною категорією, але вона скінченно замкнута. У Met немає кодобутку.
Варіації та узагальнення
Met — не єдина категорія, чиї об'єкти є метричними просторами; такими ж є категорії рівномірно неперервних функцій, ліпшицевих функцій та квазиліпшицевих відображень. Короткі відображення є як рівномірно безперервними, так і ліпшицевими, зі сталою Липшица не більше 1.
Також виявляється зручно розширити категорію метричних просторів, дозволивши, наприклад, відстаням набувати значення або перехід до преметричних просторів, тобто відмовившись від нерівності трикутника та симетрії для метрики.
Посилання
- ; Panitchpakdi, P. (1956), Extensions of uniformly continuous transformations and hyperconvex metric spaces, Pacific Journal of Mathematics, 6: 405—439, doi:10.2140/pjm.1956.6.405
- ; Deza, Elena (2009), Encyclopedia of Distances ,
- Isbell, J. R. (1964), Six theorems about injective metric spaces, Comment. Math. Helv., 39: 65—76, doi:10.1007/BF02566944
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kategoriya metrichnih prostoriv abo Met kategoriya ob yektami yakoyi ye metrichni prostori a morfizmami korotki vidobrazhennya Oskilki kompoziciya z dvoh korotkih vidobrazhen ye korotkim vidobrazhennyam ci ob yekti ta morfizmi dijsno utvoryuyut kategoriyu Pochatok vivchennya ciyeyi kategoriyi poklav en StrilkiMonomorfizmi Met ye in yektivnimi korotkimi vidobrazhennyami Epimorfizmi korotki vidobrazhennya zi skriz shilnim obrazom Izomorfizmi izometriyi Napriklad vklyuchennya racionalnih chisel u dijsni chisla ye monomorfizmom ta epimorfizmom ale ne izomorfizmom Pochatkovim ob yektom Met ye porozhnij metrichnij prostir bud yakij odnotochkovij metrichnij prostir ye terminalnim ob yektom Oskilki pochatkovij ob yekt i terminalni ob yekti riznyatsya Met ne maye nulovih ob yektiv In yektivni ob yekti v Met nazivayut in yektivnimi metrichnimi prostorami In yektivni metrichni prostori vpershe vveli ta vivchili en i Panichpakdi Aronszajn ta Panitchpakdi 1956 do vivchennya Met yak kategoriyi yih takozh mozhna viznachiti vnutrishno v terminah yihnih metrichnih kul tomu Aronzajn i Panichpakdi nazvali yih giperopuklimi prostorami Bud yakij metrichnij prostir maye najmenshij in yektivnij metrichnij prostir v yakij jogo mozhna vklasti izometrichno zvanij jogo in yektivnoyu obolonkoyu DobutkiDobutok skinchennoyi mnozhini metrichnih prostoriv u Met ce metrichnij postir tochkami yakogo ye dekartovi dobutki prostoriv vidstan u prostori dobutkiv viznachayetsya yak supremum vidstanej u koordinatnih prostorah Dobutok neskinchennoyi mnozhini metrichnih prostoriv mozhe ne isnuvati oskilki vidstani v bazovih prostorah mozhut ne mati supremumu Tobto Met ne ye povnoyu kategoriyeyu ale vona skinchenno zamknuta U Met nemaye kodobutku Variaciyi ta uzagalnennyaMet ne yedina kategoriya chiyi ob yekti ye metrichnimi prostorami takimi zh ye kategoriyi rivnomirno neperervnih funkcij lipshicevih funkcij ta kvazilipshicevih vidobrazhen Korotki vidobrazhennya ye yak rivnomirno bezperervnimi tak i lipshicevimi zi staloyu Lipshica ne bilshe 1 Takozh viyavlyayetsya zruchno rozshiriti kategoriyu metrichnih prostoriv dozvolivshi napriklad vidstanyam nabuvati znachennya displaystyle infty abo perehid do premetrichnih prostoriv tobto vidmovivshis vid nerivnosti trikutnika ta simetriyi dlya metriki Posilannya Panitchpakdi P 1956 Extensions of uniformly continuous transformations and hyperconvex metric spaces Pacific Journal of Mathematics 6 405 439 doi 10 2140 pjm 1956 6 405 Deza Elena 2009 Encyclopedia of Distances Isbell J R 1964 Six theorems about injective metric spaces Comment Math Helv 39 65 76 doi 10 1007 BF02566944