Групоїд (теорія категорій)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: .

У теорії категорій групо́їд — це категорія, у якій усі морфізми є ізоморфізмами.

Групоїди можна розглядати як узагальнення груп. А саме, категорія, відповідна групі ${\displaystyle G}$, має рівно один об'єкт і по одній стрілці для кожного елементу ${\displaystyle g}$ з ${\displaystyle G}$. Композиція стрілок задається як множення відповідних елементів у групі. Видно, що при цьому кожна стрілка є ізоморфізмом. Таким чином множину стрілок групоїда можна розглядати як деяку множину з частково визначеною бінарною операцією множення таку, що для кожного елементу існує лівий і правий зворотній, а також ліва і права одиниця за множенням.

Групоїди природно заміняють у теорії категорій групи симетрій і виникають при класифікації класів ізоморфних об'єктів.

Приклади

• Будь-яка категорія, що є групою, є групоїдом.

• Нехай ${\displaystyle C}$ — довільна категорія, а ${\displaystyle D\hookrightarrow C}$ — підкатегорія, об'єкти якої збігаються с об'єктами ${\displaystyle C}$, а морфізмами є усі можливі ізоморфізми у ${\displaystyle C}$. Тоді ${\displaystyle D}$ — групоїд.

• Нехай ${\displaystyle X}$ — лінійно зв'язний топологічний простір. Тоді його фундаментальний Групоїд ${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$ — це , об'єктами якої є усі точки з ${\displaystyle X}$, а стрілки з ${\displaystyle x\in X}$ у ${\displaystyle y\in X}$ відповідають усім можливим (геометричним) шляхам з ${\displaystyle x}$ у ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle f\colon [0;1]\to X,~f(0)=x,\;f(1)=y}$

Дві функції ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ задають один і той же шлях якщо існує ${\displaystyle s:[0;1]\to [0;1]}$ так, що ${\displaystyle f=g\circ s}$ або ${\displaystyle g=f\circ s}$. Композиція стрілок задається композицією шляхів:

${\displaystyle fg(t)={\begin{cases}f(2t),\;0\leqslant t\leqslant 1/2\\g(2t-1),\;1/2\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}}$

2-морфізм з ${\displaystyle f}$ у ${\displaystyle g}$ — це гомотопія з ${\displaystyle f}$ у ${\displaystyle g}$. Фундаментальний групоїд є фундаментальної групи. Його перевага у тому, що у просторі не потрібно обирати відмічену точку, так що не виникають проблеми з неканонічністю ізоморфізму фундаментальних груп у різних точках або з просторами, які мають декілька компонент зв'язності. Фундаментальна група петель з точки ${\displaystyle x\in X}$ виникає як група 2-ізоморфних автоморфізмів об'єкта ${\displaystyle x\in \Pi _{1}(X)}$.

• Категорія векторних розшарувань рангу ${\displaystyle n}$ над стягуваним простором з невиродженими відображеннями природно утворює групоїд. Це твердження лежить в основі введення поняття ^[en] (котрий є частковим випадком ^[en]), що являє собою собою структуру на категорії пучків заданого типу. Джерби є геометричними об'єктами, що класифікуються групами ${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {G}})}$, де ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ — пучок Груп на ${\displaystyle X}$. Поняття особливо важливе у випадку неабелевих груп ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

Див. також