Узагальнена послідовність

Узагальнена послідовність ( також послідовність Мура — Сміта, направленість, також сітка, мережа від англійської net) в загальній топології — узагальнення поняття послідовності у якому областю визначення є довільна направлена множина (а не лише натуральні числа, як для звичайної послідовності).

Значення цього узагальнення полягає в тому, що воно дозволяє для довільних топологічних просторів дати твердження еквівалентні твердженням класичного аналізу. Зокрема через поняття збіжності узагальнених послідовностей можна охарактеризувати неперервність функцій, замкнутість і компактність множин так як це робиться у математичному аналізі.

Означення

Узагальненою послідовністю в топологічному просторі ${\displaystyle X}$ називається відображення з деякої направленої по зростанню множини ${\displaystyle \mathrm {A} }$ в ${\displaystyle X}$. Для узагальнених послідовностей використовуються позначення: ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$ або просто ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}$.

Будь-яка послідовність є узагальненою послідовністю, в цьому випадку направленою множиною є множина натуральних чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Інший приклад узагальненої послідовності можна отримати розглянувши системи околів точок топологічного простору. Для деякої точки ${\displaystyle x}$ топологічного простору система околів ${\displaystyle B_{x}}$ із відношенням включення є направленою множиною: для двох околів ${\displaystyle U,V\in B_{x}}$ маємо ${\displaystyle U\geqslant V}$, якщо ${\displaystyle U\subset V}$. Якщо у кожному околі ${\displaystyle U\in B_{x}}$ вибрати довільну точку ${\displaystyle x_{U}\in U}$, то відображення ${\displaystyle U\mapsto x_{U}}$ є узагальненою послідовністю.

Пов'язані означення

Границя узагальненої послідовності

Узагальнена послідовність ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$ називається збіжною до точки ${\displaystyle x}$, якщо для будь-якого околу ${\displaystyle V}$ точки ${\displaystyle x}$ існує індекс ${\displaystyle \alpha _{V}\in \mathrm {A} }$ такий, що ${\displaystyle x_{\alpha }\in V}$ для будь-якого ${\displaystyle \alpha \geqslant \alpha _{V}}$. Точка ${\displaystyle x}$ називається границею узагальненої послідовності ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}$ і позначається ${\displaystyle x_{\alpha }{\xrightarrow[{\mathrm {A} }]{}}x}$.

Множина всіх границь узагальненої послідовності ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}$ позначається як ${\displaystyle \lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha }}$. Якщо узагальнена послідовність має точно одну границю ${\displaystyle x}$, то пишуть ${\displaystyle x=\lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha }}$

Узагальнена підпослідовність

Поняття підпослідовності можна узагальнити для узагальнених послідовностей. Узагальнена послідовність ${\displaystyle \left\{y_{\beta }\right\}_{\beta \in \mathrm {B} }}$ називається узагальненою підпослідовністю узагальненої послідовності ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$, якщо для будь-якого ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {A} }$ існує такий індекс ${\displaystyle \beta (\alpha )\in \mathrm {B} }$, що для будь-якого ${\displaystyle \beta '\geqslant \beta (\alpha )}$ існує ${\displaystyle \alpha '\geqslant \alpha }$, що задовольняє рівності ${\displaystyle x_{\alpha '}=y_{\beta '}}$.

Фундаментальна узагальнена послідовність

Фундаментальна узагальнена послідовність (або узагальнена послідовність Коші) є узагальненням звичайної фундаментальної послідовності для рівномірних топологічних просторів.

Узагальнена послідовність ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}$ називається фундаментальною, якщо для будь-якого оточення ${\displaystyle V}$ існує елемент ${\displaystyle \gamma }$, такий що для всіх ${\displaystyle \alpha ,\beta \geqslant \gamma }$, елементи ${\displaystyle (x_{\alpha },x_{\beta })\in V}$.

Верхні і нижні границі узагальнених послідовностей

Для узагальненої послідовності ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}$ за означенням верхня границя є рівною

${\displaystyle \varlimsup _{\alpha }x_{\alpha }=\lim _{\alpha }\sup _{\beta \geqslant \alpha }x_{\beta }=\inf _{\alpha }\sup _{\beta \geqslant \alpha }x_{\beta }.}$

Нижня границя за означенням є рівною:

${\displaystyle \varliminf _{\alpha }x_{\alpha }=\lim _{\alpha }\inf _{\beta \geqslant \alpha }x_{\beta }=\sup _{\alpha }\inf _{\beta \geqslant \alpha }x_{\beta }.}$

Верхні і нижні границі узагальнених послідовностей задовольняють багато властивостей, що є справедливими для звичайних послідовностей. Наприклад:

${\displaystyle \varlimsup _{\alpha }(x_{\alpha }+y_{\alpha })\leqslant \varlimsup _{\alpha }x_{\alpha }+\varlimsup _{\alpha }y_{\alpha },}$

і у випадку збіжності хоча б однієї узагальненої послідовності цей вираз перетворюється у рівність.

Властивості

• Нехай ${\displaystyle E}$ і ${\displaystyle F}$ — топологічні простори і ${\displaystyle a\in E}$. Відображення ${\displaystyle f:E\to F}$ є неперервною в точці ${\displaystyle a}$ тоді і тільки тоді, коли для будь-якої узагальненої послідовності ${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in I}}$, що збігається до ${\displaystyle a}$ у просторі ${\displaystyle E}$, узагальнена послідовність ${\displaystyle (f(x_{i}))_{i\in I}}$ збігається до точки ${\displaystyle f(a)}$ у просторі ${\displaystyle F}$.

Якщо ${\displaystyle f}$ є неперервною в точці ${\displaystyle a}$, то для кожного околу ${\displaystyle V}$ точки ${\displaystyle f(a)}$ у просторі ${\displaystyle F}$, множина ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ є околом ${\displaystyle a}$ у ${\displaystyle E}$. Тому якщо ${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in I}}$ є узагальненою послідовністю, що збігається до точки ${\displaystyle a}$ у ${\displaystyle E}$ то існує ${\displaystyle \alpha \in I}$ для якого ${\displaystyle x_{\beta }\in f^{-1}(V)}$ для всіх ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$, тобто ${\displaystyle f(x_{\beta })\in V}$, і ${\displaystyle (f(x_{\alpha }))_{\alpha \in I}}$ збігається до ${\displaystyle f(a)}$ у ${\displaystyle F}$.

Навпаки, припустимо, що ${\displaystyle f}$ не є неперервною в точці ${\displaystyle a}$ і позначимо ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\supset )}$ направлену систему околів точки ${\displaystyle a}$. Існує окіл ${\displaystyle V}$ точки ${\displaystyle f(a)}$ у ${\displaystyle F}$, такий що для всіх ${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}}$, ${\displaystyle f(U)\not \subset V}$. Оберемо точки ${\displaystyle x_{U}\in U\cap \complement \left[f^{-1}(V)\right]}$ для всіх ${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}}$ (з використанням аксіоми вибору). Тоді ${\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {F}}}}$ збігається до ${\displaystyle a}$ в ${\displaystyle E}$ але ${\displaystyle (f(x_{U}))_{U\in {\mathcal {F}}}}$ не збігається до ${\displaystyle f(a)}$ у ${\displaystyle F}$.

• Якщо топологічний простір є гаусдорфовим, то кожна збіжна узагальнена послідовність має точно одну границю. Навпаки, якщо кожна збіжна узагальнена послідовність має точно одну границю, то простір є гаусдорфовим.

• Поняття границі узагальненої послідовності тісно пов'язане з поняттям точки дотику: точка є точкою дотику множини тоді і тільки тоді, коли існує збіжна до цієї точки узагальнена послідовність елементів цієї множини.

• Підмножина топологічного простору є замкнутою тоді і тільки тоді, коли для кожної збіжної узагальненої послідовності її елементів границя послідовності теж належить цій множині.

• Узагальнена послідовність є збіжною тоді і тільки тоді коли всі її узагальнені підпослідовності є збіжними. Границя узагальненої послідовності тоді є рівною границі будь-якої її підпослідовності.

• Топологічний простір є компактним тоді і тільки тоді, коли для кожної узагальненої послідовності його елементів існує збіжна узагальнена підпослідовність.

Нехай X є компактним. Якщо I є деякою множиною і ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in I}}$ — сім'єю замкнутих підмножин X таких що ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}C_{i}\neq \emptyset }$ для кожної скінченної підмножини ${\displaystyle J\subseteq I}$. Тоді також ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}C_{i}\neq \emptyset }$. В іншому разі, ${\displaystyle \{C_{i}^{c}\}_{i\in I}}$ було б відкритим покриттям X для якого не існувало б скінченного підпокриття, що неможливо. Нехай A — направлена множина і ${\displaystyle \langle x_{\alpha }\rangle _{\alpha \in A}}$ — узагальнена послідовність у X. Для всіх ${\displaystyle \alpha \in A}$ позначимо ${\displaystyle E_{\alpha }\triangleq \{x_{\beta }:\beta \geq \alpha \}.}$ Сім'я множин ${\displaystyle \{\operatorname {cl} (E_{\alpha }):\alpha \in A\}}$ має властивість, що довільна скінченна підмножина множин має непустий перетин. Тому також ${\displaystyle \bigcap _{\alpha \in A}\operatorname {cl} (E_{\alpha })\neq \emptyset }$. Ця множина буде множиною точок дотику узагальненої послідовності ${\displaystyle \langle x_{\alpha }\rangle _{\alpha \in A}}$, що є рівною точкам збіжності узагальнених підпослідовностей у ${\displaystyle \langle x_{\alpha }\rangle _{\alpha \in A}}$. Тому ${\displaystyle \langle x_{\alpha }\rangle _{\alpha \in A}}$ має збіжну узагальнену підпослідовність.

Навпаки припустимо, що кожна узагальнена послідовність у X має збіжну узагальнену підпослідовність. Припустимо, що ${\displaystyle \{U_{i}:i\in I\}}$ є відкритим покриттям X, що не містить скінченного підпокриття. Розглянемо ${\displaystyle D\triangleq \{J\subset I:|J|<\infty \}}$. Тоді D є направленою множиною щодо включення і для кожної ${\displaystyle C\in D}$, існує ${\displaystyle x_{C}\in X}$ таке що ${\displaystyle x_{C}\notin U_{a}}$ для всіх ${\displaystyle a\in C}$. Розглянемо узагальнену послідовність ${\displaystyle \langle x_{C}\rangle _{C\in D}}$. Для неї не існує збіжної узагальненої підпослідовності, тому що для всіх ${\displaystyle x\in X}$ існує ${\displaystyle c\in I}$ таке що ${\displaystyle U_{c}}$ є околом x;проте для всіх ${\displaystyle B\supseteq \{c\}}$, маємо ${\displaystyle x_{B}\notin U_{c}}$. Ця суперечність завершує доведення.

Примітки

1. Willard, Stephen (2012), General Topology, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, с. 260, ISBN .
2. Joshi, K. D. (1983), Introduction to General Topology, New Age International, с. 356, ISBN .

Див. також

• Послідовність
• Фільтр (порядок)

Література

• Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, (англ.)
• Kelley, John L. (1991). General Topology. Springer. ISBN .
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN .