Добуток мір — задання міри на декартовому добутку двох множин з мірою. Має широке застосування в теорії міри, теорії ймовірностей і функціональному аналізі.
Побудова
Нехай — два вимірних простори, а — декартовий добуток множин і .
є сім'єю підмножин . Воно не є сигма-алгеброю. Позначимо
мінімальну -алгебру, що містить всі множини з . Тоді — вимірний простір. Визначимо на ньому міру як:
можна продовжити з на :
і
де
- — перетин вздовж , а
- — перетин вздовж .
Визначена міра називається добутком мір і . Простір з мірою називається (прямим) добутком початкових просторів з мірою.
Властивості
- Добуток мір завжди визначений коректно для будь-яких вимірних просторів.
- Для просторів з мірою добуток мір може бути визначеним неоднозначно. Достатньою умовою однозначності добутку мір є сигма-скінченність обох мір.
- Для довільних просторів з мірою однозначно визначений максимальний добуток мір такий, що якщо значення є скінченним то для всіх добутків мір їх значення на множині A теж рівне
Визначення в теорії ймовірностей
- Якщо — два ймовірнісних простори, то називається їх добутком.
- Якщо — випадкові величини, то — розподіли на і відповідно, а — розподіл на випадкового вектора . Якщо — незалежні, то
Приклад
- Міра Лебега на може бути визначена як добуток одновимірних мір Лебега на :
- де позначає борелівську -алгебру на просторі , і
- Для прикладу добутку просторів з мірою на якому добуток з мірою визначений не єдиним чином нехай На першій множині введемо звичайну міру Лебега, на другій — лічильну міру на сигма-алгебрі всіх підмножин. Тоді двома варіантами добутку мір є: 1. Міра, що кожній множині ставить у відповідність суму усіх її горизонтальних перерізів. 2. Максимальна міра, яка може бути скінченною тільки для множин, що є зліченною сумою множин виду A×B, де або A є множиною лебегової міри нуль або B є одноточковою множиною.
- На діагоналі множини перша міра рівна 0, а друга — нескінченності.
Див. також
Джерела
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Dobutok mir zadannya miri na dekartovomu dobutku dvoh mnozhin z miroyu Maye shiroke zastosuvannya v teoriyi miri teoriyi jmovirnostej i funkcionalnomu analizi PobudovaNehaj X i F i m i i 1 2 displaystyle X i mathcal F i mu i i 1 2 dva vimirnih prostori a X 1 X 2 displaystyle X 1 times X 2 dekartovij dobutok mnozhin X 1 displaystyle X 1 i X 2 displaystyle X 2 F 1 F 2 displaystyle mathcal F 1 times mathcal F 2 ye sim yeyu pidmnozhin X 1 X 2 displaystyle X 1 times X 2 Vono ne ye sigma algebroyu Poznachimo F 1 F 2 s F 1 F 2 displaystyle mathcal F 1 otimes mathcal F 2 sigma mathcal F 1 times mathcal F 2 minimalnu s displaystyle sigma algebru sho mistit vsi mnozhini z F 1 F 2 displaystyle mathcal F 1 times mathcal F 2 Todi X 1 X 2 F 1 F 2 displaystyle X 1 times X 2 mathcal F 1 otimes mathcal F 2 vimirnij prostir Viznachimo na nomu miru m 1 m 2 F 1 F 2 R displaystyle mu 1 otimes mu 2 colon mathcal F 1 otimes mathcal F 2 to mathbb R yak m 1 m 2 A m 1 A 1 m 2 A 2 A A 1 A 2 F 1 F 2 displaystyle mu 1 otimes mu 2 A mu 1 A 1 cdot mu 2 A 2 quad forall A A 1 times A 2 in mathcal F 1 times mathcal F 2 m 1 m 2 displaystyle mu 1 otimes mu 2 mozhna prodovzhiti z F 1 F 2 displaystyle mathcal F 1 times mathcal F 2 na F 1 F 2 displaystyle mathcal F 1 otimes mathcal F 2 m 1 m 2 A X 2 m 1 A x 2 m 2 d x 2 A F 1 F 2 displaystyle mu 1 otimes mu 2 A int limits X 2 mu 1 A x 2 mu 2 dx 2 quad A in mathcal F 1 otimes mathcal F 2 i m 1 m 2 A X 1 m 2 A x 1 m 1 d x 1 displaystyle mu 1 otimes mu 2 A int limits X 1 mu 2 A x 1 mu 1 dx 1 de A x 2 x 1 X 1 x 1 x 2 A displaystyle A x 2 x 1 in X 1 mid x 1 x 2 in A peretin A displaystyle A vzdovzh x 2 X 2 displaystyle x 2 in X 2 a A x 1 x 2 X 2 x 1 x 2 A displaystyle A x 1 x 2 in X 2 mid x 1 x 2 in A peretin A displaystyle A vzdovzh x 1 X 1 displaystyle x 1 in X 1 Viznachena mira m 1 m 2 displaystyle mu 1 otimes mu 2 nazivayetsya dobutkom mir m 1 displaystyle mu 1 i m 2 displaystyle mu 2 Prostir z miroyu X 1 X 2 F 1 F 2 m 1 m 2 displaystyle X 1 times X 2 mathcal F 1 otimes mathcal F 2 mu 1 otimes mu 2 nazivayetsya pryamim dobutkom pochatkovih prostoriv z miroyu VlastivostiDobutok mir zavzhdi viznachenij korektno dlya bud yakih vimirnih prostoriv Dlya prostoriv z miroyu X i F i m i i 1 2 displaystyle X i mathcal F i mu i i 1 2 dobutok mir mozhe buti viznachenim neodnoznachno Dostatnoyu umovoyu odnoznachnosti dobutku mir ye sigma skinchennist oboh mir Dlya dovilnih prostoriv z miroyu odnoznachno viznachenij maksimalnij dobutok mir m 1 m 2 m a x displaystyle mu 1 otimes mu 2 max takij sho yaksho znachennya m 1 m 2 m a x A displaystyle mu 1 otimes mu 2 max A ye skinchennim to dlya vsih dobutkiv mir yih znachennya na mnozhini A tezh rivne m 1 m 2 m a x A displaystyle mu 1 otimes mu 2 max A Viznachennya v teoriyi jmovirnostejYaksho W i F i P i i 1 2 displaystyle Omega i mathcal F i mathbb P i i 1 2 dva jmovirnisnih prostori to W 1 W 2 F 1 F 2 P 1 P 2 displaystyle Omega 1 times Omega 2 mathcal F 1 otimes mathcal F 2 mathbb P 1 otimes mathbb P 2 nazivayetsya yih dobutkom Yaksho X Y W R displaystyle X Y colon Omega to mathbb R vipadkovi velichini to P X P Y displaystyle mathbb P X mathbb P Y rozpodili na R displaystyle mathbb R X displaystyle X i Y displaystyle Y vidpovidno a P X Y displaystyle mathbb P X Y rozpodil na R 2 displaystyle mathbb R 2 vipadkovogo vektora X Y displaystyle X Y top Yaksho X Y displaystyle X Y nezalezhni to P X Y P X P Y displaystyle mathbb P X Y mathbb P X otimes mathbb P Y PrikladMira Lebega m n displaystyle m n na R n displaystyle mathbb R n mozhe buti viznachena yak dobutok n displaystyle n odnovimirnih mir Lebega m 1 displaystyle m 1 na R displaystyle mathbb R B R n i 1 n B R displaystyle mathcal B mathbb R n bigotimes limits i 1 n mathcal B mathbb R de B X displaystyle mathcal B X poznachaye borelivsku s displaystyle sigma algebru na prostori X displaystyle X i m n i 1 n m 1 displaystyle m n bigotimes limits i 1 n m 1 Dlya prikladu dobutku prostoriv z miroyu na yakomu dobutok z miroyu viznachenij ne yedinim chinom nehaj X 1 X 2 0 1 R displaystyle X 1 X 2 0 1 subset mathbb R Na pershij mnozhini vvedemo zvichajnu miru Lebega na drugij lichilnu miru na sigma algebri vsih pidmnozhin Todi dvoma variantami dobutku mir ye 1 Mira sho kozhnij mnozhini stavit u vidpovidnist sumu usih yiyi gorizontalnih pereriziv 2 Maksimalna mira yaka mozhe buti skinchennoyu tilki dlya mnozhin sho ye zlichennoyu sumoyu mnozhin vidu A B de abo A ye mnozhinoyu lebegovoyi miri nul abo B ye odnotochkovoyu mnozhinoyu Na diagonali mnozhini 0 1 0 1 displaystyle 0 1 times 0 1 persha mira rivna 0 a druga neskinchennosti Div takozhTeorema Fubini DzherelaDorogovcev A Ya 1989 Elementy obshej teorii mery i integral K Visha shkola s 152 ISBN 5 11 001190 7 Cohn Donald L 1997 1980 Measure theory vid reprint Boston Basel Stuttgart Birkhauser Verlag s IX 373 ISBN 3 7643 3003 1