Декартовий добуток множин

У теорії множин, дека́ртів добу́ток (прями́й добу́ток) двох множин X та Y — це множина усіх можливих впорядкованих пар, у яких перший компонент належить множині X, а другий — множині Y. Це поняття названо на честь відомого французького математика Рене Декарта.

Декартів добуток множин
Названо на честь	Рене Декарт
Досліджується в	теорія множин
Формула	${\displaystyle A\times B=\{(x,y)\mid x\in A\land y\in B\}}$^[1]
Позначення у формулі	${\displaystyle A\times B}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle (x,y)}$
Нотація	знак множення
Підтримується Вікіпроєктом
Декартів добуток множин у Вікісховищі

Теоретико-множинні операції

${\displaystyle {\overline {A}}\;}$ доповнення

${\displaystyle A\cup B\;}$ об'єднання

${\displaystyle A\cap B\;}$ перетин

${\displaystyle A\setminus B\;}$ різниця

${\displaystyle A\triangle B\;}$ симетрична різниця

${\displaystyle A\times B\;}$ декартів добуток

Декартів добуток ${\displaystyle \scriptstyle A\times B}$ множин ${\displaystyle \scriptstyle A=\{x,y,z\}}$ та ${\displaystyle \scriptstyle B=\{1,2,3\}}$

Декартів добуток двох множин X та Y позначають як X × Y:

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y)|x\in X\land y\in Y\}.}$

Наприклад, якщо множина X складається з 13 елементів {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}, а множина Y — з 4 елементів {червоний, чорний, блакитний, зелений}, то декартів добуток цих множин є 52-елементною множиною (оскільки 13 × 4 = 52) {(A, червоний), (K, червоний), …, (2, червоний), (A, чорний), …, (3, зелений), (2, зелений)}.

Декартів квадрат та n-арний добуток

Декартів квадрат (бінарний декартів добуток) множини X — декартів добуток X² = X×X.

Декартовим квадратом множини дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ є двовимірний простір (площина) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ — множина усіх точок з координатами (x, y), де x та y — дійсні числа (див. Декартова система координат).

Узагальнюючи декартів добуток на випадок n множин X₁, X₂, …, X_n, отримують n-арний декартів (прямий) добуток множин:

${\displaystyle X_{1}\times X_{2}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})|x_{1}\in X_{1}\land x_{2}\in X_{2}\land \cdots \land x_{n}\in X_{n}\}.}$

Результатом є множина впорядкованих n-місних кортежів (n-ок, векторів, впорядкованих наборів). Тут i-й член n-ки називається i-ю координатою або i-ю компонентою.

n-арний декартів добуток однієї множини X × … × X позначають також як Xⁿ і називають декартовим (прямим) степенем множини X.

Властивості

Операція декартового добутку не є асоціативною та комутативною, тобто (A × B) × C ≠ A × (B × C), A × B ≠ B × A.

Справедлива така тотожність відносно операції перетину (для об'єднання не справедлива):

${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D).}$

Дистрибутивність буде виконуватись для таких операцій:

${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C),}$

${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C),}$

${\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C),}$

${\displaystyle {\overline {(A\times B)}}=({\overline {A}}\times {\overline {B}})\cup ({\overline {A}}\times B)\cup (A\times {\overline {B}}).}$

Для підмножин будуть правильні твердження:

• Якщо ${\displaystyle A\subseteq B}$, то ${\displaystyle A\times C\subseteq B\times C,}$
• Якщо ${\displaystyle A,B\neq \emptyset }$, то ${\displaystyle A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D.}$

Проєкції

Проєкцією кортежу A = (x₁, x₂, …, x_n) на i-ту вісь (або i-ю проєкцією) називається i-та координата x_i кортежу A, позначається Pr_i (A) = x_i.

Проєкцією кортежу A = (x₁, x₂, …, x_n) на осі з номерами i₁, i₂,…, i_k називається кортеж (x_i1, x_i2, …, x_ik), позначається Pr_{i1, i2, …, ik}(A).

Приклад: Якщо V = {(a, b, c), (a, c, d), (a, b, d)}, то Pr₁V = {a}, Pr₂V = {b, c}, Pr_{2, 3}V = {(b, c), (c, d), (b, d)}.

Див. також

• Залишково скінченна група
• Добуток графів
• Декартів добуток графів
• Прямий добуток груп

Примітки

1. 2-6.16 // ISO 80000-2:2019Quantities and units — Part 2: Mathematics — 2 — ISO, 2019. — 36 с.
   d:Track:Q109490582d:Track:Q15028

Джерела

• Кантор Г. Труды по теории множеств. — Москва : Наука, 1985.