Теорема двоїстості Фенхеля

Теорема двоїстості Фенхеля — це результат теорії опуклих функцій, що носить ім'я німецького математика ^[de] .

Нехай ƒ — ^[en] на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, а g — власна увігнута функція на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Тоді, якщо задоволені умови регулярності,

${\displaystyle \inf _{x}(f(x)-g(x))=\sup _{p}(g_{\star }(p)-f^{\star }(p)).}$

де ${\displaystyle f^{\star }}$ є опуклим спряженням функції ƒ (яке називають перетворенням Фенхеля — Лежандра), а ${\displaystyle g_{\star }}$ — увігнутим спряженням функції g. Тобто,

${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

${\displaystyle g_{\star }\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

Математична теорема

Нехай X і Y — банахові простори, ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ і ${\displaystyle g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ — опуклі функції, а ${\displaystyle A:X\to Y}$ — обмежене лінійне відображення. Тоді задачі Фенхеля

${\displaystyle p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}}$

${\displaystyle d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}}$

задовольняють слабкій двоїстості, тобто ${\displaystyle p^{*}\geqslant d^{*}}$ . Зауважимо, що ${\displaystyle f^{\star },g^{\star }}$ є опуклими спряженнями функцій f і g відповідно, а ${\displaystyle A^{*}}$ є спряженим оператором. ^[en] для цієї двоїстої задачі задає формула ${\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)}$ .

Припустимо, що f, g і A задовольняє або

1. f і g напівнеперервні знизу і ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} g-A\operatorname {dom} f)}$, де ${\displaystyle \operatorname {core} }$ — ^[en] , а ${\displaystyle \operatorname {dom} h}$ де h — деяка функція, є множиною ${\displaystyle \{z:h(z)<+\infty \}}$, або
2. ${\displaystyle A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset }$, де ${\displaystyle \operatorname {cont} }$ — це точки, де функція неперервна.

Тоді має місце сильна двоїстість, тобто ${\displaystyle p^{*}=d^{*}}$. Якщо ${\displaystyle d^{*}\in \mathbb {R} }$, то супремум досягається.

Одновимірна ілюстрація

На малюнку ілюструється задача мінімізації в лівій частині рівності. Шукається значення змінної x, такої, що вертикальна відстань між опуклою і увігнутою кривою в точці x настільки мала, наскільки можливо. Положення вертикальної прямої на малюнку (приблизно) оптимальне.

Наступний малюнок ілюструє задачу максимізації у правій частині рівності. Дотичні, проведені до кожної кривої, мають однаковий нахил p. Задача полягає в уточненні значення p так, щоб дві дотичні були якнайдалі одна від одної (точніше так, щоб точки перетину їх із віссю y були якнайдалі одна від одної). Механічно, можна уявити дотичні як металеві стрижні, з'єднані вертикальними пружинами, які їх розштовхують, а параболи обмежують положення стрижнів.

Теорема Фенхеля стверджує, що ці дві задачі мають один і той самий розв'язок. Точки, що мають мінімальне вертикальне розділення, також є точками дотику для максимально розсунутих паралельних дотичних.

Див. також

• Перетворення Лежандра
• Опукле спряження
• ^[en]

Примітки

1. Borwein, Zhu, 2005, с. 135–137.

Література

• R. Tyrrell Rockafellar. Convex Analysis. — Princeton University Press, 1996. — С. 327. — .
• Jonathan Borwein, Qiji Zhu. Techniques of Variational Analysis. — Springer, 2005. — .