Логічні висловлювання (чи́слення висло́влень, логіка висловлень, пропозиційна логіка, англ. propositional calculus) — поняття висловлювання, як і поняття множини, не означають, а дають йому описову характеристику з використанням багатьох прикладів. Зокрема, до висловлювань відносять розповідні речення, які можна охарактеризувати як істинні або хибні. Таким чином, під висловлюванням розуміють таке речення, яке є істинним або хибним. Відповідь на запитання про істинність чи хибність даного висловлювання дає та галузь науки чи людської діяльності, до якої воно належить.
Розглянемо приклади:
- Київ — столиця України;
- квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний;
- x + 2y < 1;
- 5=9;
- відкрийте книгу на десятій сторінці.
Серед наведених речень 1–4 є висловлюваннями, причому 1, 2 істинні, а 4 — хибне. Речення 5 не належить до висловлювань.
Висловлювання позначають великими латинськими буквами (з індексами або без них): A, B, C1, C2,… Ці букви називають висловлювальними змінними. У математичній логіці висловлювання вивчають тільки з погляду того, істинні вони чи хибні, не цікавлячись їх конкретним змістом.
Тому для довільного висловлювання A введемо його значення істинності |A| за таким правилом: Наприклад, якщо позначимо A висловлювання «е — раціональне число», а B — висловлювання «залізо — це метал», то матимемо |A| = 0, |B| = 1.
Усі висловлювання можна поділити на прості і складні. Просте висловлювання — це таке висловлювання, яке не утворене з інших висловлювань, а складне висловлювання утворюється з простих висловлювань. Наприклад, висловлювання «2 + 3 = 8» є простим, а висловлювання «Якщо 36 ділиться на 2 і 36 ділиться на 3, то 36 ділиться на 6» є складним.
У математичній логіці прості висловлювання розглядаються як цілі, неподільні, їх внутрішню структуру не аналізують. Навпаки, визначення істинності чи хибності складних висловлювань є одним із завдань логіки.
Складні висловлювання одержують з більш простих за допомогою логічних операцій. При утворенні висловлювань найчастіше використовується частка не та сполучні слова і, або, якщо …, то, … тоді і тільки тоді, коли …. у математичній логіці їм відповідають певні логічні операції.
Логіка висловлювань (ЛВ) — розділ символічної логіки, що вивчає необхідні відношення між висловлюваннями, на підставі чого визначають значення істинності висловлювань; дедуктивна теорія, яка моделює процес виведення одних висловлювань з інших за принципом логічного слідування. Це історично перша формально-логічна система, побудована засобами.
У межах логіки висловлювань можуть бути побудовані (формально-логічні теорії без дедуктивної частини, тобто без аксіом і правил виведення) та логічні числення (формально-логічні теорії, на синтаксичному рівні котрих задаються системи їхніх аксіом і строго визначена сукупність правил виведення). Більшість класичних формально-логічних теорій логіки висловлювань побудовано у формі логічних числень. Перше числення висловлювань отримало назву «класичне числення висловлювань» (КЧВ) — формалізація висловлювань засобами особливої мови та здійснення логічних операцій над ними з метою перетворення простих висловлювань на складні та їх перетворення на нові складні висловлювання.
Класична логіка висловлювань (КЛВ)
Класична логіка висловлювань (КЛВ) є основою сучасної символічної , на базі якої створюються нові формально-логічні системи (логічні числення). Ідею логічного числення вперше сформулював німецький філософ, логік, математик Г. Лейбніц. Історично першу систему логіки висловлювань, або алгебру логіки, створив англійський логік Дж. Буль, в якій використовували алгебраїчні методи для вирішення певних логічних задач. Подальший розвиток логіки висловлювань здійснювали логіки та математики — О. де Морган, Б. Шредер, Г. Фреге, Б. Рассел.
Логіка висловлювань як формально-логічна система будується за певним алгоритмом, тобто на підставі визначених принципів і в певній послідовності. Розрізняють семантику і синтаксис логіки висловлювань.
Семантика визначає змістовний аспект неформальних відношень між висловлюваннями у термінах «висловлювання», «властивість», «відношення».
Синтаксис
Синтаксис визначає формальну структуру висловлювань і його зображення засобами штучно створеної мови, за допомогою якої аналізується логічна структура висловлювань та здійснюється побудова числення висловлювань (перетворення простих висловлювань на складні й виведення одних складних висловлювань з інших).
Мова логіки висловлювань
Мова логіки висловлювань — система символів, котрі називаються алфавітом. Алфавіт:
- Символи для позначення простих висловлювань (пропозиційні змінні) — А, В, С, … (або р, </, г, я; р{, р2, р).
- Символи, що позначають істинносні значення висловлювань — «і», «*».
- Символи для позначень пропозиційних зв'язок (логічні сполучники, логічні постійні):
- Допоміжні (розділові, технічні) символи — (ліва дужка, права дужка).
ДНФ та КНФ
Визначення або обґрунтування семантичної властивості будь-якої довільної складної формули в логіці висловлювань може здійснюватися і на синтаксичному рівні, тобто на підставі аналізу зовнішнього вигляду (структури) самої формули. Для цього використовують розв'язувальну процедуру — зведення формули до її кон'юнктивної нормальної форми (КНФ) або диз'юнктивної нормальної форми (ДНФ).
Якщо нормальна форма є формулою, яка містить лише логічні операції кон'юнкції, диз'юнкції та заперечення, то кон'юнктивою нормальною формою називають формулу, яка є кон'юнкцією елементарних диз'юнкцій (тобто диз'юнкцій простих формул або їх заперечень), а диз'юнктивною нормальною формою називають формулу, що є диз'юнкцією елементарних кон'юнкцій (тобто кон'юнкції простих формул або їх заперечень). Наприклад, формула виду («o А, V А2) ^ А8 є КНФ, а саме — кон'юнкцією таких двох елементарних диз'юнкцій, як і А, V А2 та А,; формула виду (-„А1 Λ А^) V А, V А4 є ДНФ, а саме — диз'юнкцією таких трьох елементарних кон'юнкцій, як -“ А1 Л А2, А3, А4, а формула виду А, V А2 Л А3 не є ні КНФ, ні ДНФ.
Формула тотожно-істинна, якщо в кожну елементарну диз'юнкцію її КНФ одночасно входить будь-яка її проста формула разом зі своїм запереченням (таке входження ще називають регулярним). Наприклад, КНФ для формули (А → В) → (-ч В -» -і А) має вигляд (Ач В V → А) л (→ В V В V → А). Оскільки і перша елементарна диз'юнкція (А V В V -o А) містить регулярне входження А та -o А, і друга елементарна диз'юнкція ("o В V В V -"А) містить регулярне входження -«В і В, то й кон'юнкція цих двох істинних диз'юнктивних формул є істинною формулою, а отже, є істинною і та формула, для якої було знайдено саме цю КНФ.
Формула тотожно-хибна, якщо в кожну елементарну кон'юнкцію її ДНФ одночасно входить будь-яка її проста формула разом зі своїм запереченням, оскільки диз'юнкція всіх хибних підформул — хибна формула. Якщо ні КНФ, ні ДНФ конкретної складної формули не містить у своїх підформулах регулярних входжень, то таку складну формулу вважають нейтральною (або виконуваною), і її істинне значення залежить не лише від логічної структури, а й від конкретних властивостей простих висловлювань бути істинними чи хибними.
У логіці висловлювань будь-яку правильно побудовану складну формулу можна звести або до КНФ, або до ДНФ через рівносильні перетворення, причому кількість КНФ чи ДНФ для однієї формули може бути довільною (тобто кожна формула може мати не одну КНФ або ДНФ, а низку множинностей КНФ чи ДНФ). Рівносильні перетворення полягають у заміні формули одного вигляду на формулу іншого вигляду за умови, що ці дві формули рівносильні.
Рівносильні формули логіки висловлювань
Формули називаються рівносильними, якщо таблиці істинності цих формул будуть збігатися. Рівносильні формули називаються ще еквівалентними, бо в процесі кожного набору значень для своїх змінних вони набувають однакового значення істинності або значення хибності (див. таблицю істинності для формули еквівалентності А = В).
Рівносильну формулу можна отримати внаслідок заміни пропозиційних зв'язок на підставі відношення залежності між ними. Визначають, що для будь-якої формули можна назвати рівносильну для неї формулу, яка містить символи -і, V, V. Наприклад, формулу виду −1 А V-» В можна замінити формулою виду -« (А Λ В), що означає -oA /-іВ = -» (А Λ В); формулу виду А → В можна замінити формулою -« А V В, що означає А → В = -і А V В; формулу А V В можна замінити формулою -» (-«А В), що означає А V В =→(-* А Л → В).
Рівносильні формули називаються законами логіки висловлювань.
Закони логіки висловлювань (ЛВ) — рівносильні, тотожно-істинні формули, що входять до структури класичної символічної логіки як формальної системи. До них належать: закон тотожності, закон несуперечності, закон виключеного третього, закон асоціативності, закон дистрибутивності, закон ідемпотентності, закон комутативності, закон , закон поглинання, закон , закони де Моргана та інші.
Закон тотожності визначає, що кожне висловлювання є логічним наслідком самого себе. Формальний вираз закону А→ А.
Закон несуперечності визначає, що висловлювання А неправильне, якщо водночас істинні його ствердження і його заперечення. Формальний вираз закону −1 (А л → А).
Закон виключеного третього визначає, що висловлювання А або істинне, або хибне за значенням істинності, але не може бути водночас істинним і хибним. Формальний вираз закону А 1 А.
Закони тотожності, несуперечності, виключеного третього вперше сформулював Арістотель. Вони є також законами традиційної логіки (див. 3.3). У символічній логіці ці закони розглядають як елементи певної формально-логічної системи і методом побудови таблиці істинності визначають як тотожно-істинні формули.
З виникненням і подальшим розвитком символічної логіки були визначені нові закони логіки висловлювань.
Закони
- Закон експортації визначає, що коли змінні А, В, С з'єднані символами кон'юнкції та імплікації, то з істинності кон'юнкції А та В випливає істинність С: (А Λ В → С) К А → (В → С), де ь- — символ дедуктивного виведення (чит.: якщо істинність кон'юнкції А Λ В → С, то, якщо істинне А, — випливає з істинності В слідує істинність С).
- Закон ідемпотентності (лат. — той, що зберігає те ж саме) означає: добуток двох висловлювань А Λ А чи сума двох висловлювань А V А еквівалентна самому висловлюванню А, тобто, для кон'юнкції (А Λ А) = А (кон'юнкція двох висловлювань А й А еквівалентна А); для диз'юнкції А V А = А (диз'юнкція двох висловлювань А чи А еквівалентна А).
- Закон комутативності (лат. — змінюючий) означає, що при множенні (кон'юнкції) та додаванні (диз'юнкції) результат не залежить від порядку змінних. Закон комутативності: для кон'юнкції (А Λ В) = (В Λ А) (чит.: А та В еквівалентне В та А); для диз'юнкції (А V В) = (В V А) (чит.: А або В еквівалентне, що В або А).
- (лат. — протиставлення) — закон, за яким імплікації можна протиставити її заперечення: (А → В) = (¬ В → ¬А) (чит.: якщо з висловлювання А випливає висловлювання В, то із заперечення висловлювання В випливає заперечення А).
- Закон поглинання визначає, що в кон'юнктивному або диз'юнктивному висловлюванні зі змінними А, В здійснюється поглинання додаткового висловлювання. Закон поглинання: для кон'юнкції А Λ (А v В) = А (чит.: А й (А або В) еквівалентне А); для диз'юнкції А V (А V В) = А (чит.: А або (А або В) еквівалентне А).
- Закон подвійного заперечення визначає, що подвійне заперечення висловлювання А (заперечення заперечення) еквівалентне його ствердженню. Зображають формулами:
- 1. -» А → А (чит.: якщо неправильно, що не А, то А);
- 2* "« -» А = А (чит.: неправильно, що не А еквівалентне ствердженню А).
Відношення логічного слідування між формулами
Між певними формулами логіки висловлювань існує відношення Це означає: якщо із формули виду слідує формула виду то кожен раз, коли формула Р є істинною, то й формула Р2 є істинною. відношення логічного слідування: Р, -« Р2. Наприклад, із формули виду А слідує формула виду А v В; із формули виду → -o А слідує формула виду А; із формули виду А v А слідує формула виду А.
На підставі встановлення відношення рівносильності та слідування здійснюють операцію доведення певних формул на істинність за правилами виведення. Операція доведення — невід'ємна частина будь-якого числення висловлювань.
Числення логіки висловлювань — система символів і правил логічного виведення із аксіом довільних формул або теорем з метою їх доведення на істинність. Розрізняють натуральне й аксіоматичне числення логіки висловлювань.
Натуральне числення логіки висловлювань відтворює логічну будову звичайних міркувань. Вперше натуральні числення розробили незалежно один від одного польський логік С. Яськовський (1906—1965) і німецький логік (1907—1945) у 30-х роках XX ст.
Розглянемо одну із систем натурального числення, яку позначимо літерою 5. Основні правила системи 5.
Правила логічного слідування
(А → В, А) -» В (правило модус поненс); (А -« В, -і В) -» -« А (правило модус толленс); (А, В) → А Λ В (правило ВК — введення кон'юнкції); (А Λ В) → А; (А Λ В) → В (правило усунення кон'юнкції);
А → (А v В); В -» (А v В) (правило ВД — );
(А 1 В, А) -« -і В; (А 1 В, — В) -» А (правило УД — усунення диз'юнкції);
((А → В, В → А)) -« (А = В) (правило ВЕ — введення еквівалентності);
(А = В) → (А → В); (А = В) -»(В → А) (правило УЕ — усунення еквівалентності));
А → -і -і А (правило (В32) — введення подвійного заперечення);
-« -і А → А (правило У32 — усунення подвійного заперечення).
Правила побудови доведення.
Правила побудови прямого доведення. Пряме доведення формули А1 → (А2 … (Ая → С) будується в такий спосіб. На будь-якому кроці доведення можна визначити:
- Одну із формул А1, А2,… Аn як припущення.
- Формулу, що випливає з раніше невизначених формул за правилами логічного слідування.
- Раніше доведену формулу.
Непряме доведення формули А, → (А2 -» (Ал → С) будується так: На будь-якому кроці доведення можна визначити:
- Одну з формул А,, А2,… Ая як припущення.
- Формулу, що суперечить формулі С.
- Формулу, що випливає з раніше визначених формул за одним із правил логічного слідування.
- Раніше доведену формулу.
Див. також
Література
- J. M. Bocheński. Formale Logik. 5. unveränderte Auflage. Alber, Freiburg (Breisgau) u. a. 1996, , (Orbis academicus 3, 2).
- Walter Bröcker. Formale, transzendentale und spekulative Logik. Klostermann, Frankfurt am Main 1962.
- Paul Hoyningen-Huene. Formale Logik. Eine philosophische Einführung. Reclam, Stuttgart 1998, .
- Edmund Husserl. Formale und transzendentale Logik. Versuch einer Kritik der logischen Vernunft. 2. Auflage. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage 1929. Niemeyer, Tübingen 1981, .
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Logichni vislovlyuvannya chi slennya vislo vlen logika vislovlen propozicijna logika angl propositional calculus ponyattya vislovlyuvannya yak i ponyattya mnozhini ne oznachayut a dayut jomu opisovu harakteristiku z vikoristannyam bagatoh prikladiv Zokrema do vislovlyuvan vidnosyat rozpovidni rechennya yaki mozhna oharakterizuvati yak istinni abo hibni Takim chinom pid vislovlyuvannyam rozumiyut take rechennya yake ye istinnim abo hibnim Vidpovid na zapitannya pro istinnist chi hibnist danogo vislovlyuvannya daye ta galuz nauki chi lyudskoyi diyalnosti do yakoyi vono nalezhit Rozglyanemo prikladi Kiyiv stolicya Ukrayini kvadrat bud yakogo dijsnogo chisla nevid yemnij x 2y lt 1 5 9 vidkrijte knigu na desyatij storinci Sered navedenih rechen 1 4 ye vislovlyuvannyami prichomu 1 2 istinni a 4 hibne Rechennya 5 ne nalezhit do vislovlyuvan Vislovlyuvannya poznachayut velikimi latinskimi bukvami z indeksami abo bez nih A B C1 C2 Ci bukvi nazivayut vislovlyuvalnimi zminnimi U matematichnij logici vislovlyuvannya vivchayut tilki z poglyadu togo istinni voni chi hibni ne cikavlyachis yih konkretnim zmistom Tomu dlya dovilnogo vislovlyuvannya A vvedemo jogo znachennya istinnosti A za takim pravilom Napriklad yaksho poznachimo A vislovlyuvannya e racionalne chislo a B vislovlyuvannya zalizo ce metal to matimemo A 0 B 1 Usi vislovlyuvannya mozhna podiliti na prosti i skladni Proste vislovlyuvannya ce take vislovlyuvannya yake ne utvorene z inshih vislovlyuvan a skladne vislovlyuvannya utvoryuyetsya z prostih vislovlyuvan Napriklad vislovlyuvannya 2 3 8 ye prostim a vislovlyuvannya Yaksho 36 dilitsya na 2 i 36 dilitsya na 3 to 36 dilitsya na 6 ye skladnim U matematichnij logici prosti vislovlyuvannya rozglyadayutsya yak cili nepodilni yih vnutrishnyu strukturu ne analizuyut Navpaki viznachennya istinnosti chi hibnosti skladnih vislovlyuvan ye odnim iz zavdan logiki Skladni vislovlyuvannya oderzhuyut z bilsh prostih za dopomogoyu logichnih operacij Pri utvorenni vislovlyuvan najchastishe vikoristovuyetsya chastka ne ta spoluchni slova i abo yaksho to todi i tilki todi koli u matematichnij logici yim vidpovidayut pevni logichni operaciyi Logika vislovlyuvan LV rozdil simvolichnoyi logiki sho vivchaye neobhidni vidnoshennya mizh vislovlyuvannyami na pidstavi chogo viznachayut znachennya istinnosti vislovlyuvan deduktivna teoriya yaka modelyuye proces vivedennya odnih vislovlyuvan z inshih za principom logichnogo sliduvannya Ce istorichno persha formalno logichna sistema pobudovana zasobami U mezhah logiki vislovlyuvan mozhut buti pobudovani formalno logichni teoriyi bez deduktivnoyi chastini tobto bez aksiom i pravil vivedennya ta logichni chislennya formalno logichni teoriyi na sintaksichnomu rivni kotrih zadayutsya sistemi yihnih aksiom i strogo viznachena sukupnist pravil vivedennya Bilshist klasichnih formalno logichnih teorij logiki vislovlyuvan pobudovano u formi logichnih chislen Pershe chislennya vislovlyuvan otrimalo nazvu klasichne chislennya vislovlyuvan KChV formalizaciya vislovlyuvan zasobami osoblivoyi movi ta zdijsnennya logichnih operacij nad nimi z metoyu peretvorennya prostih vislovlyuvan na skladni ta yih peretvorennya na novi skladni vislovlyuvannya Klasichna logika vislovlyuvan KLV Klasichna logika vislovlyuvan KLV ye osnovoyu suchasnoyi simvolichnoyi na bazi yakoyi stvoryuyutsya novi formalno logichni sistemi logichni chislennya Ideyu logichnogo chislennya vpershe sformulyuvav nimeckij filosof logik matematik G Lejbnic Istorichno pershu sistemu logiki vislovlyuvan abo algebru logiki stvoriv anglijskij logik Dzh Bul v yakij vikoristovuvali algebrayichni metodi dlya virishennya pevnih logichnih zadach Podalshij rozvitok logiki vislovlyuvan zdijsnyuvali logiki ta matematiki O de Morgan B Shreder G Frege B Rassel Logika vislovlyuvan yak formalno logichna sistema buduyetsya za pevnim algoritmom tobto na pidstavi viznachenih principiv i v pevnij poslidovnosti Rozriznyayut semantiku i sintaksis logiki vislovlyuvan Semantika viznachaye zmistovnij aspekt neformalnih vidnoshen mizh vislovlyuvannyami u terminah vislovlyuvannya vlastivist vidnoshennya SintaksisSintaksis viznachaye formalnu strukturu vislovlyuvan i jogo zobrazhennya zasobami shtuchno stvorenoyi movi za dopomogoyu yakoyi analizuyetsya logichna struktura vislovlyuvan ta zdijsnyuyetsya pobudova chislennya vislovlyuvan peretvorennya prostih vislovlyuvan na skladni j vivedennya odnih skladnih vislovlyuvan z inshih Mova logiki vislovlyuvanMova logiki vislovlyuvan sistema simvoliv kotri nazivayutsya alfavitom Alfavit Simvoli dlya poznachennya prostih vislovlyuvan propozicijni zminni A V S abo r lt g ya r r2 r Simvoli sho poznachayut istinnosni znachennya vislovlyuvan i Simvoli dlya poznachen propozicijnih zv yazok logichni spoluchniki logichni postijni kon yunkciyi L nestrogoyi diz yunkciyi V strogoyi viklyuchnoyi diz yunkciyi X implikaciyi ekvivalentnosti zaperechennya Dopomizhni rozdilovi tehnichni simvoli liva duzhka prava duzhka DNF ta KNFViznachennya abo obgruntuvannya semantichnoyi vlastivosti bud yakoyi dovilnoyi skladnoyi formuli v logici vislovlyuvan mozhe zdijsnyuvatisya i na sintaksichnomu rivni tobto na pidstavi analizu zovnishnogo viglyadu strukturi samoyi formuli Dlya cogo vikoristovuyut rozv yazuvalnu proceduru zvedennya formuli do yiyi kon yunktivnoyi normalnoyi formi KNF abo diz yunktivnoyi normalnoyi formi DNF Yaksho normalna forma ye formuloyu yaka mistit lishe logichni operaciyi kon yunkciyi diz yunkciyi ta zaperechennya to kon yunktivoyu normalnoyu formoyu nazivayut formulu yaka ye kon yunkciyeyu elementarnih diz yunkcij tobto diz yunkcij prostih formul abo yih zaperechen a diz yunktivnoyu normalnoyu formoyu nazivayut formulu sho ye diz yunkciyeyu elementarnih kon yunkcij tobto kon yunkciyi prostih formul abo yih zaperechen Napriklad formula vidu o A V A2 A8 ye KNF a same kon yunkciyeyu takih dvoh elementarnih diz yunkcij yak i A V A2 ta A formula vidu A1 L A V A V A4 ye DNF a same diz yunkciyeyu takih troh elementarnih kon yunkcij yak A1 L A2 A3 A4 a formula vidu A V A2 L A3 ne ye ni KNF ni DNF Formula totozhno istinna yaksho v kozhnu elementarnu diz yunkciyu yiyi KNF odnochasno vhodit bud yaka yiyi prosta formula razom zi svoyim zaperechennyam take vhodzhennya she nazivayut regulyarnim Napriklad KNF dlya formuli A V ch V i A maye viglyad Ach V V A l V V V V A Oskilki i persha elementarna diz yunkciya A V V V o A mistit regulyarne vhodzhennya A ta o A i druga elementarna diz yunkciya o V V V V A mistit regulyarne vhodzhennya V i V to j kon yunkciya cih dvoh istinnih diz yunktivnih formul ye istinnoyu formuloyu a otzhe ye istinnoyu i ta formula dlya yakoyi bulo znajdeno same cyu KNF Formula totozhno hibna yaksho v kozhnu elementarnu kon yunkciyu yiyi DNF odnochasno vhodit bud yaka yiyi prosta formula razom zi svoyim zaperechennyam oskilki diz yunkciya vsih hibnih pidformul hibna formula Yaksho ni KNF ni DNF konkretnoyi skladnoyi formuli ne mistit u svoyih pidformulah regulyarnih vhodzhen to taku skladnu formulu vvazhayut nejtralnoyu abo vikonuvanoyu i yiyi istinne znachennya zalezhit ne lishe vid logichnoyi strukturi a j vid konkretnih vlastivostej prostih vislovlyuvan buti istinnimi chi hibnimi U logici vislovlyuvan bud yaku pravilno pobudovanu skladnu formulu mozhna zvesti abo do KNF abo do DNF cherez rivnosilni peretvorennya prichomu kilkist KNF chi DNF dlya odniyeyi formuli mozhe buti dovilnoyu tobto kozhna formula mozhe mati ne odnu KNF abo DNF a nizku mnozhinnostej KNF chi DNF Rivnosilni peretvorennya polyagayut u zamini formuli odnogo viglyadu na formulu inshogo viglyadu za umovi sho ci dvi formuli rivnosilni Rivnosilni formuli logiki vislovlyuvanFormuli nazivayutsya rivnosilnimi yaksho tablici istinnosti cih formul budut zbigatisya Rivnosilni formuli nazivayutsya she ekvivalentnimi bo v procesi kozhnogo naboru znachen dlya svoyih zminnih voni nabuvayut odnakovogo znachennya istinnosti abo znachennya hibnosti div tablicyu istinnosti dlya formuli ekvivalentnosti A V Rivnosilnu formulu mozhna otrimati vnaslidok zamini propozicijnih zv yazok na pidstavi vidnoshennya zalezhnosti mizh nimi Viznachayut sho dlya bud yakoyi formuli mozhna nazvati rivnosilnu dlya neyi formulu yaka mistit simvoli i V V Napriklad formulu vidu 1 A V V mozhna zaminiti formuloyu vidu A L V sho oznachaye oA iV A L V formulu vidu A V mozhna zaminiti formuloyu A V V sho oznachaye A V i A V V formulu A V V mozhna zaminiti formuloyu A V sho oznachaye A V V A L V Rivnosilni formuli nazivayutsya zakonami logiki vislovlyuvan Zakoni logiki vislovlyuvan LV rivnosilni totozhno istinni formuli sho vhodyat do strukturi klasichnoyi simvolichnoyi logiki yak formalnoyi sistemi Do nih nalezhat zakon totozhnosti zakon nesuperechnosti zakon viklyuchenogo tretogo zakon asociativnosti zakon distributivnosti zakon idempotentnosti zakon komutativnosti zakon zakon poglinannya zakon zakoni de Morgana ta inshi Zakon totozhnosti viznachaye sho kozhne vislovlyuvannya ye logichnim naslidkom samogo sebe Formalnij viraz zakonu A A Zakon nesuperechnosti viznachaye sho vislovlyuvannya A nepravilne yaksho vodnochas istinni jogo stverdzhennya i jogo zaperechennya Formalnij viraz zakonu 1 A l A Zakon viklyuchenogo tretogo viznachaye sho vislovlyuvannya A abo istinne abo hibne za znachennyam istinnosti ale ne mozhe buti vodnochas istinnim i hibnim Formalnij viraz zakonu A 1 A Zakoni totozhnosti nesuperechnosti viklyuchenogo tretogo vpershe sformulyuvav Aristotel Voni ye takozh zakonami tradicijnoyi logiki div 3 3 U simvolichnij logici ci zakoni rozglyadayut yak elementi pevnoyi formalno logichnoyi sistemi i metodom pobudovi tablici istinnosti viznachayut yak totozhno istinni formuli Z viniknennyam i podalshim rozvitkom simvolichnoyi logiki buli viznacheni novi zakoni logiki vislovlyuvan ZakoniZakon eksportaciyi viznachaye sho koli zminni A V S z yednani simvolami kon yunkciyi ta implikaciyi to z istinnosti kon yunkciyi A ta V viplivaye istinnist S A L V S K A V S de simvol deduktivnogo vivedennya chit yaksho istinnist kon yunkciyi A L V S to yaksho istinne A viplivaye z istinnosti V sliduye istinnist S Zakon idempotentnosti lat toj sho zberigaye te zh same oznachaye dobutok dvoh vislovlyuvan A L A chi suma dvoh vislovlyuvan A V A ekvivalentna samomu vislovlyuvannyu A tobto dlya kon yunkciyi A L A A kon yunkciya dvoh vislovlyuvan A j A ekvivalentna A dlya diz yunkciyi A V A A diz yunkciya dvoh vislovlyuvan A chi A ekvivalentna A Zakon komutativnosti lat zminyuyuchij oznachaye sho pri mnozhenni kon yunkciyi ta dodavanni diz yunkciyi rezultat ne zalezhit vid poryadku zminnih Zakon komutativnosti dlya kon yunkciyi A L V V L A chit A ta V ekvivalentne V ta A dlya diz yunkciyi A V V V V A chit A abo V ekvivalentne sho V abo A lat protistavlennya zakon za yakim implikaciyi mozhna protistaviti yiyi zaperechennya A V V A chit yaksho z vislovlyuvannya A viplivaye vislovlyuvannya V to iz zaperechennya vislovlyuvannya V viplivaye zaperechennya A Zakon poglinannya viznachaye sho v kon yunktivnomu abo diz yunktivnomu vislovlyuvanni zi zminnimi A V zdijsnyuyetsya poglinannya dodatkovogo vislovlyuvannya Zakon poglinannya dlya kon yunkciyi A L A v V A chit A j A abo V ekvivalentne A dlya diz yunkciyi A V A V V A chit A abo A abo V ekvivalentne A Zakon podvijnogo zaperechennya viznachaye sho podvijne zaperechennya vislovlyuvannya A zaperechennya zaperechennya ekvivalentne jogo stverdzhennyu Zobrazhayut formulami 1 A A chit yaksho nepravilno sho ne A to A 2 A A chit nepravilno sho ne A ekvivalentne stverdzhennyu A Vidnoshennya logichnogo sliduvannya mizh formulami Mizh pevnimi formulami logiki vislovlyuvan isnuye vidnoshennya Ce oznachaye yaksho iz formuli vidu sliduye formula vidu to kozhen raz koli formula R ye istinnoyu to j formula R2 ye istinnoyu vidnoshennya logichnogo sliduvannya R R2 Napriklad iz formuli vidu A sliduye formula vidu A v V iz formuli vidu o A sliduye formula vidu A iz formuli vidu A v A sliduye formula vidu A Na pidstavi vstanovlennya vidnoshennya rivnosilnosti ta sliduvannya zdijsnyuyut operaciyu dovedennya pevnih formul na istinnist za pravilami vivedennya Operaciya dovedennya nevid yemna chastina bud yakogo chislennya vislovlyuvan Chislennya logiki vislovlyuvan sistema simvoliv i pravil logichnogo vivedennya iz aksiom dovilnih formul abo teorem z metoyu yih dovedennya na istinnist Rozriznyayut naturalne j aksiomatichne chislennya logiki vislovlyuvan Naturalne chislennya logiki vislovlyuvan vidtvoryuye logichnu budovu zvichajnih mirkuvan Vpershe naturalni chislennya rozrobili nezalezhno odin vid odnogo polskij logik S Yaskovskij 1906 1965 i nimeckij logik 1907 1945 u 30 h rokah XX st Rozglyanemo odnu iz sistem naturalnogo chislennya yaku poznachimo literoyu 5 Osnovni pravila sistemi 5 Pravila logichnogo sliduvannya A V A V pravilo modus ponens A V i V A pravilo modus tollens A V A L V pravilo VK vvedennya kon yunkciyi A L V A A L V V pravilo usunennya kon yunkciyi A A v V V A v V pravilo VD A 1 V A i V A 1 V V A pravilo UD usunennya diz yunkciyi A V V A A V pravilo VE vvedennya ekvivalentnosti A V A V A V V A pravilo UE usunennya ekvivalentnosti A i i A pravilo V32 vvedennya podvijnogo zaperechennya i A A pravilo U32 usunennya podvijnogo zaperechennya Pravila pobudovi dovedennya Pravila pobudovi pryamogo dovedennya Pryame dovedennya formuli A1 A2 Aya S buduyetsya v takij sposib Na bud yakomu kroci dovedennya mozhna viznachiti Odnu iz formul A1 A2 An yak pripushennya Formulu sho viplivaye z ranishe neviznachenih formul za pravilami logichnogo sliduvannya Ranishe dovedenu formulu Nepryame dovedennya formuli A A2 Al S buduyetsya tak Na bud yakomu kroci dovedennya mozhna viznachiti Odnu z formul A A2 Aya yak pripushennya Formulu sho superechit formuli S Formulu sho viplivaye z ranishe viznachenih formul za odnim iz pravil logichnogo sliduvannya Ranishe dovedenu formulu Div takozhChislennya vislovlen Chislennya sekvencij Bagatoznachna logika Normativna logika Deontichna logika Modalna logika Metalogika Logika v informaticiLiteraturaJ M Bochenski Formale Logik 5 unveranderte Auflage Alber Freiburg Breisgau u a 1996 ISBN 3 495 44115 8 Orbis academicus 3 2 Walter Brocker Formale transzendentale und spekulative Logik Klostermann Frankfurt am Main 1962 Paul Hoyningen Huene Formale Logik Eine philosophische Einfuhrung Reclam Stuttgart 1998 ISBN 3 15 009692 8 Edmund Husserl Formale und transzendentale Logik Versuch einer Kritik der logischen Vernunft 2 Auflage Unveranderter Nachdruck der 1 Auflage 1929 Niemeyer Tubingen 1981 ISBN 3 484 70129 3 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi