PrimeGrid

PrimeGrid — проєкт добровільних розподілених обчислень на платформі BOINC і PRPNet, метою якого є пошук дуже великих простих чисел різного виду, водночас прагнучи вирішити давні математичні гіпотези. PrimeGrid пропонує низку підпроєктів з відсіву й пошуку простих чисел. Більшість з них доступні через клієнт BOINC, у якому повністю автоматизовано завантаження, обробку й повернення результатів. Решта проєктів доступні через клієнт PRPNet, вони потребують запуску вручну. Є також активності, що зараховуються в PRPNet, які потребують завантаження, запуску і вивантаження результатів вручну. Різні підпроєкти можуть бути запущені на різноманітних операційних системах, є підпроєкти, що можуть бути виконанні із застосуванням CPU, GPU, або CPU та GPU одночасно. Під час виконання тестів LLR (Lucas–Lehmer–Riesel) CPU з набором інструкцій AVX (Advanced Vector Extensions) і FMA (Fused Multiply-Add) дають кращий результат без використання GPU.

PrimeGrid

Тип	добровільні обчислення і ^d
Автор	Rytis Slatkevičius
Перший випуск	12 червня 2005; 19 років тому (2005-06-12)
(Апаратна платформа)	Intel x86, x86_64 CPU, AMD x86_64 CPU, Nvidia OpenCL/CUDA, ATI OpenCL
Платформа	BOINC, PRPNet, Genefer, LLR, PFGW
Операційна система	Microsoft Windows, Linux, Mac OS 10.5+
Стан розробки	Діючий
Вебсайт	primegrid.com
Медіафайли у Вікісховищі

Прості числа грають центральну роль у криптографічному захисті інформації. Через вивчення простих чисел можна дослідити, скільки потрібно обчислень, щоб зламати код шифрування і таким чином визначити, чи є поточні схеми безпеки достатньо безпечними.

Історія проєкту

2005 рік

Проєкт започатковано 12 червня 2005 року приблизно о 14:00 UTC. Message@Home (тепер PrimeGrid) відкрив реєстрацію для 50 перших користувачів. Проєкт стартував на домашньому лептопі Rytis Slatkevičius.

Message@Home було розроблено як тестовий проєкт для PerlBOINC у спробі реалізувати BOINC сервер мовою програмування. Першочерговою метою проєкту на PerlBOINC було отримати короткі завдання (WU) із стандартних постійним результатом. Першим проєктом був Message7, в якому ми намагалися за допомогою прямого перебору відновити повідомлення, зашифроване за допомогою MD5. У серпні 2005 до проєкту було долучено застосунок RSA 640 Factoring Challenge. Подібно до Message7 у цьому проєкті намагалися прямим перебором віднайти дільник для 640-розрядного ключа RSA. Message7 було припинено. 1 вересня 2005 року після невеличкої наради для проєкту обрали нову назву, PrimeGrid — варіація назви PrimeGrid@Home, яку запропонував учасник на ім'я Heffed. За це він отримав 999 очок.^[]

У листопаді 2005 RSA 640 було факторизовано зусиллями іншого проєкту, отже PrimeGrid рушив на штурм RSA 768. Оскільки шанси на факторизацію залишалися нескінченно малими, подальший розвиток залишено для PerlBOINC.

2006 рік

У березні 2006 проєкт RSA 768 було перервано для запуску нового, PrimeGen. У цьому проєкті намагалися побудувати базу послідовних простих чисел, що на деякий час навернуло PrimeGrid на стежину пошуку простих чисел. Вторинною метою залишалась допомога RSA Factoring Challenges. Однак, незабаром з'ясувалося, що ці зусилля теж мають нескінченно малі шанси на успіх. Тим не менш пошук проєкту, гідного розподілених обчислень, було продовжено.

В червні 2006 розпочався діалог з ведучими проєкту Riesel Sieve із пропозицією перенести їхній проєкт на рейки BOINC. Rytis надавав підтримку PerlBOINC і команда Riesel Sieve успішно започаткувала їхній відсів (sieve), так само як застосунок LLR для пошуку простих чисел. У співпраці з Riesel Sieve PrimeGrid вдалось реалізувати застосунок LLR в партнерстві з іншими проєктом з пошуку простих чисел, Twin Prime Search. У листопаді 2006, підпроєкт TPS LLR було офіційно запущено в PrimeGrid.

2007 рік

Менш ніж за два місяці, у січні 2007 рекордну пару простих чисел-близнюків було знайдено в початковому ручному проєкті. PrimeGrid та TPS продовжили пошук ще більших пар простих-близнюків.

Літо 2007 виявилось досить спекотним, адже саме тоді було запущено пошук простих Cullen та Woodall. Восени, завдяки партнерським відносинам з Prime Sierpinski Problem і проєктом 321, ще більше пошуків простих було додано. Додатково було додано 2 відсіва: Prime Sierpinski Problem об'єднаний відсів, що включає підтримку відсіву за проблемою Seventeen or Bust; а також комбінований Cullen/Woodall відсів:

• у липні 2007 року розпочато підпроєкт Woodall LLR.
• у серпні 2007 року розпочато підпроєкт Cullen LLR.
• 15 вересня 2007 року розпочато об'єднаний Cullen/Woodall Sieve.
• 13 жовтня 2007 року розпочато підпроєкт PSP Sieve.
• 18 листопада 2007 року розпочато підпроєкт 321 LLR.
• 11 грудня 2007 року розпочато підпроєкт PSP LLR.

Восени 2007 PrimeGrid мігрував деякі системи з PerlBOINC до стандартного програмного забезпечення BOINC. Тим не менш, багато з сервісів до цього часу залишаються на базі PerlBOINC.

2008 рік

• 29 лютого 2008 року встановлено співпрацю з Proth Search.
• 15 березня 2008 року розпочато серію челенджів. Встановлено рекорд одного дня — понад 820К очок.
• 13 квітня 2008 року Project Staging Area додано задля допомоги у адаптації нових застосунків для BOINC.
• 10 березня 2008 року завершено підпроєкт PrimeGen.
• 28 серпня 2008 року чат Meebo додано до форуму.
• 26 грудня 2008 року розпочато підпроєкт AP26.

2009 рік

• У лютому 2009 року PrimeGrid товаришує з 12121 Search у пошуку простих форм 121·2ⁿ−1 та 27·2ⁿ−1. PrimeGrid додає форму +1 і розпочинає пошук усіх чотирьох форм у підпроєкті 27121 Search.
• 12 травня 2009 року розпочато Factorial Prime Search.
• 3 серпня 2009 року — в PrimeGrid введено систему бейджів.
• 16 серпня 2009 року — розпочато Sophie Germain Prime Search.
• 16 вересня 2009 року PrimeGrid долучається до підпроєктів Seventeen or Bust задля розв'язання проблеми Серпінського.
• 20 жовтня 2009 року випущено ppsieve для PPSE sieve, що у 6 разів швидший за попередній.
• 5 листопада 2009 року розпочато Generalized Fermat Prime Search.
• 8 листопада 2009 року з'явилась надія на появу застосунку для GPU в PrimeGrid. Розпочато розробку та тестування.
• У грудні 2009 року додано підтримку CUDA для AP26.

2010 рік

• 1 лютого 2010 року офіційно розпочинається співпраця з Seventeen or Bust заради розв'язання проблеми Серпінського.
• 7 березня 2010 року відновлено підпроєкт The Riesel Problem з TRP (Sieve).
• 9 березня 2010 року розпочато тестування CUDA в Proth Prime Sieve.
• 19 березня 2010 року розпочато підпроєкт extended Sierpinski problem.
• 21 березня 2010 року розпочато підпроєкт The Riesel Problem (LLR).

2011 рік

• На початку січня 2011 року розпочалась співпраця PrimeGrid з Sierpinski/Riesel Base 5 Project. Підпроєкт SR5 було розпочато в PRPNet у тестовому режимі.
• 22 квітня 2011 року призупинено підпроєкт 321 Prime Search (Sieve).
• 1 жовтня 2011 року в PRPNet розпочато підпроєкт The dual Sierpinski problem (Five or Bust).

2012 рік

На початку січня 2012 програма GeneferCUDA була портована з клієнта PRPNet до BOINC. Почавши у статусі тестового, дуже швидко Genefer набув статусу офіційного підпроєкту. Протягом лише першого місяця у проєкті було віднайдено 2 нових простих числа форми General Fermat Number (GFN).

2013 рік

• Наприкінці січня 2013 року відбулась міграція проєкту PrimeGrid на новий сервер.
• У лютому 2013 року усі LLR додатки отримали підтримку AVX для 64-бітних платформ.
• У травні 2013 року введено нову систему бейджиків.
• 28 травня 2013 року підпроєкт PPS-Sieve отримав підтримку OpenCL для Mac/ATI.
• Наприкінці червня 2013 року введено систему бонусного преміювання за участь у проєктах із перевірки гіпотез SR5, TRP, PSP і SoB (+10 %) та підпроєктів з довготривалими завданнями: 321, TRP-LLR (+10 %), CUL, WOO (+20 %), PSP (+35 %), SoB, GFN-WR (+50 %).
• У вересні 2013 року додатки GFN отримали підтримку AVX та OpenCL.

2014 рік

• У травні 2014 року розпочато повторну перевірку в BOINC результатів підпроєкту SR5, отриманих в PRPNet.
• На початку червня 2014 року підпроєкт Extended Sierpinski Problem портовано з PRPNet до BOINC.
• 29 червня 2014 року розпочато підпроєкт ESP Sieve — підпроєкт «сіялка» для підпроєкту ESP LLR.
• 18 липня 2014 року підпроєкт PPS-MEGA портовано з PRPNet до BOINC.

2015 рік

• У жовтні 2015 року підпроєкти GFN 32768, GFN 65536, GFN 131072 (Low) і GFN 131072 (Mega) портовано з PRPNet до BOINC, а у листопаді — GFN 262144, GFN 524288 та GFN 1048576.

2016 рік

• У вересні 2016 року розпочато підпроєкт AP27.
• У жовтні 2016 року розпочато підпроєкт GCW (Sieve).

2017 рік

• У квітні 2017 року розпочато підпроєкт GCW (LLR).
• 25 квітня 2017 року завершено підпроєкт TRP (Sieve).
• У квітні 2017 року в PRPNet призупинено підпроєкти Wall-Sun-Sun і Wieferich.

2018 рік

• Наприкінці січня 2018 року зупинено видачу завдань GFN-15 для CPU. Завдання GFN-15 стали виключно GPU-сумісні.

2019 рік

• У лютому 2019 року розпочато підпроєкт Do You Feel Lucky?.
• 1 травня 2019 року завершено підпроєкт GCW (Sieve).
• У травні 2019 року усі LLR додатки отримали підтримку AVX-512.
• 6 вересня 2019 року розпочато підпроєкт Fermat Divisor Search.

2020 рік

• 1 лютого 2020 року зупинено видачу завдань GFN-16 для CPU. Завдання GFN-16 стали виключно GPU-сумісні.
• 4 листопада 2020 року завершено підпроєкт 321 Sieve.
• У листопаді 2020 року розпочато підпроєкт Wieferich and Wall-Sun-Sun Prime Search.

2021 рік

• У березні 2021 року завершено підпроєкт Fermat Divisor Search.
• У листопаді 2021 року завершено підпроєкт GFN-17-Low.

Визначні дати

• 12.06.2005 — народився Message@Home з підпроєктом Message7, у якому було відкрито реєстрацію для перших 50 користувачів
• 01.09.2005 — Message@Home змінює назву на PrimeGrid
• 07.08.2007 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Вудала: 2013992·2^2013992−1
• 20.08.2007 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Вудала: 2367906·2^2367906−1
• 21.12.2007 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Вудала: 3752948·2^3752948−1
• 20.04.2009 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Каллена: 6328548·2^6328548+1
• 25.07.2009 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Каллена: 6679881·2^6679881+1
• 07.12.2009 — в PRPNet знайдено найбільше відоме узагальнене просте Вудала: 563528·13⁵⁶³⁵²⁸−1
• 12.04.2010 — в PrimeGrid знайдено першу відому арифметичну прогресію 26 простих чисел: 43142746595714191+23681770*23#*n для n=0..25
• 04.10.2010 — в PRPNet знайдено найбільше відоме факторіальне просте: 94550!−1
• 14.12.2010 — в PRPNet знайдено найбільше відоме факторіальне просте: 103040!−1
• 20.12.2010 — в PRPNet знайдено найбільше відоме прайморіальне просте: 843301#−1
• 08.02.2011 — в PRPNet знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 145310²⁶²¹⁴⁴+1
• 24.02.2011 — в PRPNet знайдено найбільше відоме узагальнене просте Вудала: 404882·43⁴⁰⁴⁸⁸²−1
• 11.06.2011 — в PRPNet знайдено найбільше відоме факторіальне просте: 110059!+1
• 22.06.2011 — в PrimeGrid знайдено найбільший відомий дільник числа Ферма: 9·2^2543551+1 ділить F(2543548)
• 29.10.2011 — в PRPNet знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 361658²⁶²¹⁴⁴+1
• 19.11.2011 — в PRPNet знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 75898⁵²⁴²⁸⁸+1
• 25.12.2011 — в PrimeGrid знайдено найбільшу відому пару простих−близнюків: 3756801695685·2⁶⁶⁶⁶⁶⁹±1
• 29.01.2012 — в PRPNet знайдено найбільше відоме узагальнене просте Каллена: 427194·113⁴²⁷¹⁹⁴+1
• 28.02.2012 — в PRPNet знайдено найбільше відоме прайморіальне просте: 1098133#−1
• 09.04.2012 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Софі Жермен: 18543637900515·2⁶⁶⁶⁶⁶⁷−1, 18543637900515·2⁶⁶⁶⁶⁶⁸−1 (2p+1)
• 15.06.2012 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 341112⁵²⁴²⁸⁸+1
• 20.06.2012 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 356926⁵²⁴²⁸⁸+1
• 08.08.2012 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 475856⁵²⁴²⁸⁸+1
• 13.05.2013 — в PrimeGrid знайдено найбільший відомий дільник числа Ферма: 57·2^2747499+1 ділить F(2747497)
• 29.12.2013 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 37292·5^1487989+1
• 14.01.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте 321: 3·2^10829346+1
• 17.01.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 59912·5^1500861+1
• 31.01.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 178658·5^1525224−1
• 06.02.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 22934·5^1536762−1
• 21.03.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 330286·5^1584399−1
• 09.04.2014 09:13:42 UTC — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 104944·5^1610735−1
• 09.04.2014 18:33:30 UTC — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 207394·5^1612573−1
• 25.04.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 326834·5^1634978−1
• 19.06.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 22478·5^1675150−1
• 27.06.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 138172·5^1714207−1
• 23.07.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 24032·5^1768249+1
• 25.07.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільший відомий дільник числа Ферма: 193·2^3329782+1 ділить F(3329780)
• 17.08.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 133778·5^1785689+1
• 21.09.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 325918·5^1803339−1
• 18.10.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 109208·5^1816285+1
• 22.11.2014 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте 321: 3·2^11484018−1
• 13.03.2015 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте 321: 3·2^11731850−1
• 23.05.2015 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 144052·5^2018290+1
• 23.06.2015 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте 321: 3·2^11895718−1
• 21.10.2015 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 100186·5^2079747−1
• 10.11.2015 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 154222·5^2091432+1
• 11.01.2016 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 306398·5^2112410−1
• 29.02.2016 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Софі Жермен: 2618163402417·2^1290000−1, 2618163402417·2^1290001−1 (2p+1)
• 06.03.2016 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 77072·5^2139921+1
• 15.03.2016 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 92158·5^2145024+1
• 25.03.2016 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 296024·5^2185270−1
• 30.05.2016 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 53546·5^2216664−1
• 20.08.2016 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 180062·5^2249192−1
• 14.09.2016 — в PrimeGrid знайдено найбільшу відому пару простих−близнюків: 2996863034895·2^1290000±1
• 08.10.2016 — в PRPNet знайдено найбільше відоме узагальнене просте Каллена: 682156·79⁶⁸²¹⁵⁶+1
• 31.10.2016 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Прота, а також найбільше відоме просте Кольбера: 10223·2^31172165+1
• 21.08.2017 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Каллена: 1341174·53^1341174+1
• 25.08.2017 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 171362·5^2400996−1
• 29.08.2017 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 919444^1048576+1
• 17.09.2017 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 301562·5^2408646−1
• 18.01.2018 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Каллена: 1323365·116^1323365+1
• 11.03.2018 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Каллена: 1806676·41^1806676+1
• 21.03.2018 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Вудала: 17016602·2^17016602+1
• 19.06.2018 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 327926·5^2542838−1
• 20.06.2018 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 81556·5^2539960+1
• 29.07.2018 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 66916·5^2628609−1
• 15.08.2018 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 194368·5^2638045−1
• 31.10.2018 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 1059094^1048576+1
• 26.04.2019 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 138514·5^2771922+1
• 21.06.2019 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 88444·5^2799269−1
• 23.06.2019 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 322498·5^2800819−1
• 02.09.2019 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Каллена: 2805222·25^2805222+1
• 23.09.2019 — в PrimeGrid знайдено першу відому арифметичну прогресію з 27 простих чисел: 224584605939537911+81292139*23#*n для n=0..26
• 05.03.2020 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 35816·5^2945294−1
• 09.03.2020 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 146264·5^2953282−1
• 12.03.2020 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 238694·5^2979422−1
• 16.03.2020 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 207494·5^3017502−1
• 01.05.2020 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 118568·5^3112069+1
• 13.08.2020 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте за основою 5: 109838·5^3168862−1
• 28.08.2021 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Каллена: 2525532·73^2525532+1
• 18.09.2021 — в PRPNet знайдено найбільше відоме прайморіальне просте: 3267113#−1
• 09.08.2022 — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 1951734^1048576+1

Підпроєкти (BOINC)

• 321 Prime Search (LLR)
• Cullen Prime Search (LLR)
• Extended Sierpinski Problem (LLR)
• Generalized Cullen/Woodall Prime Search (LLR)
• Prime Sierpinski Problem (LLR)
• Proth Prime Search (LLR)
• Proth Prime Search Extended (LLR)
• Proth Mega Prime Search (LLR)
• Seventeen or Bust (LLR)
• Sierpinski/Riesel Base 5 Problem (LLR)
• Sophie Germain Prime Search (LLR)
• The Riesel Problem (LLR)
• Woodall Prime Search (LLR)
• Proth Prime Search (Sieve)
• Generalized Fermat Prime Search (n=15)
• Generalized Fermat Prime Search (n=16)
• Generalized Fermat Prime Search (n=17 mega)
• Generalized Fermat Prime Search (n=18)
• Generalized Fermat Prime Search (n=19)
• Generalized Fermat Prime Search (n=20)
• Generalized Fermat Prime Search (n=21)
• Generalized Fermat Prime Search (n=22)
• Do You Feel Lucky?
• AP27 Search
• Wieferich and Wall-Sun-Sun Prime Search

Завершені / призупинені підпроєкти

• Message7
• PrimeGen
• RSA 640
• RSA 768
• Twin Prime Search
• AP26
• Cullen/Woodall Sieve
• Sierpinski (ESP/PSP/SoB) Sieve
• The Riesel Problem (Sieve)
• Generalized Cullen/Woodall Sieve
• 321 Prime Search Sieve
• Fermat Divisor Search (LLR)
• Generalized Fermat Prime Search (n=17 low)

Застосунки

Застосунок	app_name
		CPU	NVIDIA			CPU	NVIDIA			CPU	NVIDIA			CPU	NVIDIA			CPU	NVIDIA
			CUDA				CUDA				CUDA				CUDA				CUDA
321 Prime Search LLR (321)	llr321
AP27 Search (AP27)	ap26
Cullen Prime Search LLR (CUL)	llrCUL
Extended Sierpinski Problem LLR (ESP)	llrESP
Generalized Cullen/Woodall Prime Search LLR (GCW)	llrGCW
Prime Sierpinski Problem LLR (PSP)	llrPSP
Proth Prime Search LLR (PPS)	llrPPS
Proth Prime Search Extended LLR (PPSE)	llrPPSE
Proth Mega Prime Search LLR (MEGA)	llrMEGA
Seventeen or Bust LLR (SOB)	llrSOB
Sierpinski / Riesel Base 5 LLR (SR5)	llrSR5
Sophie Germain Prime Search LLR (SGS)	llrTPS
The Riesel Problem LLR (TRP)	llrTRP
Woodall Prime Search LLR (WOO)	llrWOO
Proth Prime Search Sieve (PPS-Sieve)	pps_sr2sieve
Generalized Fermat Prime Search n=15 (GFN-15)	genefer15
Generalized Fermat Prime Search n=16 (GFN-16)	genefer16
Generalized Fermat Prime Search n=17 Mega (GFN-17-Mega)	genefer17mega
Generalized Fermat Prime Search n=18 (GFN-18)	genefer18
Generalized Fermat Prime Search n=19 (GFN-19)	genefer19
Generalized Fermat Prime Search n=20 (GFN-20)	genefer20
Generalized Fermat Prime Search n=21 (GFN-21)	genefer
Generalized Fermat Prime Search n=22 (GFN-22)	genefer_wr
Do You Feel Lucky? (GFN World Record)	genefer_extreme
Wieferich and Wall-Sun-Sun	ww

Переваги застосунків

• виконання завдань Sieve на GPU дає перевагу над CPU у 10-100 разів (в залежності від моделі GPU і CPU)
• виконання завдань Sieve на GPU з CUDA (NVIDIA) має перевагу над аналогічним за рівнем GPU з OpenCL (AMD)
• виконання завдань Genefer / Genefer (World Record) на GPU (NVIDIA) з використанням CUDA має перевагу над OpenCL для відеокарт родини Fermi та старших
• виконання завдань Genefer / Genefer (World Record) на GPU (NVIDIA) з використанням OpenCL має перевагу над CUDA для відеокарт родини Kepler та молодших
• виконання завдань LLR та Genefer з оптимізацією під інструкції AVX сучасних Intel процесорів (Sandy/Ivy Bridge, Haswell) дає перевагу над SSE3 у декілька разів
• виконання завдань Sieve на 64-бітному CPU дає перевагу над 32-бітних CPU клієнтом у ~1.7 раза
• виконання завдань LLR на 64-бітному CPU має перевагу над 32-бітним CPU

Початкові підпроєкти

Message7

Першим проєктом Message@Home (тепер PrimeGrid) був Message7, в якому за допомогою прямого перебору намагалися відновити повідомлення, зашифроване за допомогою md5. У серпні 2005 року Message7 було припинено.

RSA 640

У серпні 2005 до проєкту було долучено застосунок RSA 640 Factoring Challenge. Подібно до Message7 у цьому проєкті відбувались намагання прямим перебором віднайти дільник для 640 цифрового RSA ключа.

У листопаді 2005 зусиллями іншого проєкту було факторизовано RSA 640, отже PrimeGrid рушив на штурм RSA 768 Factoring Challenge.

RSA 768

Оскільки шанси на факторизацію RSA 768 виявились нескінченно малими, подальший розвиток залишено для PerlBOINC. У березні 2006 проєкт RSA 768 було перервано для запуску нового, PrimeGen.

PrimeGen

У березні 2006 було запущено проєкт PrimeGen, метою якого було побудувати базу послідовних простих чисел. Однак, незабаром з'ясувалося, що ці зусилля мають нескінченно малі шанси на успіх, отже підпроєкт було зупинено.

Підпроєкти AP

AP26

Підпроєкт AP26 займався пошуком найдовшої (але не найбільшої) арифметичної прогресії простих чисел. На той час найдовшою відомою AP була AP-25, що була віднайдена 17 травня 2008 року і має вигляд 6171054912832631+366384·23#·n (8132758706802551)

Результати підпроєкту

12 квітня 2010 року у підпроєкті AP26 було знайдено першу відому арифметичну прогресію 26 простих чисел:

AP	Тип	Дата	Автор
43142746595714191+23681770*23#*n для n=0..25	AP26	12.04.2010	Benoãt Perichon

, де 23#=2·3·5·7·11·13·17·19·23=223092870

У травні 2010 року підпроєкт AP26 було завершено.

AP27 Search

20 вересня 2016 року підпроєкт пошуку арифметичної прогресії простих чисел було відновлено під назвою AP27 (арифметична прогресія 27 простих чисел)

Результати підпроєкту

23 вересня 2019 року у підпроєкті AP27 було знайдено першу відому арифметичну прогресію 27 простих чисел:

AP	Тип	Дата	Автор
224584605939537911+81292139*23#*n для n=0..26	AP27	23.09.2019	Rob Gahan

, де 23#=2·3·5·7·11·13·17·19·23=223092870

Підпроєкти LLR

321 Prime Search

Підпроєкт 321 Prime Search — це продовження проєкту 321 Search, що було розпочато Paul Underwood, який шукав прості виду 3·2ⁿ−1. PrimeGrid додав пошук за формою +1 і продовжує пошук аж до n=25M.

Експоненти n, для яких відповідні числа форми 3·2ⁿ+1 прості, утворюють послідовність A002253 [ 29 липня 2021 у Wayback Machine.]:

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, 16408818.

Експоненти n, для яких відповідні числа форми 3·2ⁿ−1 прості, утворюють послідовність A002235 [ 24 березня 2022 у Wayback Machine.]:

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291, 17748034, 18196595, 18924988.

Про 321 Search

Проєкт 321 Search було розпочато у лютому 2003 із листа від Paul Underwood, що шукав допомогу зацікавлених у пошуку простих виду 3·2ⁿ−1. Початкова мета була перевірити результати роботи вже проведені проєктом Proth Search і розширити перелік простих до експоненти в 1 мільйон (n=1M). Ця мета була швидко досягнута, тому вони розвинули мету з пошуку мега великих простих, для яких вони провели відсів аж до n=5M.

Результати підпроєкту

Прості числа виду 3·2ⁿ±1, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 24 березня 2022 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
3·2^4235414−1	1 274 988	23.03.2008	Dylan Bennett
3·2^2291610+1	689 844	11.08.2008	Thomas Wolfram
3·2^5082306+1	1 529 928	03.04.2009	Andy Brady
3·2^6090515−1	1 833 429	24.04.2010	David Mumper
3·2^7033641+1	2 117 338	21.02.2011	Michael Herder
3·2^10829346+1	3 259 959	14.01.2014	Sai Yik Tang
3·2^11484018−1	3 457 035	22.11.2014	Serhiy Gushchak
3·2^11731850−1	3 531 640	13.03.2015	Karsten Klopffleisch
3·2^11895718−1	3 580 969	23.06.2015	Michael Schulz
3·2^16408818+1	4 939 547	25.10.2020	Scott Brown
3·2^16819291−1	5 063 112	20.01.2021	Rudi Tapper
3·2^17748034−1	5 342 692	06.09.2021	Marc Wiseler
3·2^18196595−1	5 477 722	08.01.2022	анонімний користувач з Польщі
3·2^18924988−1	5 696 990	24.03.2022	Frank Matillek

Cullen Prime Search

Cullen Prime Search — це підпроєкт з пошуку простих чисел Каллена. В теорії чисел число Каллена — натуральне число виду C_n = n·2ⁿ+1

Експоненти n, для яких відповідні числа Каллена прості, утворюють послідовність A005849 [ 15 червня 2021 у Wayback Machine.]:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881.

В 1976 році Христофер Хулей (англ. Christopher Hooley) показав, що майже всі числа Каллена складені. Доведення Христофера Хулей було перероблено математиком Хірмі Суяма, щоб показати, що воно вірне для будь-якої послідовності n·2^n+a+b, де a і b — цілі числа, а також частково для чисел Вудала.

Існує гіпотеза, що простих чисел Каллена нескінчено багато.

Результати підпроєкту

Прості числа Каллена, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 25 липня 2009 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
6328548·2^6328548+1	1 905 090	20.04.2009	Dennis R. Gesker
6679881·2^6679881+1	2 010 852	25.07.2009	анонімний користувач з Японії

Extended Sierpinski Problem

В 1962 році ^[en] висунув гіпотезу, що число Серпінського k = 78557 є найменшим з таких чисел. Проблема Серпінського намагається підтвердити цю гіпотезу. В 1976 році Натан Мендельсон (Nathan Mendelsohn) висунув гіпотезу, що другим числом Серпінського є просте число k = 271129. Prime Sierpinski Problem намагається підтвердити гіпотезу, що це число є найменшим простим числом Серпінського.

Якщо обидві ці проблеми будуть розв'язані і буде встановлено, що k = 78557 є найменшим числом Серпінського, і k = 271129 — найменшим простим числом Серпінського, однак це не доводить, що k = 271129 є другим числом Серпінського. Оскільки Prime Sierpinski Problem перевіряє всі прості k у проміжку 78557 < k < 271129, все що достатньо зробити, це перевірити всі складені з проміжку 78557 < k < 271129. Таким чином було розпочато проєкт Extended Sierpinski Problem.

Станом на 25 листопада 2021 року пошук продовжується для 8-и k, до яких досі не знайдено простих:

91549, 131179, 163187, 200749, 209611, 227723, 229673, 238411

Результати підпроєкту

Прості, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 25 листопада 2021 року):

Прості підпроєкту ESP
Просте число	Цифр	Дата	Автор
227753·2^91397+1	27 519	13.03.2010	Lennart Vogel
261203·2^354561+1	106 739	20.03.2010	Lennart Vogel
167957·2^417463+1	125 675	21.03.2010 13:52:29 UTC	Brian Carpenter
185449·2^435402+1	131 075	21.03.2010 22:58:55 UTC	Rodger Ewing
208381·2^463068+1	139 403	22.03.2010	Lennart Vogel
187681·2^573816+1	172 742	23.03.2010	Lennart Vogel
225679·2^620678+1	186 849	24.03.2010	Lennart Vogel
85013·2^699333+1	210 526	25.03.2010 11:35:02 UTC	Steve Martin
168587·2^545971+1	210 526	25.03.2010 13:18:22 UTC	Steve Martin
107929·2^1007898+1	303 413	05.04.2010	Brian Carpenter
98749·2^1045226+1	314 650	09.04.2010	Rodger Ewing
219259·2^1300450+1	391 480	29.04.2010 09:02:01 UTC	Lennart Vogel
154801·2^1305084+1	392 875	29.04.2010 23:45:44 UTC	Rodger Ewing
250463·2^1316921+1	396 439	30.04.2010	Rodger Ewing
123287·2^2538167+1	764 070	14.03.2012	Timothy D. Winslow
147559·2^2562218+1	771 310	27.03.2012	Rodger Ewing
198677·2^2950515+1	888 199	23.10.2012	Ardo van Rangelrooij
94373·2^3206717+1	965 323	10.03.2013	Jörg Meili
211195·2^3224974+1	970 820	11.03.2013	Ardo van Rangelrooij
161041·2^7107964+1	2 139 716	06.01.2015	Martin Vanc
193997·2^11452891+1	3 447 670	03.04.2018	Tom Greer
99739·2^14019102+1	4 220 176	24.12.2019	Brian D. Niegocki
202705·2^21320516+1	6 418 121	25.11.2021	Pavel Atnashev

Fermat Divisor Search

Підпроєкт з пошуку простих чисел Прота k·2ⁿ+1 — дільників чисел Ферма.

Підпроєкт вважається частиною проєкту Proth Prime Search, отож всі результати і досягнення зараховуються до PPS-LLR.

У березні 2021 року підпроєкт Fermat Divisor Search було завершено.

Результати підпроєкту

Анонсовані результати підроєкту:

Просте число	Цифр	Ділить	Дата	Автор
13·2^5523860+1	1 662 849	F(5523858)	22.01.2020	Scott Brown
39·2^6648997+1	2 001 550		20.10.2020	Tom Greer
39·2^6684941+1	2 012 370		20.10.2020	Mike Thümmler
19·2^6833086+1	2 056 966		24.10.2020	Jiri Jaros
15·2^7300254+1	2 197 597		25.10.2020	Robert Gelhar
29·2^7374577+1	2 219 971		27.10.2020	Pavel Atnashev
45·2^7513661+1	2 261 839		12.11.2020	Hiroyuki Okazaki
15·2^7619838+1	2 293 801		06.12.2020	анонімний користувач з Китаю
45·2^7661004+1	2 306 194		13.12.2020	Tim Terry
29·2^7899985+1	2 378 134		14.01.2021	Tom Greer
39·2^7946769+1	2 392 218		14.01.2021	Scott Brown
27·2^7963247+1	2 397 178	F(7963245)	14.01.2021	Tom Greer
31·2^8348000+1	2 513 000		19.01.2021	Igor Karpenko
39·2^8413422+1	2 532 694		23.01.2021	Philipp Bliedung
25·2^8456828+1	2 545 761		27.01.2021	Wolfgang Schwieger
17·2^8636199+1	2 599 757		17.02.2021	Tom Greer
25·2^8788628+1	2 645 643		01.03.2021	Tom Greer

Generalized Cullen/Woodall Prime Search

Узагальнене число Каллена визначається як число виду n·bⁿ+1, де n+2>b. Якщо просте число можна записати таким чином, його називають узагальненим простим числом Каллена.

Узагальнене число Вудала визначається як число виду n·bⁿ−1, де n+2>b. Якщо просте число можна записати таким чином, його називають узагальненим простим числом Вудала.

Метою GCW Prime Search є пошук узагальнених простих Каллена і Вудала за основами, для яких досі не віднайшли жодного простого. З самого початку GCW13 Search пощастило знайти найбільше відоме узагальнене просте Вудала: 563528·13⁵⁶³⁵²⁸−1.

Наступні бази було обрано для подальшого пошуку узагальнених простих:

• Вудал: b = 43, 104 і 121
• Каллен: b = 13, 25, 29, 41, 47, 49, 53, 55, 68, 69, 73, 79, 101, 109, 113, 116 і 121

Основа 149 — наступна основа без відомих простих для обох і GC, і GW.

Початкова глибина відсіву для цих основ становила 1.5T. Lennart Vogel перевірив на простоту всі основи аж до n=100K (лише GW121 до 50K). Як побачимо нижче, це все була подвійна перевірка попередніх зусиль.

Результати проєкту

b	Узагальнене	Просте число	Цифр	Дата	Автор
13	Woodall	563528·13^563528−1	627 745	07.12.2009	Lennart Vogel
43	Woodall	404882·43^404882−1	661 368	24.02.2011	Ricky L. Hubbard
104	Woodall	129840·104^129840−1	261 897	26.05.2010	Sideshow_Larry
121	Woodall	94112·121^94112−1	196 021	19.05.2010	unconnected
13	Cullen
25	Cullen	2805222·25^2805222+1	3 921 539	02.09.2019	Tom Greer
29	Cullen
41	Cullen	1806676·41^1806676+1	2 913 785	11.03.2018	Hiroyuki Okazaki
47	Cullen
49	Cullen
53	Cullen	1341174·53^1341174+1	2 312 561	21.08.2017	Hiroyuki Okazaki
55	Cullen
68	Cullen	129897·68^129897+1	238 043	25.05.2010	[SG-SPEG]Puzzle-Peter
69	Cullen
73	Cullen	2525532·73^2525532+1	4 705 888	28.08.2021	Tom Greer
79	Cullen	682156·79^682156+1	1 294 484	08.10.2016	Franz-Xaver Harvanek
101	Cullen
109	Cullen
113	Cullen	427194·113^427194+1	877 069	29.01.2012	Ricky L. Hubbard
116	Cullen	1323365·116^1323365+1	2 732 038	18.01.2018	Scott Brown
121	Cullen

Prime Sierpinski Problem

Числом Серпінського називається таке непарне натуральне число k, що для довільного натурального n число k·2ⁿ+1 не є простим.

Послідовність A076336 [ 16 липня 2021 у Wayback Machine.] відомих чисел Серпінського починається так:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, …

Проблему Серпінського можна сформулювати так: «Яким є найменше число Серпінського?», а проблему простого Серпінського: «Яким є найменше просте число Серпінського?»

Найменше відоме просте число Серпінського — 271129. Щоб довести, що 271129 є найменшим простим числом Серпінського, необхідно показати, що менших простих чисел Серпінського немає.

Seventeen or Bust працював над проблемою Серпінського, а Prime Sierpinski Project — над проблемою простого Серпінського.

Для наступних k до цього часу залишаються невідомі прості для кожного з проєктів:

Seventeen or Bust	Prime Sierpinski Project
21181
22699	22699
24737
55459
67607	67607
	79309
	79817
	152267
	156511
	222113
	225931
	237019

Результати підпроєкту

Прості, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 17 вересня 2017 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
168451·2^19375200+1	5 832 522	17.09.2017	Ben Maloney

Proth Prime Search

У підпроєкті Proth Prime Search відшукуються прості числа виду k·2ⁿ+1, за умови 2ⁿ > k, що часто називають простими числами Прота. Цей проєкт також дає можливість віднайти дільники для «класичних» чисел Ферма, узагальнених чисел Ферма чи розширених узагальнених чисел Ферма. Як тільки у PrimeGrid знаходиться просте Прота, воно одразу проходить додаткову перевірку на сервері PrimeGrid, чи є воно дільником однієї з форм чисел Ферма.

Proth Prime Search проводиться у співпраці з проєктом Proth Search. Початковою метою проєкту PrimeGrid було перевірити всю попередню роботу проєкту Proth Search аж до n=500K для непарних k<1200 і заповнити будь-які можливі прогалини. PrimeGrid перевірив все аж до n=200000 і знайшов деякі прості, що було випущено минулим пошуком. Незважаючи на те, що прості вже надто малі, щоб потрапити до бази Top 5000, цей пошук був важливим, адже він міг призвести до відшукання нових дільників для «класичних» чисел Ферма, узагальнених чисел Ферма або розширених узагальнених чисел Ферма.

Про Proth Search

Проєкт Proth Search було започатковано 1998 року за участю Ray Ballinger та Wilfrid Keller, які організували розподілені обчислення для знаходження простих Прота (прості виду k·2ⁿ+1) для k < 300. Ray був зацікавлений у пошуку простих, а Wilfrid — у пошуку дільників для чисел Ферма. Пізніше проєкт розширив межі свого пошуку до k < 1200. Mark Rodenkirch (aka rogue) допомагав Ray в утримані вебсайту останні декілька літ.

На початку 2008 року PrimeGrid та Proth Search розпочали співпрацю з надання програмного забезпечення для об'єднання зусиль розподілених обчислень.

Від того часу PrimeGrid веде пошук простих Прота у декількох різних підпроєктах, як у вигляді підпроєктів BOINC, так і в PRPNet.

Станом на 6 вересня 2019 року в PrimeGrid існує 4 діапазони пошуку простих Прота, які оформлені як 4 різних підпроєкти BOINC:

• PPS: k·2ⁿ+1 для k<1200
• PPSE: k·2ⁿ+1 для 1200<k<10000
• MEGA: k·2ⁿ+1 для 100<k<300 і 3.322M<=n<3.6M
• DIV: k·2ⁿ+1 для 5<=k<=49 і n<=9M

Мега Просте визначається як просте з щонайменше одним мільйоном десяткових знаків (титанічні прості містять щонайменше 1000 знаків, гігантське просте — 10000 знаків). Станом на 3 березня 2015 року відомо про 125 Мега Простих.

Підпроєкт MEGA фокусується на пошуку Мега Простих. Час перевірки на одному ядрі швидкого комп'ютера займає близько 1 години (Intel Haswell CPU). Пошук простих форми k·2ⁿ+1 було розпочато з n=3322000 для k<100, виключаючи k=3, 5, 7, 27. 18 липня 2014 року підпроєкт було перенесено з PRPNet в BOINC із зміною діапазонів пошуку з k<100 на 100<k<300.

PrimeGrid має намір продовжити пошук простих чисел Прота невизначено довго.

Результати підпроєкту

Фактично не минає дня, щоб у підпроєкті не було відшукано нових простих Прота. Серед усіх цих простих особливій інтерес викликають прості, що є дільниками чисел Ферма.

У табличці, що наведена нижче, представлені прості Прота, що було знайдено у PrimeGrid, що є дільниками чисел Ферма (станом на 14 лютого 2015 року):

Просте число	Цифр	Ділить	Дата	Автор
651·2^476632+1	143 484	F(476624)	27.12.2008	Eric Ueda
519·2^567235+1	170 758	F(567233)	06.03.2009	Senji Yamashita
659·2^617815+1	185 984	F(617813)	31.03.2009	Eric Embling
7333·2^138560+1	41 715	F(138557)	12.03.2011	Dirk D'huyvetters
9·2^2543551+1	765 687	F(2543548)	22.06.2011	Scott Brown
3771·2^221676+1	66 736	F(221670)	01.07.2011	Mark Doom
4479·2^226618+1	68 223	F(226614)	08.07.2011	Peter Doggart
25·2^2141884+1	644 773	F(2141872)	09.09.2011	Grzegorz Granowski
329·2^1246017+1	375 092	F(1246013)	04.01.2012	Bruce Dodson
131·2^1494099+1	449 771	F(1494096)	07.02.2012	Rob Derrera
7905·2^352281+1	106 052	F(352279)	02.05.2012	James Boerner
1705·2^906110+1	272 770	F(906108)	13.06.2012	Robert Boniecki
183·2^1747660+1	526 101	F(1747656)	10.03.2013	Bart van Rooijen
57·2^2747499+1	827 082	F(2747497)	13.05.2013	Marshall Bishop
2145·2^1099064+1	330 855	F(1099061)	18.06.2013	Sai Yik Tang
193·2^3329782+1	1 002 367	F(3329780)	25.07.2014	Raymond Ottusch
267·2^2662090+1	801 372	F(2662088)	13.02.2015	Jay Parangalan

Станом на 18 липня 2014 року підпроєктом MEGA у PRPNet було знайдено 7 Мега Простих:

Просте число	Цифр	Дата	Автор
81·2^3352924+1	1 009 333	17.01.2012	Michał Gasewicz
87·2^3496188+1	1 052 460	28.03.2014	Stefan Larsson
51·2^3490971+1	1 050 889	28.03.2014	Gary Craig
93·2^3544744+1	1 067 077	06.05.2014	Michał Gasewicz
33·2^3570132+1	1 074 719	10.06.2014	Fabrice Le Foulher
35·2^3570777+1	1 074 913	10.06.2014	Robert Lacroix
35·2^3587843+1	1 080 050	04.07.2014	Peter Tibbott

Станом на 28 грудня 2017 року підпроєктом Proth Mega Prime Search були знайдені наступні Мега Прості:

Прості підпроєкту Proth Mega Prime Search
Просте число	Цифр	Дата	Автор
9·2^3497442+1	1 052 836	23.10.2012	Heinz Ming
7·2^5775996+1	1 738 749	02.11.2012	Martyn Elvy
129·2^3328805+1	1 002 073	24.07.2014	Eric Clifton
193·2^3329782+1	1 002 367	25.07.2014	Raymond Ottusch
179·2^3371145+1	1 014 819	23.09.2014	John Christy
255·2^3395661+1	1 022 199	01.12.2014	John Christy
177·2^3411847+1	1 027 071	06.01.2015	William Darney
245·2^3411973+1	1 027 109	07.01.2015	Rick Channing
159·2^3425766+1	1 031 261	01.02.2015	Evelyn Chew
113·2^3437145+1	1 034 686	14.02.2015	Evelyn Chew
197·2^3477399+1	1 046 804	19.04.2015	Tom Greer
249·2^3486411+1	1 049 517	10.05.2015	Evelyn Chew
195·2^3486379+1	1 049 507	10.05.2015	Naoki Yoshioka
135·2^3518338+1	1 059 128	02.08.2015	Evelyn Chew
141·2^3529287+1	1 062 424	01.09.2015	Chris Hoefliger
191·2^3548117+1	1 068 092	30.10.2015	Roman Azarenko
251·2^3574535+1	1 076 045	25.01.2016	Randall Scalise
275·2^3585539+1	1 079 358	09.02.2016	Tyler Bredl
387·2^3322763+1	1 000 254	21.02.2016	Sami Heikkilä
189·2^3596375+1	1 082 620	24.02.2016	Hiroyuki Okazaki
323·2^3482789+1	1 048 427	20.06.2016	Scott Brown
329·2^3518451+1	1 059 162	21.06.2016	Stefan Larsson
345·2^3532957+1	1 063 529	22.06.2016	William de Thomas
351·2^3545752+1	1 067 381	22.06.2016	Sylvanus A. Zimmerman
381·2^3563676+1	1 072 776	23.06.2016	Milan Fňašek
309·2^3577339+1	1 076 889	24.06.2016	Russell Mathers
403·2^3334410+1	1 003 716	25.06.2016	Roman Trunov
453·2^3387048+1	1 019 606	14.07.2016	Andreas Mueller
479·2^3411975+1	1 027 110	25.07.2016	Matt Jurach
453·2^3461688+1	1 042 075	23.08.2016	Randall Scalise
491·2^3473837+1	1 045 732	29.08.2016	Stephen Norton
495·2^3484656+1	1 048 989	05.09.2016	Randall Scalise
447·2^3533656+1	1 063 740	28.09.2016	Stefan Geiger
465·2^3536871+1	1 064 707	30.09.2016	Kenneth Biscop
415·2^3559614+1	1 071 554	08.10.2016	Randall Scalise
597·2^3322871+1	1 000 287	21.10.2016	Randall Scalise
791·2^3323995+1	1 000 626	24.10.2016	Randall Scalise
555·2^3325925+1	1 001 206	30.10.2016	Alexander Falk
821·2^3327003+1	1 001 531	02.11.2016	Randall Scalise
659·2^3327371+1	1 001 642	03.11.2016	Dejana Ristic
655·2^3327518+1	1 001 686	04.11.2016	Paul Mazumdar
673·2^3330436+1	1 002 564	12.11.2016	Randall Scalise
611·2^3334875+1	1 003 901	27.11.2016	John S. Chambers
849·2^3335669+1	1 004 140	29.11.2016	Randall Scalise
651·2^3337101+1	1 004 571	03.12.2016	Konstantin Stanko
733·2^3340464+1	1 005 583	12.12.2016	Randall Scalise
543·2^3351686+1	1 008 961	16.01.2017	Simon Rawles
1183·2^3353058+1	1 009 375	19.01.2017	Michele T. Mazzucato
619·2^3362814+1	1 012 311	09.02.2017	Daniel Frużyński
533·2^3362857+1	1 012 324	09.02.2017	Hans-Jürgen Bergelt
777·2^3367372+1	1 013 683	17.02.2017	Lars Fricke
617·2^3368119+1	1 013 908	18.02.2017	Kimmo Koski
715·2^3368210+1	1 013 936	18.02.2017	Daniel Frużyński
677·2^3369115+1	1 014 208	20.02.2017	Wolfgang Schmidt
861·2^3377601+1	1 016 763	12.03.2017	Mike Kinney
1093·2^3378000+1	1 016 883	14.03.2017	Andreas Rohmann
621·2^3378148+1	1 016 927	14.03.2017	Randall Scalise
663·2^3390469+1	1 020 636	23.04.2017	Rolf Henrik Nilsson
805·2^3391818+1	1 021 042	28.04.2017	Reiner Elgetz
555·2^3393389+1	1 021 515	03.05.2017	Douglas B. McKay
1049·2^3395647+1	1 022 195	12.05.2017	Randall Scalise
609·2^3392301+1	1 021 188	29.04.2017	«jimmy»
611·2^3398273+1	1 022 985	22.05.2017	Randall Scalise
1167·2^3399748+1	1 023 430	27.05.2017	Eric Eskam
833·2^3403765+1	1 024 639	13.06.2017	Randall Scalise
953·2^3405729+1	1 025 230	20.06.2017	Randall Scalise
907·2^3417890+1	1 028 891	05.08.2017	Randall Scalise
999·2^3418885+1	1 029 190	09.08.2017	Randall Scalise
975·2^3419230+1	1 029 294	10.08.2017	Eric Eskam
1005·2^3420846+1	1 029 781	18.08.2017	Łukasz Piotrowski
1119·2^3422189+1	1 030 185	24.08.2017	Jochen Beck
1127·2^3427219+1	1 031 699	15.09.2017	Randall Scalise
911·2^3432643+1	1 033 331	05.10.2017	Jochen Beck
1147·2^3435970+1	1 034 334	17.10.2017	Randall Scalise
625·2^3438572+1	1 035 117	27.10.2017	Jochen Beck
543·2^3438810+1	1 035 188	29.10.2017	Randall Scalise
943·2^3440196+1	1 035 606	02.11.2017	Lukáš Hron
943·2^3442990+1	1 036 447	13.11.2017	Joshua Charles Campbell
1155·2^3446253+1	1 037 429	27.11.2017	Randall Scalise
1065·2^3447906+1	1 037 927	03.12.2017	Juan C. Toledo
1155·2^3455254+1	1 040 139	28.12.2017	Josh Closs

З 2018 року у проєкті відбулась зміна політики анонсування відкриттів визначних простих чисел. Лише числа, що потрапляють у топ 100 простих, анонсуються.

Seventeen or Bust

Числом Серпінського називається таке непарне натуральне число k, що для довільного натурального n число k·2ⁿ+1 не є простим.

Послідовність відомих чисел Серпінського починається:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, …

Те, що число 78557 є числом Серпінського, було доведено в 1962 році ^[en] (англ. John Selfridge), який виявив, що кожне число виду 78557·2ⁿ+1 ділиться принаймні на одне число із множини {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}.

(Проблему Серпінського) можна сформулювати так: «Яким є найменше число Серпінського?»

Більшість знавців теорії чисел вірять, що 78557 є найменшим числом Серпінського. Щоб це довести, достатньо показати, що для кожного непарного k, такого, що 0<k<78557, існує таке n, що число k·2ⁿ+1 є простим.

Підпроєкт Seventeen or Bust працює над проблемою Серпінського. Проєкт так називається, бо до його початку не біло відомо, чи існують прості для 17-ти чисел k. Наразі залишається знайти прості числа для 5-ти k, інші k, для яких відомі прості k·2ⁿ+1, наведено в таблиці:

№	k	Просте число	Цифр	Дата	Автор
1	4847	4847·2^3321063+1	999 744	15.10.2005	Richard Hassler
2	5359	5359·2^5054502+1	1 521 561	06.12.2003	Randy Sundquist
3	10223	10223·2^31172165+1	9 383 761	31.10.2016	Szabolcs Peter
4	19249	19249·2^13018586+1	3 918 990	26.03.2007	Константин Агафонов
5	21181
6	22699
7	24737
8	27653	27653·2^9167433+1	2 759 677	08.06.2005	Derek Gordon
9	28433	28433·2^7830457+1	2 357 207	30.12.2004	анонімний учасник
10	33661	33661·2^7031232+1	2 116 617	13.10.2007	Sturle Sunde
11	44131	44131·2^995972+1	299 823	05.12.2002	deviced (нік)
12	46157	46157·2^698207+1	210 186	27.11.2002	Stephen Gibson
13	54767	54767·2^1337287+1	402 569	22.12.2002	Peter Coels
14	55459
15	65567	65567·2^1013803+1	305 190	03.12.2002	James Burt
16	67607
17	69109	69109·2^1157446+1	348 431	07.12.2002	Sean DiMichele

Результати підпроєкту

Прості підпроєкту SoB, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 31 жовтня 2016 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
10223·2^31172165+1	9 383 761	31.10.2016	Szabolcs Peter

Sierpinski/Riesel Base 5 Problem

Проблема Серпінського/Різеля за основою 5

Цей підпроєкт є поширенням проблеми Серпінського/Різеля (SoB/TRP). Він намагається розв'язати проблему Серпінського/Різеля за основою 5, віднайти найменше число Серпінського/Різеля. Таким чином відшукуються прості виду k·5ⁿ±1 з парними значеннями k.

Числа Серпінського за основою 5

Гіпотеза полягає у тому, що найменшим парним числом Серпінського за основою 5 є k = 159986. Щоб довести це, достатньо показати, що існує просте число виду k·5ⁿ+1 для кожного парного k < 159986. Наразі це доведено для всіх парних k, окрім наступних 30 значень (станом на 1 травня 2020 року): k = 6436, 7528, 10918, 26798, 29914, 31712, 36412, 41738, 44348, 44738, 45748, 51208, 58642, 60394, 62698, 64258, 67612, 67748, 71492, 74632, 76724, 83936, 84284, 90056, 92906, 93484, 105464, 126134, 139196, 152588.

Числа Різеля за основою 5

Гіпотеза полягає у тому, що найменшим парним числом Різеля за основою 5 є k=346802. Щоб довести це, достатньо показати, що існує просте число виду k·5ⁿ−1 для кожного парного k < 346802. Наразі це доведено для всіх парних k, окрім наступних 57 значень (станом на 19 червня 2022 року): k = 4906, 23906, 26222, 35248, 52922, 68132, 71146, 76354, 81134, 92936, 102952, 109238, 109862, 127174, 131848, 134266, 136804, 143632, 145462, 145484, 146756, 147844, 151042, 152428, 154844, 159388, 164852, 170386, 170908, 177742, 182398, 187916, 189766, 190334, 195872, 201778, 204394, 206894, 213988, 231674, 239062, 239342, 246238, 248546, 259072, 265702, 267298, 271162, 285598, 285728, 298442, 304004, 313126, 318278, 325922, 335414, 338866.

Історія

17 вересня 2004 року на сторінках yahoo групи primeform Роберт Сміт (Robert Smith) вперше презентував ідею пошуку найменших чисел Серпінського/Різеля за основою 5. Використовуючи покриваючу множину {3, 7, 13, 31, 601}, він висунув гіпотезу, що k=346802 є найменшим числом Різеля за основою 5. Невдовзі Гвідо Сметрійнз (Guido Smetrijns) запропонував k=159986 як найменше число Серпінського за основою 5.

Після виконання великої частини самостійних обрахунків, Роберт оголосив про це на форумі mersenneforum.org 28 вересня 2004 року, і таким чином, зусилля з розподіленого обчислення було розпочато. Іншими важливими гравцями у справі розробки, управління і розвитку проєкту є Lars Dausch, Geoff Reynolds, Anand S Nair, і Thomas Masser.

Результати підпроєкту

Прості, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 19 червня 2022 року):

Прості підпроєкту SR5
Просте число	Цифр	Дата	Автор
301016·5^586858−1	410 202	24.01.2011	Puzzle Peter
210092·5^618136−1	432 064	31.01.2011	Puzzle Peter
266206·5^608649−1	425 433	10.02.2011	Puzzle Peter
270748·5^614625−1	429 610	14.02.2011	Puzzle Peter
49568·5^640900−1	447 975	01.07.2011	Sascha Beat Dinkel
262172·5^643342−1	449 683	13.07.2011	Kimmo Myllyvirta
27994·5^645221−1	450 995	18.07.2011	Philipp Bliedung
331882·5^674961−1	471 784	11.11.2011	Ronny Willig
2488·5^679769−1	475 142	24.11.2011	Sascha Beat Dinkel
72532·5^708453−1	495 193	07.02.2012	Göran Schmidt
5374·5^723697−1	505 847	13.04.2012	Kelvin Lewis
18656·5^735326−1	513 976	03.05.2012	Lennart Vogel
338948·5^743996−1	520 037	07.05.2012	Ricky L Hubbard
340168·5^753789−1	526 882	18.05.2012	Kimmo Myllyvirta
316594·5^766005−1	535 421	30.05.2012	Michael Becker
11812·5^769343−1	537 752	02.06.2012	Göran Schmidt
289184·5^770116−1	538 294	07.06.2012	David Yost
162668·5^785748−1	549 220	03.07.2012	Lennart Vogel
48764·5^831946−1	581 510	12.10.2012	David Yost
57406·5^844253−1	590 113	07.11.2012	David Yost
174344·5^855138−1	597 722	09.01.2013	Ronny Willig
162434·5^856004−1	598 327	10.01.2013	Predrag Kurtovic
110488·5^917100+1	641 031	25.03.2013	Ronny Willig
102976·5^929801−1	649 909	09.05.2013	David Yost
70082·5^936972−1	654 921	30.05.2013	Scott Brown
243686·5^1036954−1	724 806	16.06.2013	Katsumi Hirai
55154·5^1063213+1	743 159	16.06.2013	Senji Yamashita
97768·5^987383−1	690 157	17.06.2013	Ulrich Hartel
130484·5^1080012−1	754 902	17.06.2013	Randy Ready
305716·5^1093095−1	764 047	18.06.2013	Randy Ready
329584·5^1122935−1	784 904	21.06.2013	Stephen R Cilliers
92182·5^1135262+1	793 520	21.06.2013	Randy Ready
17152·5^1131205−1	790 683	22.06.2013	Bob Benson
1396·5^1146713−1	801 522	23.06.2013	Randy Ready
150344·5^1205508−1	842 620	28.06.2013	Randy Ready
97366·5^1259955−1	880 676	04.07.2013	Jörg Meili
243944·5^1258576−1	879 713	05.07.2013	Tod Slakans
268514·5^1292240−1	903 243	16.07.2013	Raymond Schouten
256612·5^1335485−1	933 470	04.08.2013	Wolfgang Schwieger
175124·5^1422646−1	994 393	31.10.2013	David Yost
245114·5^1424104−1	995 412	01.11.2013	David Yost
173198·5^1457792−1	1 018 959	04.12.2013	Motohiro Ohno
37292·5^1487989+1	1 040 065	29.12.2013	Stephen R Cilliers
59912·5^1500861+1	1 049 062	17.01.2014	Raymond Ottusch
178658·5^1525224−1	1 066 092	31.01.2014	Keishi Toda
22934·5^1536762−1	1 074 155	06.02.2014	Keishi Toda
330286·5^1584399−1	1 107 453	21.03.2014	Scott Brown
104944·5^1610735−1	1 125 861	09.04.2014	Brian Smith
207394·5^1612573−1	1 127 146	09.04.2014	Honza Cholt
326834·5^1634978−1	1 142 807	25.04.2014	Scott Brown
22478·5^1675150−1	1 170 884	19.06.2014	Guo Hua Miao
138172·5^1714207−1	1 198 185	27.06.2014	Walter Darimont
24032·5^1768249+1	1 235 958	23.07.2014	Hiroyuki Okazaki
133778·5^1785689+1	1 248 149	17.08.2014	Guo Hua Miao
325918·5^1803339−1	1 260 486	21.09.2014	Jörg Meili
109208·5^1816285+1	1 269 534	18.10.2014	Scott Brown
144052·5^2018290+1	1 410 730	23.05.2015	Wolfgang Schmidt
100186·5^2079747−1	1 453 686	21.10.2015	Toshitaka Kumagai
154222·5^2091432+1	1 461 854	10.11.2015	Scott Brown
306398·5^2112410−1	1 476 517	11.01.2016	André Ahlfors Dahl
77072·5^2139921+1	1 495 746	06.03.2016	Wolfgang Becker
92158·5^2145024+1	1 499 313	15.03.2016	Karl Burridge
296024·5^2185270−1	1 527 444	25.03.2016	Steven Wong
53546·5^2216664−1	1 549 387	30.05.2016	Tom Greer
180062·5^2249192−1	1 572 123	20.08.2016	Stefan Larsson
171362·5^2400996−1	1 678 230	25.08.2017	Frank Schwegler
301562·5^2408646−1	1 683 577	17.09.2017	Håkan Lind
327926·5^2542838−1	1 777 374	19.06.2018	Selya Tsuji
81556·5^2539960+1	1 775 361	20.06.2018	Jiří Bočan
66916·5^2628609−1	1 837 324	29.07.2018	Honza Cholt
194368·5^2638045−1	1 843 920	15.08.2018	Honza Cholt
138514·5^2771922+1	1 937 496	26.04.2019	Ken Ito
88444·5^2799269−1	1 956 611	21.06.2019	Scott Brown
322498·5^2800819−1	1 957 694	23.06.2019	Jordan Romaidis
35816·5^2945294−1	2 058 677	05.03.2020	Pavel Atnashev
146264·5^2953282−1	2 064 261	09.03.2020	Wolfgang Schwieger
238694·5^2979422−1	2 082 532	12.03.2020	Chris Howell
207494·5^3017502−1	2 109 149	16.03.2020	Todd Pickering
118568·5^3112069+1	2 175 248	01.05.2020	Honza Cholt
109838·5^3168862−1	2 214 945	13.08.2020	Erik Veit
102818·5^3440382−1	2 404 729	08.10.2021	Wes Hewitt
273662·5^3493296−1	2 441 715	07.12.2021	Lukas Plätz
64598·5^3769854−1	2 717 497	14.06.2022	Wes Hewitt
63838·5^3887851−1	2 717 497	19.06.2022	Scott Lee

Sophie Germain Prime Search

Просте число p називається простим Софі Жермен, якщо число 2·p+1 також є простим. Наприклад просте число 5 є простим Софі Жермен, адже число 2·5+1 = 11 також є простим. Ці числа названі числами Софі Жермен на честь екстраординарної французької математички, що зробила важливий внесок в галузі диференційної геометрії і теорії чисел та у вивчені Останньої Теореми Ферма.

В підпроєкті Sophie Germain Prime Search спочатку перевіряється на простоту число виду k·2ⁿ−1. Якщо воно є простим, тоді перевіряються числа k·2ⁿ+1, k·2^n-1−1 та k·2ⁿ⁺¹−1. Якщо виявиться, що простим є також k·2^n-1−1 або k·2ⁿ⁺¹−1 — це означає, що знайдено просте Софі Жермен. Якщо простим виявиться k·2ⁿ+1, тоді можна сказати, що знайдено прості числа-близнюки. Можливість знайти просте Софі Жермен або прості-близнюки робить пошук саме у цьому підпроєкті привабливішим.

Результати підпроєкту

Прості Софі Жермен, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 29 лютого 2016 року):

Просте число SGS	2p+1	Цифр	Дата	Автор
18543637900515·2^666667−1	18543637900515·2^666668−1	200 701	09.04.2012	Philipp Bliedung
2618163402417·2^1290000−1	2618163402417·2^1290001−1	388 342	29.02.2016	Scott Brown

Прості-близнюки, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 14 вересня 2016 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
3756801695685·2^666669±1	200 700	25.12.2011	Timothy D. Winslow
2996863034895·2^1290000±1	388 342	14.09.2016	Tom Greer

The Riesel Problem

Ганс Івар Різель (англ. Hans Ivar Riesel, нар. 1929 у Стокгольмі) — шведський математик, у 1956 показав, що існує нескінчено велика кількість додатних непарних чисел k таких, що k·2ⁿ−1 є числом складеним для будь-якого цілого n ≥ 1. Такі числа тепер отримали назву чисел Різеля. Він також показав, що число k = 509203 є одним з таких. А також 509203 плюс будь-яке натуральне число, помножене на 11184810. Кожне число виду 509203·2ⁿ−1 ділиться принаймні на одне число із множини {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Існує гіпотеза, що 509203 є найменшим числом Різеля. (Проблема Різеля) полягає у тому, щоб довести, що 509203 є найменшим числом Різеля. Щоб показати, що це число є найменшим, достатньо віднайти просте число для кожного додатного непарного k, меншого за 509203. Станом на 11 березня 2021 року залишається віднайти прості для 44 чисел k:

23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 93839, 97139, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743

Результати підпроєкту

Прості, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 7 лютого 2021 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
191249·2^3417696−1	1 028 835	21.11.2010	Jonathan Pritchard
428639·2^3506452−1	1 055 553	14.01.2011	Brett Melvold
65531·2^3629342−1	1 092 546	05.04.2011	Adrian Schori
123547·2^3804809−1	1 145 367	08.05.2011	Jakub Łuszczek
415267·2^3771929−1	1 135 470	08.05.2011	Alexey Tarasov
141941·2^4299438−1	1 294 265	26.05.2011	Scott Brown
353159·2^4331116−1	1 303 802	31.05.2011	Jaakko Reinman
162941·2^993718−1	299 145	02.02.2012	Dmitry Domanov
252191·2^5497878−1	1 655 032	23.06.2012	Jan Haller
398023·2^6418059−1	1 932 034	05.11.2013	Vladimir Volynsky
304207·2^6643565−1	1 999 918	10.11.2013	Randy Ready
40597·2^6808509−1	2 049 571	25.12.2013	Frank Meador
402539·2^7173024−1	2 159 301	02.10.2014	Walter Darimont
502573·2^7181987−1	2 162 000	04.10.2014	Denis Iakovlev
273809·2^8932416−1	2 688 931	13.12.2017	Wolfgang Schwieger
146561·2^11280802−1	3 395 865	16.11.2020	Pavel Atnashev
9221·2^11392194−1	3 429 397	07.02.2021	Barry Schnur

Twin Prime Search

Twin Prime Search (TPS) — підпроєкт, що займався пошуком великих простих-близнюків (twin primes). Підпроєкт використовує програму LLR (для тестування на простоту) та NewPGen (для відсіву), був розпочатий 13 квітня 2006 Майклом Квоком (Michael Kwok).

До цього часу не відомо, чи існує нескінченно багато простих-близнюків.

Проєктом TPS було знайдено рекордні прості-близнюки 2003663613·2¹⁹⁵⁰⁰⁰±1 15 січня 2007 році на комп'ютері користувача Eric Vautier. Ці числа складаються з 58711 цифри, що зробило їх найбільшими відомими на той час простими-близнюками. Проєкт працював у співпраці з PrimeGrid, що зробив більшість LLR тестів.

6 серпня 2009 року 2 проєкти (PrimeGrid та Twin Prime Search) оголосили, що рекорд простих-близнюків поновлено. Це прості 65516468355·2³³³³³³±1 і складаються з 100355 цифр. Найменше з цих двох простих станом на серпень 2009 також є найбільшим з відомих простих Чена.

Woodall Prime Search

Woodall Prime Search — це підпроєкт з пошуку простих чисел Вудала. В теорії чисел число Вудала (що інколи називають числами Каллена другого порядку) — натуральне число виду W_n = n·2ⁿ−1

Експоненти n, для яких відповідні числа Вудала прості, утворюють послідовність A002234 [ 29 липня 2021 у Wayback Machine.]:

2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602.

В 1976 році Христофер Хулей (англ. Christopher Hooley) показав, що майже всі числа Каллена складені. Доведення Христофера Хулей було перероблено математиком Хірмі Суяма, щоб показати, що воно вірне для будь-якої послідовності n·2^n+a+b, де a і b — цілі числа, а також частково для чисел Вудала.

Є гіпотеза, що простих чисел Вудала є нескінчено багато.

Результати підпроєкту

Прості числа Вудала, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 21 березня 2018 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
2013992·2^2013992−1	606 279	04.08.2007	Lasse Mejling Andersen
2367906·2^2367906−1	712 818	13.08.2007	Stephen Kohlman
3752948·2^3752948−1	1 129 757	21.12.2007	Matthew J. Thompson
17016602·2^17016602−1	5 122 515	21.03.2018	Diego Bertolotti

Підпроєкти WW

Wieferich Prime Search

Просте p називається простим Віферіха, якщо ${\displaystyle p^{2}}$ ділить ${\displaystyle 2^{p-1}-1}$. Ці прості названі за ім'ям Артура Віферіха, німецького математика, який у 1909 році довів, що якщо перша частина останньої теореми Ферма не виконується для деякої експоненти p, тоді p задовільняє умові ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$ для ${\displaystyle a=2}$.

Незважаючи на численні пошуки, донині відомо лише 2 простих числа Віферіха — це 1093 та 3511 (послідовність A001220 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Рідкісність таких простих веде до зацікавлення у пошуку «майже» простих Віферіха. Вони визначаються як спеціяльні випадки ${\displaystyle 2^{p-1 \over 2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}}$ для малих значень ${\displaystyle \mid A\mid }$.

Класичне означення близькості

Просте число p, що задовільняє рівнянню ${\displaystyle 2^{p-1 \over 2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}}$ для малих значень ${\displaystyle \mid A\mid }$, назагал називається майже простим Віферіха.

Історія пошуку

Пошук простих і майже простих Віферіха триває вже більше 80 років. Ось історія прогресу:

Верхня межа	Автор	Дата
16000	Beeger	1940
50000	Froberg	unknown
100000	Kravitz	1960
200183	Pearson	1964
500000	Riesel	1964
30·10^6	Froberg	1968
3·10^9	Brillhart, Tonascia, and Weinberger	1971
6·10^9	Lehmer	1981
61·10^9	Clark	1996
4·10^12	Crandall, Dilcher, and Pomerance	1997
46·10^12	Brown and McIntosh	2001
200·10^12	Crump	2002
1.25·10^15	Knauer and Richstein	2005
3·10^15	Carlisle, Crandall, and Rodenkirch	2006
6.7·10^15	Dorais and Klyve	2011
10·10^15	PrimeGrid	13.01.2012
14·10^15	PrimeGrid	14.04.2012
14·10^16	PrimeGrid	11.08.2014

За цей час верхня межа пошуку досягла вже 136·10¹⁵. PrimeGrid почав пошук з 3·10¹⁵. Причина цього полягає в тому, що Dorais і Klyve дали інше означення майже простого Віферіха. Таким чином вони не шукали майже простих Віферіха за класичним означенням. PrimeGrid не сподівався знайти простих Віферіха у проміжку між 3·10¹⁵ та 6.7·10¹⁵, але сподівався знайти декілька майже простих. Так сталося, що визначення майже простого Віферіха, що дали Dorais та Klyve, зловило декілька «класичних» майже простих Віферіха, але не всі. PrimeGrid шукає майже прості за умовою |A| < = 1000.

Wall-Sun-Sun Prime Search

Просте Вола-Суня-Суня (або Фібоначчі-Віферіха) — це таке просте p > 5, для якого p² ділить число Фібоначчі ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}}$, де символ Лежандра ${\displaystyle \left({\tfrac {p}{5}}\right)}$ визначається як ${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}}$

Хоча існує гіпотеза, що таких простих існує нескінчено багато, досі не відомо жодного Вола-Суня-Суня простого. Станом на листопад 2013, якщо вони і існують, вони мають бути більші за 26·10¹⁵.

Брак удачі в пошуку простих веде до зацікавленості в пошуку «майже» простих Вола-Суня-Суня. Вони визначаються як спеціальні випадки ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv Ap{\pmod {p^{2}}}}$ для малих значень |A|.

Класичне означення близькості

Просте число p, що задовільняє рівнянню ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv Ap{\pmod {p^{2}}}}$ для малих значень |A|, назагал називається майже простим Вола-Суня-Суня.

Історія пошуку

Вехня межа	Автор	Дата
10^9	Williams	1982
2^32	Montgomery	1991
100·10^12	Knauer and McIntosh	2003
200·10^12	McIntosh and Roettger	2005
970·10^12	Dorais and Klyve	2011
10^15	PrimeGrid	28.12.2011
1.5·10^15	PrimeGrid	10.01.2012
2·10^15	PrimeGrid	22.01.2012
2.5·10^15	PrimeGrid	02.03.2012
6·10^15	PrimeGrid	29.07.2012
28·10^15	PrimeGrid	31.03.2014

Числа названі на честь Доналда Дайнса Вола (Donald Dines Wall) і братів близнюків Чжи Хон Суня (Zhi Hong Sun) та Чжи Вей Суня (Zhi Wei Sun), які в 1992 році показали, що якщо перша умова великої теореми Ферма не виконується для певного простого p, то p має бути простим числом Фібоначчі — Віферіха. Таким чином, до того, як велика теорема Ферма була доведена Ендрю Вайлсом, пошук простих Фібоначчі — Віферіха переслідував мету знайти потенційний контрприклад.

PrimeGrid шукає майже прості за умовою |A| < = 1000.

Підпроєкти PRP

Метою проєктів PRP (англ. PRobably Prime) є пошук ймовірно простих чисел, що вимагають додаткової перевірки на простоту методом LLR.

Generalized Fermat Prime Search

Це підпроєкт з пошуку узагальнених простих чисел Ферма виду bⁿ+1, де n є ступенем 2.

Про узагальнені прості Ферма

Протягом XVII сторіччя П'єр Ферма (Pierre de Fermat) та Марен Мерсенн (Marin Mersenne) вивчали дві певні форми чисел, з надією, що вони можуть продукувати велику кількість простих чисел, чи навіть нескінчену кількість простих. Мерсенн працював над переліком простих виду 2ⁿ−1, таких, що n < 257. Знадобилось багато років праці, щоб створити коректний перелік таких чисел. У листуванні з Френікл (Frénicle) Ферма висловив переконання, якщо n є ступенем 2, тоді 2ⁿ+1 є простим числом. Ферма знав, що 3, 5, 17, 257 і 65537 є простими, але пізніше Леонард Ейлер (Leonhard Euler) показав, що Ферма помилявся, віднайшовши дільник для наступного числа.

На честь натхнених піонерів теорії чисел, числа виду 2ⁿ−1 тепер називаються числами Мерсенна, а числа виду 2ⁿ+1 числами Ферма. Пошук (простих Мерсенна) та Ферма значно просунувся від часів XVII сторіччя. Тепер відомі всі прості Мерсенна з кількістю цифр менше за 2'000'000 і досліджено всі числа Ферма аж до 2'000'000'000 цифр! Це стало можливим, тому що протягом XIX ст. було винайдено декілька ефектнивних методів перевірки цих чисел на простоту. Одночасно з цим, деякі тести не менш швидкі були знайдені для перевірки всіх чисел N, якщо відома факторизація чисел N−1 або N+1. Таким чином багато форм чисел можуть бути використані для пошуку найбільших відомих простих, але на диво пошук найбільших простих обмежується числами Мерсенна. Відомими виключенями стали (2¹⁴⁸+1)/17 (винайдено у 1951 році з використанням ручного обчислювального методу), 180·(2¹²⁷−1)²+1 (винайдено у 1951 році) і 391581·2²¹⁶¹⁹³−1 (знайдено за допомогою «Amdahl 6» в 1989).

З 50-х по 70-ті розмір найбільших відомих простих постійно ріс разом із швидкостями комп'ютерів, але використовувані алгоритми залишались тими самими, що і наприкінці XIX ст. Але в 80-х роках XX ст., методи, що використовуються для обчислення базової операції алгоритму, добутку, змінилась. Помітивши, що добуток може бути представлений у вигляді суми скінченої послідовності, теорія дискретних транформація показала, як швидко обчислити цю операцію за допомогою швидких перетворень Фур'є (Fast Fourier Transform, FFT). За допомогою цього методу було знайдено деякі прості з більш ніж 10'000 та 100'000 цифр.

В 1994 R. Crandall та B. Fagin винайшли, що за допомогою дискретних зважених трансформацій (Discrete Weighted Transform, DWT) швидкість пошуку (простих Мерсенна) та Ферма може бути подвоєна. Цей метод було використано у пошуку шости нових простих Мерсена (найбільше з них містило понад 6'000'000 цифр) і довести складеність деяких чисел Ферма. Але прості серед чисел Мерсена та Ферма є рідкістю і шанс знайти нове просте малий.

В 1998 році Y. Gallot помітив, що дискретна зважена трансформація є поліноміальною операцією і якщо представлення чисел не обмежується базою 2, тоді багато чисел можуть бути перевірені на тому ж рівні швидкості, як і числа Мерсенна: узагальнені числа Ферма (Generalized Fermat Numbers, GFN), які є числами виду bⁿ+1, де n є ступенем 2. Він реалізував алгоритм в 1999 у програмі Proth.exe, яка з того часу була ще оптимізована. Теоретичні гіпотези стали дійсністю: пошук узагальнених простих Ферма так само швидкий, як і пошук простих Мерсенна такого ж розміру. За допомогою десятків комп'ютерів було знайдено багато простих, що містять більше ніж 100'000 цифр. У 2002 P. Carmody разом з B. Frey досягли великих успіхів в алгоритмі відсіву узагальнених чисел Ферма. P. Carmody організував прикладання великих зусиль до відсіву за допомогою програми, що була написана D. Underbakke, що таким чином прискорило пошук узагальнених простих чисел Ферма.

Узагальнених чисел Ферма існує набагато більше, ніж чисел Мерсенна того ж розміру і багато з них чекають на те, щоб заповнити прогалини між простими Мерсена, що вже знайдено, і тими, що ще ні. Якщо ви зацікавлені у пошуку простих XXI сторіччя, вас запрошують долучитися до Generalized Fermat Prime Search!

Результати підпроєкту

Анонсовані мега прості GFN (b²ⁿ+1, де n≥18), що було знайдено у PrimeGrid (станом на 11 серпня 2022 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
1951734^1048576+1	6 595 985	09.08.2022	Kazuya Tanaka
1059094^1048576+1	6 317 602	31.10.2018	Rob Gahan
919444^1048576+1	6 253 210	29.08.2017	Sylvanus A. Zimmerman
4896418^524288+1	3 507 424	15.05.2022	Tom Greer
3638450^524288+1	3 439 810	29.05.2020	Wolfgang Schwieger
3214654^524288+1	3 411 613	24.12.2019	Alen Kecic
2985036^524288+1	3 394 739	18.09.2019	Peter Harvey
2877652^524288+1	3 386 397	29.06.2019	Roman Vogt
2788032^524288+1	3 379 193	17.04.2019	Ed Goforth
2733014^524288+1	3 374 655	18.03.2019	Yair Givoni
2312092^524288+1	3 336 572	04.08.2018	Rob Gahan
2061748^524288+1	3 310 478	20.03.2018	Cesare Marini
1880370^524288+1	3 289 511	15.01.2018	Scott Brown
475856^524288+1	2 976 633	08.08.2012	Masashi Kumagai
356926^524288+1	2 911 151	20.06.2012	(bherbihyewrbg)
341112^524288+1	2 900 832	15.06.2012	Peyton Hayslette
75898^524288+1	2 558 647	19.11.2011	Michael Goetz
9812766^262144+1	1 832 857	16.02.2020	Tom Greer
9750938^262144+1	1 832 137	12.02.2020	Alen Kecic
9450844^262144+1	1 828 578	21.01.2020	Jacob Eikelenboom
9125820^262144+1	1 824 594	05.12.2019	Yoshimitsu Kato
8883864^262144+1	1 821 535	09.09.2019	Rod Skinner
8521794^262144+1	1 816 798	09.09.2019	Ken Ito
6291332^262144+1	1 782 250	14.12.2018	Karsten Freihube
6287774^262144+1	1 782 186	12.12.2018	Greg Miller
5828034^262144+1	1 773 542	26.09.2018	Rob Gahan
5205422^262144+1	1 760 679	17.06.2018	Scott Brown
5152128^262144+1	1 759 508	05.06.2018	Rob Gahan
4489246^262144+1	1 743 828	01.03.2018	Wolfgang Schwieger
4246258^262144+1	1 737 493	15.02.2018	Rob Gahan
3933508^262144+1	1 728 783	27.01.2018	Alen Kecic
3853792^262144+1	1 726 452	10.01.2018	Rod Skinner
3673932^262144+1	1 721 010	03.12.2017	Sean Humphries
3596074^262144+1	1 718 572	16.11.2017	Howard Gordon
3547726^262144+1	1 717 031	30.10.2017	Scott Brown
3060772^262144+1	1 700 222	30.06.2017	Sean Humphries
2676404^262144+1	1 684 945	22.03.2017	Wolfgang Schwieger
2611204^262144+1	1 682 141	11.03.2017	Roman Vogt
2514168^262144+1	1 677 825	24.02.2017	William de Thomas
2042774^262144+1	1 654 187	24.11.2016	Tsuyoshi Ohsugi
1828858^262144+1	1 641 593	10.08.2016	Brook Harste
1615588^262144+1	1 627 477	04.05.2016	Brook Harste
1488256^262144+1	1 618 131	05.03.2016	Stefan Larsson
1415198^262144+1	1 612 400	16.02.2016	Frank Matillek
773620^262144+1	1 543 643	19.04.2012	Senji Yamashita
676754^262144+1	1 528 413	12.02.2012	Carlos Loureiro
525094^262144+1	1 499 526	18.01.2012	David Tomecko
361658^262144+1	1 457 075	29.10.2011	Michel Johnson
145310^262144+1	1 353 265	08.02.2011	Ricky L Hubbard
40734^262144+1	1 208 473	08.03.2011	Senji Yamashita

Підпроєкти Sieve

Підпроєкти Sieve (з англ. sieve — відсів) займаються відсіюванням кандидатів для підпроєктів LLR. Відсів складених кандидатів може бути набагато ефективніше за перевірку на простоту методом LLR. Із часом, коли глибина відсіву росте, ефективність відсіву падає і видалення складених чисел із кандидатів на простоту відбувається все рідше. Коли середній час на відсів кандидатів стає спвіставний з середнім часом на перевірку методом LLR, доцільність використання відсіву втрачається.

321 Prime Search Sieve

Підпроєкт 321 Prime Search Sieve займається відсівом для підпроєкту 321 Prime Search

Наразі підпроєкт поставлено на паузу, оскільки була досягнута оптимальна глибина відсіву.

Cullen/Woodall Sieve

Підпроєкт Cullen/Woodall Sieve займається відсівом для Cullen та Woodall Prime Search

Наразі підпроєкт поставлено на паузу, оптимальна глибина відсіву у 2500T була досягнута навесні 2012.

Generalized Cullen/Woodall Sieve

Підпроєкт Generalized Cullen/Woodall Sieve займається відсівом для Generalized Cullen/Woodall Prime Search

Proth Prime Search Sieve

Підпроєкт Proth Prime Search Sieve займається відсівом для Proth Prime Search

Sierpinski (ESP/PSP/SoB) Sieve

Підпроєкт об'єднує зусилля з відсіву для підпроєктів Seventeen or Bust, Prime Sierpinski Project, Extended Sierpinski Project

Відсів для Seventeen or Bust та Prime Sierpinski Project поставлено на паузу, оскільки була досягнута оптимальна глибина відсіву.

Відсів Extended Sierpinski Project Sieve для Extended Sierpinski Project розпочато 29 червня 2014 року.

Наразі підпроєкт поставлено на паузу, оптимальна глибина відсіву для Extended Sierpinski Project була досягнута у червні 2016 року.

The Riesel Problem Sieve

Підпроєкт The Riesel Problem Sieve займається відсівом для The Riesel Problem

Наразі підпроєкт поставлено на паузу, оскільки була досягнута оптимальна глибина відсіву.

Project Staging Area (PSA)

Від початку PSA було створено задля дослідження, тестування та підготовки майбутніх BOINC підпроєктів для PrimeGrid. У PSA досі ведеться пошук простих чисел інших форм, яких немає в підпроєктах BOINC. Існує два напрямки участі у PSA — PRPNet та Manual Sieving:

• PRPNet було розроблено Марком Роденкірхом (англ. Mark Rodenkirch), PRPNet дуже подібний до BOINC, але використовується тільки для пошуку простих чисел. PRPNet не має  (інтерфейсної оболонки). Натомість він стартує або в DOS вікні (Windows) або в командному терміналі (Linux). Все досить просто — скачай, розпакуй файл для твоєї ОС, відредагуй декілька рядків у файлі prpclient.ini і запускай.
• Ручний відсів (Manual Sieving) — гарний відсів веде до кращого результату під час перевірки чисел на простоту. Деякі пошуки вимагають досить значних зусиль, тому для таких відсівів залучається спільнота. Є декілька проєктів, що координуються за допомогою постингу на форумі.

За участь в PSA існує ручна процедура нарахування очок в віртуальний підпроєкт PSA в BOINC.

Підпроєкти PRPNet

1. (121 Prime Search)
   • server=121:0:1:prpnet.primegrid.com:12001
2. (27 Prime Search)
   • server=27:0:1:prpnet.primegrid.com:12006
3. (Factorial Prime Search)
   • server=FPS:0:1:prpnet.primegrid.com:12002
4. (Primorial Prime Search)
   • server=PRS:0:1:prpnet.primegrid.com:12008
5. (Wieferich Prime Searc)h (ПРИЗУПИНЕНО)
   • server=WIEFERICH:0:2:prpnet.primegrid.com:13000
6. (Wall-Sun-Sun Prime Search) (ПРИЗУПИНЕНО)
   • server=WALLSUNSUN:0:2:prpnet.primegrid.com:13001

Підпроєкти Manual Sievieng

1. Factorial Prime Search (Manual Sieve)
2. Primorial Prime Search (Manual Sieve)
3. Sierpinski/Riesel base 5 Project (Manual Sieve)
4. Generalized Fermat Prime Search (Manual Sieve)
5. PPS/RSP (Manual Sieve)

Бейджики

PrimeGrid нагороджує користувачів, що досягли певного рівня зароблених очок, бейджиками. Ці відзнаки не дають нікому ніякої переваги, але багато хто сприймає бейджі як знак певного досягнення. Нагорода бейджами використовується також для заохочення участі у менш популярних підпроєктах. Поточні рівні бейджів: Бронза (10'000) / Срібло (100'000) / Золото (500'000) / Аметист (1'000'000) / Рубін (2'000'000) / Бі