Число Вудала

В теорії чисел число Вудала (W_n) — будь-яке натуральне число виду

${\displaystyle W_{n}=n\cdot 2^{n}-1}$

для деякого натурального n. Кілька перших чисел Вудала:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … послідовність A003261 в OEIS.

Історія

Числа Вудала були вперше вивчені ^[en] і ^[en] 1917 року, натхнені ранішими дослідженнями ^[en] подібним чином визначених чисел Каллена. Числа Вудала дивним чином виявилися в теоремі Гудштейна.

Прості числа Вудала

Нерозв'язана проблема математики: Чи існує нескінченно багато простих чисел Вудала? (більше нерозв'язаних проблем математики)

Числа Вудала, які є простими числами, називаються простими числами Вудала. Кілька перших показників n, для яких відповідні числа Вудала W_n прості:

2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, … послідовність A002234 в OEIS.

Самі ж прості числа Вудала утворюють послідовність:

7, 23, 383, 32212254719, … послідовність A050918 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

1976 року ^[en] показав, що майже всі числа Каллена складені. Доведення Крістофера Гулі переробив математик щоб показати, що воно правильне для будь-якої послідовності чисел ${\displaystyle n\cdot 2^{n+a}+b}$, де a і b - цілі числа, і частково також для чисел Вудала. Припускають, що існує нескінченно багато простих чисел Вудала. Станом на жовтень 2018 року найбільше відоме просте число Вудала — ${\displaystyle 17016602\cdot 2^{17016602}-1}$. Воно має 5122515 цифр і знайдене Дієго Бертолотті (Diego Bertolotti) 2018 року в проєкті розподілених обчислень PrimeGrid.

Властивості подільності

Подібно до чисел Каллена, числа Вудала мають багато властивостей подільності. Наприклад, якщо p просте число, p ділить

${\displaystyle W_{(p+1)/2}}$ якщо символ Якобі ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ дорівнює +1 і

${\displaystyle W_{(3p-1)/2}}$ якщо символ Якобі ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ дорівнює -1.^[]

Узагальнення

Узагальнене число Вудала визначається як число виду ${\displaystyle n\cdot b^{n}-1}$, де n+2>b. Якщо просте число можна записати в такому вигляді, його називають узагальненим простим числом Вудала.

Найменше n для якого n × bⁿ − 1 є простим

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3, … послідовність A240235 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

b	значення n для якого n × b^n — 1 є простим (ці n перевірені до 350000)	послідовність OEIS
1	3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, … (всі прості плюс 1)	A008864
2	2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, …	A002234
3	1, 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, …	A006553
4	1, 2, 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, …, 1993191, …	A086661
5	8, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, …	A059676
6	1, 2, 3, 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, …	A059675
7	2, 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, …	A242200
8	1, 2, 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, …	A242201
9	10, 58, 264, 1568, 4198, 24500, …	A242202
10	2, 3, 8, 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, …	A059671
11	2, 8, 252, 1184, 1308, …	A299374
12	1, 6, 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, …	A299375
13	2, 6, 563528, …	A299376
14	1, 3, 7, 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, …	A299377
15	2, 10, 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, …	A299378
16	167, 189, 639, …	A299379
17	2, 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, …	A299380
18	1, 2, 6, 8, 10, 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, …	A299381
19	12, 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, …	A299382
20	1, 18, 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, …	A299383
21	2, 18, 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, …
22	2, 5, 140, 158, 263, 795, 992, 341351, …
23	29028, …
24	1, 2, 5, 12, 124, 1483, 22075, 29673, 64593, …
25	2, 68, 104, 450, …
26	3, 8, 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, …
27	10, 18, 20, 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, …
28	2, 5, 6, 12, 20, 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, …
29	26850, 237438, 272970, …
30	1, 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, 201038, …

Станом на жовтень 2018, найбільше відоме узагальнене просте число Вудала дорівнює 17016602 × 2^17016602 − 1.

Примітки

1. The Prime Database: 8508301*2^17016603-1, Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database
2. PrimeGrid, Announcement of 17016602*2^17016602 - 1 (PDF).
3. List of generalized Woodall primes base 3 to 10000

Див. також

• (Прості числа Мерсенна) — прості числа виду 2ⁿ − 1.

Література

• Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (вид. 3rd), New York: Springer Verlag, с. section B20, ISBN 
• Keller, Wilfrid (1995), New Cullen Primes (PDF), ^[en], 64 (212): 1733—1741
• Caldwell, Chris, The Top Twenty: Woodall Primes, The ^[en], процитовано 29 грудня 2007

Посилання

• Chris Caldwell, The Prime Glossary: Woodall number at The Prime Pages.
• Weisstein, Eric W. Woodall number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Steven Harvey, List of Generalized Woodall простих чисел.
• Paul Leyland,