Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . (19 березня 2021) |
У комп'ютерному зорі фундаментальна матриця - матриця 3 × 3, яка пов'язує відповідні точки у стереозображеннях. В епіполярній геометрії з однорідними координатами для координат x і x ′ відповідних точок у парі стереозображень Fx описує лінію (епіполярну лінію), на якій повинна лежати відповідна точка x ′ іншого зображення. Це означає, що для всіх пар відповідних точок має місце
Матрицю оцінюють з урахуванням щонайменше семи точкових відповідностей. Сім параметрів визначають єдину геометричну інформацію про камери, яку можна отримати лише за допомогою точкових відповідностей.
Термін «фундаментальна матриця» був введений QT Луонгом у кандидатській дисертації. Цю матрицю іноді також називають "біфокальним тензором". Це двоточковий тензор, що є білінійною формою, яка повʼязує точки у різних системах координат.
Вищезазначене співвідношення, яке визначає фундаментальну матрицю, було опубліковано в 1992 р Олів'є Фаугерасом і Річардом Хартлі. Хоча істотна матриця Крістофера Лонге Хіггінса задовольняє аналогічній умові, істотна матриця являє собою метрику об'єкта, що відповідає каліброваним камерам, в той час як фундаментальна матриця описує відповідність в більш загальних і фундаментальних термінах проективної геометрії. Математично співвідношення між фундаментальною матрицею та відповідною їй істотною матрицю можна виразити як
і є внутрішньою матрицею калібрування двох задіяних зображень.
Вступ
Фундаментальна матриця встановлює звʼязок між будь-якими двома зображеннями однієї і тієї ж сцени обмежуючи можливі координати проєкції точок сцени на обох зображеннях. Взявши проєкцію сцени на одне із зображень, відповідна точка на іншому зображенні може лежати лише на певній лінії, що полегшує пошук та дозволяє виявляти неправильні відповідності. Відношення між відповідними точками зображення, які представляє основна матриця, називається епіполярним обмеженням, обмеженням відповідності.
Теорема про проективну реконструкцію
Фундаментальну матрицю можна визначити набором точкових відповідностей. Крім того, ці відповідні точки зображення можуть бути триангульовані для визначення координат точки у 3Д просторі за допомогою матриць камер, отриманих безпосередньо з цієї фундаментальної матриці. Сцена, складена з цих точок, знаходиться в межах проективного перетворення справжньої сцени.
Доведення
Вважатимемо, що відповідні точки двох зображень яким відповідає точка
на сцені отримано за допомогою камер із матрицям
, тобто
Введемо перетворення простору загальною матрицею гомографії як
.
Тоді перетворення камер
і так само з
ми все щє отримуємо ті самі точки
Виведення фундаментальної матриці з використанням умови копланарності
Фундаментальну матрицю можна також отримати, використовуючи умову копланарності.
Методи знаходження
Якщо відомо що найменш вісім відповідних точок зображень, для знаходження фундаментальної матриці може бути використано восьмиточковий алгоритм.
Властивості
Фундаментальна матриця має ранг 2. Його ядро визначає епіполь.
Використання
Зазвичай фундаментальна матриця використовується для спрощєння пошуку відповідностей між двома зображеннями. Пошук відповідної точки зображення можна вести або увздовж епіполярної лінії на іншому зображенні, або ж зображення можна ректифікувати і вести пошук лише за однїєю координатою. Відновлення тривимірного положення точок із використанням лише фундаментальної матриці неможливе (в межах проективної невизначеності). Однак якщо відома інформація про параметри камери (фокусна відстань та принципова точка) то з фундаментальної матриці можна отримати істотну матрицю розклад якої дозволяє отримати інформацію про відносні положення та орієнтації камер, після чого стає можливим виконати тріангуляцію точок.
Щє
Пісня про фундаментальну матрицю на youtube(англ).
Див. також
Примітки
- Richard Hartley and Andrew Zisserman «Multiple View Geometry in Computer Vision» 2003, pp. 266—267
- Jaehong Oh. "Novel Approach to Epipolar Resampling of HRSI and Satellite Stereo Imagery-based Georeferencing of Aerial Images" [ 2012-03-31 у Wayback Machine.], 2011, pp. 22–29 accessed 2011-08-05.
Посилання
- Faugeras, Olivier D (1992). What can be seen in three dimensions with an uncalibrated stereo rig? (PDF). Proceedings of European Conference on Computer Vision. doi:10.1007/3-540-55426-2_61.
- Faugeras, Olivier D; Q.T. Luong; Steven Maybank (1992). Camera self-calibration: Theory and experiments. Proceedings of European Conference on Computer Vision. doi:10.1007/3-540-55426-2_37.
- Q.T. Luong and Olivier D. Faugeras (1996). The Fundamental Matrix: Theory, Algorithms, and Stability Analysis. International Journal of Computer Vision. 17 (1): 43—75. doi:10.1007/BF00127818.
- Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN .
- Richard I. Hartley (1992). Estimation of relative camera positions for uncalibrated cameras (PDF). Proceedings of European Conference on Computer Vision.
- Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in computer vision. Cambridge University Press. ISBN .
- Richard I. Hartley (1997). In Defense of the Eight-Point Algorithm. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 19 (6): 580—593. doi:10.1109/34.601246.
- Nurollah Tatar (2019). Stereo rectification of pushbroom satellite images by robustly estimating the fundamental matrix. International Journal of Remote Sensing. 40 (20): 1—19. doi:10.1080/01431161.2019.1624862.
- Q.T. Luong (1992). Matrice fondamentale et auto-calibration en vision par ordinateur. PhD Thesis, University of Paris, Orsay.
- Yi Ma; ; ; (2004). An Invitation to 3-D Vision. Springer. ISBN .
- , Reinhard Koch and Luc van Gool (1999). Self-Calibration and Metric Reconstruction in spite of Varying and Unknown Intrinsic Camera Parameters. International Journal of Computer Vision. 32 (1): 7—25. doi:10.1023/A:1008109111715.
- Philip H. S. Torr (1997). The Development and Comparison of Robust Methods for Estimating the Fundamental Matrix. International Journal of Computer Vision. 24 (3): 271—300. doi:10.1023/A:1007927408552.
- Philip H. S. Torr and A. Zisserman (2000). MLESAC: A New Robust Estimator with Application to Estimating Image Geometry. Computer Vision and Image Understanding. 78 (1): 138—156. doi:10.1006/cviu.1999.0832.
- Gang Xu and Zhengyou Zhang (1996). Epipolar geometry in Stereo, Motion and Object Recognition. Kluwer Academic Publishers. ISBN .
- Zhengyou Zhang (1998). Determining the epipolar geometry and its uncertainty: A review. International Journal of Computer Vision. 27 (2): 161—195. doi:10.1023/A:1007941100561.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno 19 bereznya 2021 U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Fundamentalna matricya U komp yuternomu zori fundamentalna matricya F displaystyle mathbf F matricya 3 3 yaka pov yazuye vidpovidni tochki u stereozobrazhennyah V epipolyarnij geometriyi z odnoridnimi koordinatami dlya koordinat x i x vidpovidnih tochok u pari stereozobrazhen Fx opisuye liniyu epipolyarnu liniyu na yakij povinna lezhati vidpovidna tochka x inshogo zobrazhennya Ce oznachaye sho dlya vsih par vidpovidnih tochok maye misce x F x 0 displaystyle mathbf x top mathbf Fx 0 Matricyu ocinyuyut z urahuvannyam shonajmenshe semi tochkovih vidpovidnostej Sim parametriv viznachayut yedinu geometrichnu informaciyu pro kameri yaku mozhna otrimati lishe za dopomogoyu tochkovih vidpovidnostej Termin fundamentalna matricya buv vvedenij QT Luongom u kandidatskij disertaciyi Cyu matricyu inodi takozh nazivayut bifokalnim tenzorom Ce dvotochkovij tenzor sho ye bilinijnoyu formoyu yaka povʼyazuye tochki u riznih sistemah koordinat Vishezaznachene spivvidnoshennya yake viznachaye fundamentalnu matricyu bulo opublikovano v 1992 r Oliv ye Faugerasom i Richardom Hartli Hocha istotna matricya Kristofera Longe Higginsa zadovolnyaye analogichnij umovi istotna matricya yavlyaye soboyu metriku ob yekta sho vidpovidaye kalibrovanim kameram v toj chas yak fundamentalna matricya opisuye vidpovidnist v bilsh zagalnih i fundamentalnih terminah proektivnoyi geometriyi Matematichno spivvidnoshennya mizh fundamentalnoyu matriceyu F displaystyle mathbf F ta vidpovidnoyu yij istotnoyu matricyu E displaystyle mathbf E mozhna viraziti yak E K F K displaystyle mathbf E mathbf K top mathbf F mathbf K K displaystyle mathbf K i K displaystyle mathbf K ye vnutrishnoyu matriceyu kalibruvannya dvoh zadiyanih zobrazhen VstupFundamentalna matricya vstanovlyuye zvʼyazok mizh bud yakimi dvoma zobrazhennyami odniyeyi i tiyeyi zh sceni obmezhuyuchi mozhlivi koordinati proyekciyi tochok sceni na oboh zobrazhennyah Vzyavshi proyekciyu sceni na odne iz zobrazhen vidpovidna tochka na inshomu zobrazhenni mozhe lezhati lishe na pevnij liniyi sho polegshuye poshuk ta dozvolyaye viyavlyati nepravilni vidpovidnosti Vidnoshennya mizh vidpovidnimi tochkami zobrazhennya yaki predstavlyaye osnovna matricya nazivayetsya epipolyarnim obmezhennyam obmezhennyam vidpovidnosti Teorema pro proektivnu rekonstrukciyuFundamentalnu matricyu mozhna viznachiti naborom tochkovih vidpovidnostej Krim togo ci vidpovidni tochki zobrazhennya mozhut buti triangulovani dlya viznachennya koordinat tochki u 3D prostori za dopomogoyu matric kamer otrimanih bezposeredno z ciyeyi fundamentalnoyi matrici Scena skladena z cih tochok znahoditsya v mezhah proektivnogo peretvorennya spravzhnoyi sceni Dovedennya Vvazhatimemo sho vidpovidni tochki dvoh zobrazhen x x displaystyle mathbf x leftrightarrow mathbf x yakim vidpovidaye tochka X displaystyle textbf X na sceni otrimano za dopomogoyu kamer iz matricyam P P displaystyle left textbf P textbf P right tobto x P X x P X displaystyle begin aligned mathbf x amp textbf P textbf X mathbf x amp textbf P textbf X end aligned Vvedemo peretvorennya prostoru zagalnoyu matriceyu gomografiyi H 4 4 displaystyle textbf H 4 times 4 yak X 0 H X displaystyle textbf X 0 textbf H textbf X Todi peretvorennya kamer P 0 P H 1 P 0 P H 1 displaystyle begin aligned textbf P 0 amp textbf P textbf H 1 textbf P 0 amp textbf P textbf H 1 end aligned P 0 X 0 P H 1 H X P X x displaystyle textbf P 0 textbf X 0 textbf P textbf H 1 textbf H textbf X textbf P textbf X mathbf x i tak samo z P 0 displaystyle textbf P 0 mi vse shye otrimuyemo ti sami tochkiVivedennya fundamentalnoyi matrici z vikoristannyam umovi koplanarnostiFundamentalnu matricyu mozhna takozh otrimati vikoristovuyuchi umovu koplanarnosti Metodi znahodzhennyaYaksho vidomo sho najmensh visim vidpovidnih tochok zobrazhen dlya znahodzhennya fundamentalnoyi matrici mozhe buti vikoristano vosmitochkovij algoritm VlastivostiFundamentalna matricya maye rang 2 Jogo yadro viznachaye epipol VikoristannyaZazvichaj fundamentalna matricya vikoristovuyetsya dlya sproshyennya poshuku vidpovidnostej mizh dvoma zobrazhennyami Poshuk vidpovidnoyi tochki zobrazhennya mozhna vesti abo uvzdovzh epipolyarnoyi liniyi na inshomu zobrazhenni abo zh zobrazhennya mozhna rektifikuvati i vesti poshuk lishe za odnyiyeyu koordinatoyu Vidnovlennya trivimirnogo polozhennya tochok iz vikoristannyam lishe fundamentalnoyi matrici nemozhlive v mezhah proektivnoyi neviznachenosti Odnak yaksho vidoma informaciya pro parametri kameri fokusna vidstan ta principova tochka to z fundamentalnoyi matrici mozhna otrimati istotnu matricyu rozklad yakoyi dozvolyaye otrimati informaciyu pro vidnosni polozhennya ta oriyentaciyi kamer pislya chogo staye mozhlivim vikonati triangulyaciyu tochok ShyePisnya pro fundamentalnu matricyu na youtube angl Div takozhEpipolyarna geometriya Vosmitochkovij algoritm Istotna matricya Trifokalnij tenzorPrimitkiRichard Hartley and Andrew Zisserman Multiple View Geometry in Computer Vision 2003 pp 266 267 Jaehong Oh Novel Approach to Epipolar Resampling of HRSI and Satellite Stereo Imagery based Georeferencing of Aerial Images 2012 03 31 u Wayback Machine 2011 pp 22 29 accessed 2011 08 05 PosilannyaFaugeras Olivier D 1992 What can be seen in three dimensions with an uncalibrated stereo rig PDF Proceedings of European Conference on Computer Vision doi 10 1007 3 540 55426 2 61 Faugeras Olivier D Q T Luong Steven Maybank 1992 Camera self calibration Theory and experiments Proceedings of European Conference on Computer Vision doi 10 1007 3 540 55426 2 37 Q T Luong and Olivier D Faugeras 1996 The Fundamental Matrix Theory Algorithms and Stability Analysis International Journal of Computer Vision 17 1 43 75 doi 10 1007 BF00127818 Olivier Faugeras and Q T Luong 2001 The Geometry of Multiple Images MIT Press ISBN 978 0 262 06220 6 Richard I Hartley 1992 Estimation of relative camera positions for uncalibrated cameras PDF Proceedings of European Conference on Computer Vision Richard Hartley and Andrew Zisserman 2003 Multiple View Geometry in computer vision Cambridge University Press ISBN 978 0 521 54051 3 Richard I Hartley 1997 In Defense of the Eight Point Algorithm IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19 6 580 593 doi 10 1109 34 601246 Nurollah Tatar 2019 Stereo rectification of pushbroom satellite images by robustly estimating the fundamental matrix International Journal of Remote Sensing 40 20 1 19 doi 10 1080 01431161 2019 1624862 Q T Luong 1992 Matrice fondamentale et auto calibration en vision par ordinateur PhD Thesis University of Paris Orsay Yi Ma 2004 An Invitation to 3 D Vision Springer ISBN 978 0 387 00893 6 Reinhard Koch and Luc van Gool 1999 Self Calibration and Metric Reconstruction in spite of Varying and Unknown Intrinsic Camera Parameters International Journal of Computer Vision 32 1 7 25 doi 10 1023 A 1008109111715 Philip H S Torr 1997 The Development and Comparison of Robust Methods for Estimating the Fundamental Matrix International Journal of Computer Vision 24 3 271 300 doi 10 1023 A 1007927408552 Philip H S Torr and A Zisserman 2000 MLESAC A New Robust Estimator with Application to Estimating Image Geometry Computer Vision and Image Understanding 78 1 138 156 doi 10 1006 cviu 1999 0832 Gang Xu and Zhengyou Zhang 1996 Epipolar geometry in Stereo Motion and Object Recognition Kluwer Academic Publishers ISBN 978 0 7923 4199 4 Zhengyou Zhang 1998 Determining the epipolar geometry and its uncertainty A review International Journal of Computer Vision 27 2 161 195 doi 10 1023 A 1007941100561