В комплексному аналізі теорема Монтеля — важливе твердження про сім'ї голоморфних функцій. Названа на честь французького математика Поля Монтеля. Теорема має важливі застосування в комплекснму аналізі, зокрема при доведенні теорема Рімана про відображення.
Твердження теореми
Нехай — сім'я голоморфних функцій на відкритій підмножині . Якщо всі ці функції є обмежені на компактах, тобто для кожної компактної підмножини існує дійсне число , таке що для всіх і всіх справедливою є нерівність
Тоді сім'я функцій є нормальною тобто з кожної послідовності функцій модна вибрати підпослідовність рівномірно збіжну на всіх компактних підмножинах в
Справедливим також є багатовимірний аналог теореми, де .
Порівняння з випадком дійсних функцій
Твердження теореми є специфічним для випадку голоморфних функцій комплексної змінної. Їх аналоги для функцій дійсних змінних не є справедливими. Наприклад послідовність аналітичних функцій є обмеженою на проміжку проте для цієї послідовності немає навіть поточково збіжної підпослідовності.
Доведення
Зафіксуємо компактну множину . Тепер виберемо трохи більшу компактну підмножину таку, що внутрішність містить . Тоді для деякого , для всіх точок таких що відрізок, що їх сполучає, повністю належить .
Оскільки є компактною множиною, то існує таке число , що якщо то круг Тоді, для всіх з інтегральної теореми Коші випливає нерівність:
Ці нерівності виконуються для всіх і .
Нехай тепер і зафіксуємо . Припустимо, що і — параметризація відрізка, що сполучає точки
Тоді
Зокрема сім'я є ріностепенево неперервною. Тому з теореми Асколі — Арцели випливає, що з кожної послідовності функцій можна вибрати підпослідовність рівномірно збіжну на .
Тепер виберемо послідовність компактних підмножин таких, що кожна множина в цій послідовності міститься у внутрішності наступної множини і об'єднання всіх множин дорівнює З попереднього для будь-якої послідовності функцій можна вибрати підпослідовність , що рівномірно збігається на множині . Продовжуючи можна вибрати підпослідовність , що рівномірно збігається на . Подібним чином можна визначити , що рівномірно збігається на множині .
Тепер можна визначити послідовність . Вона є підпослідовністю і рівномірно збігається на всіх підмножинах , а тому і на всіх компактних підмножинах в Це й завершує доведення теореми.
Див. також
Література
- Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V kompleksnomu analizi teorema Montelya vazhlive tverdzhennya pro sim yi golomorfnih funkcij Nazvana na chest francuzkogo matematika Polya Montelya Teorema maye vazhlivi zastosuvannya v kompleksnmu analizi zokrema pri dovedenni teorema Rimana pro vidobrazhennya Tverdzhennya teoremiNehaj F displaystyle mathcal F sim ya golomorfnih funkcij na vidkritij pidmnozhini U C displaystyle U subseteq mathbb C Yaksho vsi ci funkciyi ye obmezheni na kompaktah tobto dlya kozhnoyi kompaktnoyi pidmnozhini K U displaystyle K subseteq U isnuye dijsne chislo M M K displaystyle M M K take sho dlya vsih z K displaystyle z in K i vsih f a F displaystyle f alpha in mathcal F spravedlivoyu ye nerivnist f a z M displaystyle f alpha z leqslant M Todi sim ya funkcij F displaystyle mathcal F ye normalnoyu tobto z kozhnoyi poslidovnosti funkcij f j F displaystyle f j in mathcal F modna vibrati pidposlidovnist rivnomirno zbizhnu na vsih kompaktnih pidmnozhinah v U displaystyle U Spravedlivim takozh ye bagatovimirnij analog teoremi de U C n displaystyle U subseteq mathbb C n Porivnyannya z vipadkom dijsnih funkcijTverdzhennya teoremi ye specifichnim dlya vipadku golomorfnih funkcij kompleksnoyi zminnoyi Yih analogi dlya funkcij dijsnih zminnih ne ye spravedlivimi Napriklad poslidovnist analitichnih funkcij sin k x k 1 displaystyle sin kx k 1 infty ye obmezhenoyu na promizhku 0 2 p displaystyle 0 2 pi prote dlya ciyeyi poslidovnosti nemaye navit potochkovo zbizhnoyi pidposlidovnosti DovedennyaZafiksuyemo kompaktnu mnozhinu K U displaystyle K subseteq U Teper viberemo trohi bilshu kompaktnu pidmnozhinu L U displaystyle L subseteq U taku sho vnutrishnist L displaystyle L mistit K displaystyle K Todi dlya deyakogo h gt 0 displaystyle eta gt 0 dlya vsih tochok z w K displaystyle z w in K takih sho z w lt h displaystyle z w lt eta vidrizok sho yih spoluchaye povnistyu nalezhit L displaystyle L Oskilki L displaystyle L ye kompaktnoyu mnozhinoyu to isnuye take chislo r gt 0 displaystyle r gt 0 sho yaksho z 0 L displaystyle z 0 in L to krug B z 0 r U displaystyle B z 0 r subset U Todi dlya vsih f F displaystyle f in mathcal F z integralnoyi teoremi Koshi viplivaye nerivnist f z 0 M r d e f C 1 displaystyle f z 0 leqslant frac M r overset underset mathrm def C 1 Ci nerivnosti vikonuyutsya dlya vsih f F displaystyle f in mathcal F i z 0 L displaystyle z 0 in L Nehaj teper z w K displaystyle z w in K i zafiksuyemo f F displaystyle f in mathcal F Pripustimo sho z w lt h displaystyle z w lt eta i g t a b R 2 displaystyle gamma t a b to mathbb R 2 parametrizaciya vidrizka sho spoluchaye tochki z w displaystyle z w Todi f z f w 0 1 f g t g t C 1 0 1 g t d t C 1 z w displaystyle f z f w left int 0 1 f gamma t gamma t right leqslant C 1 int 0 1 gamma t dt C 1 z w Zokrema sim ya F displaystyle mathcal F ye rinostepenevo neperervnoyu Tomu z teoremi Askoli Arceli viplivaye sho z kozhnoyi poslidovnosti funkcij f j F displaystyle f j in mathcal F mozhna vibrati pidposlidovnist rivnomirno zbizhnu na K displaystyle K Teper viberemo poslidovnist kompaktnih pidmnozhin K 1 K 2 displaystyle K 1 subset K 2 subset ldots takih sho kozhna mnozhina v cij poslidovnosti mistitsya u vnutrishnosti nastupnoyi mnozhini i ob yednannya vsih mnozhin dorivnyuye U displaystyle U Z poperednogo dlya bud yakoyi poslidovnosti funkcij f j F displaystyle f j in mathcal F mozhna vibrati pidposlidovnist f j 1 F displaystyle f j1 in mathcal F sho rivnomirno zbigayetsya na mnozhini K 1 displaystyle K 1 Prodovzhuyuchi mozhna vibrati pidposlidovnist f j 2 f j 1 displaystyle f j2 subset f j1 sho rivnomirno zbigayetsya na K 2 displaystyle K 2 Podibnim chinom mozhna viznachiti f j 2 f j 1 displaystyle f j2 subset f j1 sho rivnomirno zbigayetsya na mnozhini K i displaystyle K i Teper mozhna viznachiti poslidovnist g i f i i displaystyle g i f ii Vona ye pidposlidovnistyu f j displaystyle f j i rivnomirno zbigayetsya na vsih pidmnozhinah K i displaystyle K i a tomu i na vsih kompaktnih pidmnozhinah v U displaystyle U Ce j zavershuye dovedennya teoremi Div takozhIntegralna teorema Koshi Teorema Askoli Arcela Teorema Vitali kompleksnij analiz LiteraturaGreene Robert E Krantz Steven G 2002 Function Theory of One Complex Variable Providence R I American Mathematical Society ISBN 978 0 8218 2905 9