Теорема Віталі — твердження у комплексному аналізі про властивості рівномірно обмеженої послідовності голоморфних функцій. Теорема названа на честь італійського математика Джузеппе Віталі .
Твердження теореми
Якщо послідовність функцій голоморфних в області є рівномірно обмежена на компактних підмножинах і для всіх що належить підмножині що має граничну точку всередині існує границя то є рівномірно збіжною на компактних підмножинах до функції що є голоморфною на
- Зауваження. Аналог теореми для функцій багатьох змінних є невірним. Наприклад можна взяти за — бікруг із змінними і розглянути послідовність функцій
Доведення
Припустимо, що послідовність не є збіжною в деякій точці Тоді з послідовності чисел можна виділити дві підпослідовності, що збігаються до різних чисел і Нехай відповідні підпослідовності функцій будуть і
Послідовності і є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах і тому, згідно теореми Монтеля з них можна виділити нові підпослідовності і що рівномірно на компактних підмножинах збігаються до функцій і Згідно теореми Вейєрштраса ці функції є голоморфними на . Оскільки то також Але послідовності і як підпослідовності з збігаються на всіх точках до однакових границь, тож для всіх Але має граничну точку всередині і тому, згідно теореми про рівність Одержане протиріччя доводить, що послідовність є збіжною в усій області Рівномірна збіжність на компактних підмножинах випливає із теореми Монтеля.
Примітки
- Vitali, Giuseppe (1903), Sopra la serie di funzioni analitiche, Rend. Ist. Lombardo di Scie, et Lett. (Italian) , 36: 772—774
- Vitali, Giuseppe (1904), Sopra la serie di funzioni analitiche, Annali di Matematica Pura ed Applicata (Italian) , 10: 65—82
Посилання
- Vitali's Theorem on convergence of holomorphic functions на сайті MathOverflow
Див. також
Література
- Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд. — М., 1966. — С. 56 — 60.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Vitali tverdzhennya u kompleksnomu analizi pro vlastivosti rivnomirno obmezhenoyi poslidovnosti golomorfnih funkcij Teorema nazvana na chest italijskogo matematika Dzhuzeppe Vitali Tverdzhennya teoremiYaksho poslidovnist funkcij f n displaystyle f n golomorfnih v oblasti W displaystyle Omega ye rivnomirno obmezhena na kompaktnih pidmnozhinah W displaystyle Omega i dlya vsih z displaystyle z sho nalezhit pidmnozhini E W displaystyle E subset Omega sho maye granichnu tochku vseredini W displaystyle Omega isnuye granicya lim n f n z displaystyle lim n to infty f n z to f n displaystyle f n ye rivnomirno zbizhnoyu na kompaktnih pidmnozhinah W displaystyle Omega do funkciyi f displaystyle f sho ye golomorfnoyu na W displaystyle Omega Zauvazhennya Analog teoremi dlya funkcij bagatoh zminnih ye nevirnim Napriklad mozhna vzyati za W displaystyle Omega bikrug iz zminnimi z w displaystyle z w i rozglyanuti poslidovnist funkcij f n z w 1 n z n displaystyle f n z w 1 n z n DovedennyaPripustimo sho poslidovnist f n displaystyle f n ne ye zbizhnoyu v deyakij tochci z 0 W displaystyle z 0 in Omega Todi z poslidovnosti chisel f n z 0 displaystyle f n z 0 mozhna vidiliti dvi pidposlidovnosti sho zbigayutsya do riznih chisel w 1 displaystyle w 1 i w 2 displaystyle w 2 Nehaj vidpovidni pidposlidovnosti funkcij budut f n k displaystyle f n k i f n l displaystyle f n l Poslidovnosti f n k displaystyle f n k i f n l displaystyle f n l ye rivnomirno obmezhenimi na kompaktnih pidmnozhinah W displaystyle Omega i tomu zgidno teoremi Montelya z nih mozhna vidiliti novi pidposlidovnosti f n s displaystyle f n s i f n t displaystyle f n t sho rivnomirno na kompaktnih pidmnozhinah W displaystyle Omega zbigayutsya do funkcij f 1 z displaystyle f 1 z i f 2 z displaystyle f 2 z Zgidno teoremi Vejyershtrasa ci funkciyi ye golomorfnimi na W displaystyle Omega Oskilki lim s f n s z 0 w 1 w 2 lim t f n t z 0 displaystyle lim s to infty f n s z 0 w 1 neq w 2 lim t to infty f n t z 0 to takozh f 1 z f 2 z displaystyle f 1 z neq f 2 z Ale poslidovnosti f n s z displaystyle f n s z i f n t z displaystyle f n t z yak pidposlidovnosti z f n z displaystyle f n z zbigayutsya na vsih tochkah z E displaystyle z in E do odnakovih granic tozh f 1 z f 2 z displaystyle f 1 z f 2 z dlya vsih z E displaystyle z in E Ale E displaystyle E maye granichnu tochku vseredini W displaystyle Omega i tomu zgidno teoremi pro rivnist f 1 z f 2 z displaystyle f 1 z f 2 z Oderzhane protirichchya dovodit sho poslidovnist f n z displaystyle f n z ye zbizhnoyu v usij oblasti W displaystyle Omega Rivnomirna zbizhnist f n displaystyle f n na kompaktnih pidmnozhinah W displaystyle Omega viplivaye iz teoremi Montelya PrimitkiVitali Giuseppe 1903 Sopra la serie di funzioni analitiche Rend Ist Lombardo di Scie et Lett Italian 36 772 774 Vitali Giuseppe 1904 Sopra la serie di funzioni analitiche Annali di Matematica Pura ed Applicata Italian 10 65 82PosilannyaVitali s Theorem on convergence of holomorphic functions na sajti MathOverflowDiv takozhTeorema MontelyaLiteraturaGoluzin G M Geometricheskaya teoriya funkcij kompleksnogo peremennogo 2 izd M 1966 S 56 60