Теорема Зейферта — Ван Кампена

Теорема Зейферта — ван Кампена виражає фундаментальну групу топологічного простору через фундаментальні групи двох відкритих підмножин, що покривають простір.

Названа на честь Герберта Зейферта і Егберта ван Кампена.

Формулювання

Для двох підмножин

Найчастіше формулювання теореми дається для покриття простору двома відкритими множинами. Нехай ${\displaystyle X}$ — топологічний простір, і ${\displaystyle V,U\subset X}$ — дві лінійно зв'язні відкриті множини для яких перетин ${\displaystyle W=V\cap U}$ також є лінійно зв'язною множиною і ${\displaystyle X=V\cup U}$. Зафіксуємо точку ${\displaystyle p\in W}$. Включення

${\displaystyle W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X}$

породжують гомоморфізми відповідних фундаментальних груп

${\displaystyle I\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(U,p)}$, ${\displaystyle J\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(V,p)}$, ${\displaystyle \pi _{1}(U,p)\to \pi _{1}(X,p)}$ і ${\displaystyle \pi _{1}(V,p)\to \pi _{1}(X,p)}$.

Згідно теореми Зейферта — ван Кампена, ці чотири гомоморфізми задають розшарований кодобуток у категорії груп, тобто

${\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*_{\pi _{1}(W,p)}\pi _{1}(V,p).}$

Іншими словами фундаментальна група ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$ є (вільним добутком з амальгамацією) фундаментальних груп ${\displaystyle \pi _{1}(U,p),\ \pi _{1}(V,p)}$ щодо відображень ${\displaystyle I,\ J.}$

Зауваження

• Якщо дані задання груп ${\displaystyle \pi _{1}(U,p)}$ і ${\displaystyle \pi _{1}(V,p)}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(U,p)&=\langle u_{1},\cdots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,p)&=\langle v_{1},\cdots ,v_{m}\mid \beta _{1},\cdots ,\beta _{n}\rangle \\\end{aligned}}}$

і ${\displaystyle w_{1},\cdots ,w_{s}}$ — твірні групи ${\displaystyle \pi _{1}(W,p)}$, то

${\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\left\langle u_{1},\cdots ,u_{k},v_{1},\cdots ,v_{m}\left|\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l},\beta _{1},\cdots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\cdots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .}$

Для довільної кількості підмножин

Більш загально нехай ${\displaystyle (U_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ є відкритим покриттям простору ${\displaystyle X}$ і всі ${\displaystyle U_{\alpha }}$ є лінійно зв'язними як і всі можливі їх попарні перетини ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$; нехай також існує точка ${\displaystyle p,}$ що належить усім множинам ${\displaystyle U_{\alpha }.}$

Кожне включення ${\displaystyle U_{\alpha }\hookrightarrow X}$ породжує гомоморфізм фундаментальних груп ${\displaystyle H_{\alpha }\ :\pi _{1}(U_{\alpha },p)\to \pi _{1}(X,p)}$. Ці гомоморфізми можна продовжити на вільний добуток ${\displaystyle *_{\alpha }\pi _{1}(U_{\alpha },p)}$ фундаментальних груп одержавши таким чином гомоморфізм ${\displaystyle H\ :*_{\alpha }\pi _{1}(U_{\alpha },p)\to \pi _{1}(X,p).}$ Для цього достатньо задати значення гомоморфізму для всіх генераторів вільного добутку. Але кожен такий генератор є елементом деякої групи ${\displaystyle \pi _{1}(U_{\alpha },p)}$ і його образ при гомоморфізмі ${\displaystyle H}$ за означенням є рівним його образу для відповідного гомоморфізму ${\displaystyle H_{\alpha }.}$

Згідно теореми Зейферта — ван Кампена гомоморфізм ${\displaystyle H}$ із вільного добутку ${\displaystyle *_{\alpha }\pi _{1}(U_{\alpha },p)}$ фундаментальних груп просторів ${\displaystyle U_{\alpha }}$ у фундаментальну групу ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$ є сюр'єктивним.

Також кожне включення ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\hookrightarrow U_{\alpha }}$ породжують гомоморфізми фундаментальних груп ${\displaystyle H_{\alpha \beta }\ :\ \pi _{1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta },p)\to \pi _{1}(U_{\alpha },p)}$. Оскільки для гомоморфізмів фундаментальних груп ${\displaystyle H_{\alpha }\circ H_{\alpha \beta }=H_{\beta }\circ H_{\beta \alpha }}$ то для будь-якого ${\displaystyle g\in \pi _{1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta },p)}$ також ${\displaystyle H_{\alpha }\circ H_{\alpha \beta }(g)=H_{\beta }\circ H_{\beta \alpha }(g)}$ і за означеннями ${\displaystyle H\circ H_{\alpha \beta }(g)=H\circ H_{\beta \alpha }(g).}$ Якщо розглядати ${\displaystyle H_{\alpha \beta }(g),\ H_{\beta \alpha }(g)}$ як елементи вільного добутку ${\displaystyle *_{\alpha }\pi _{1}(U_{\alpha },p)}$ то звідси також випливає, що елементи ${\displaystyle H_{\alpha \beta }(g)\cdot (H_{\beta \alpha })^{-1}(g)}$ для всіх можливих значень індексів ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ і елементів ${\displaystyle g\in \pi _{1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta },p)}$ належать ядру гомоморфізму ${\displaystyle H}$.

У багатьох важливих випадках ядро гомоморфізму ${\displaystyle H}$ породжується елементами виду ${\displaystyle H_{\alpha \beta }(g)\cdot (H_{\beta \alpha })^{-1}(g)}$. Однією з найпростіших і найпоширеніших умов для цього є якщо не лише попарні перетини але і перетини довільних трьох множин ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }}$ є лінійно зв'язними.

Друга частина теореми Зейферта — ван Кампена стверджує, що у цьому випадку ядро гомоморфізму ${\displaystyle H}$ породжується елементами виду ${\displaystyle H_{\alpha \beta }(g)\cdot (H_{\beta \alpha })^{-1}(g)}$. Іншими словами фундаментальна група ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$ тоді є рівною (вільному добутку з амальгамацією) фундаментальних груп ${\displaystyle \pi _{1}(U_{\alpha },p)}$ щодо гомоморфізмів ${\displaystyle H_{\alpha \beta }.}$

Доведення

Сюр'єктивність

Нехай для двох кривих ${\displaystyle f_{1}}$ і ${\displaystyle f_{2}}$ для яких кінцева точка першої є рівною початковій точці другої (зокрема якщо обидві криві є петлями із початком у одній точці) ${\displaystyle f_{1}\cdot f_{2}}$ позначає добуток (послідовний обхід кривих), ${\displaystyle [f_{1}]}$ — клас гомотопій кривої із фіксованими кінцевими точками, а ${\displaystyle {\bar {f}}_{1}}$ — обернену криву.

Нехай ${\displaystyle g\ :[0,1]\to X,\ g(0)=g(1)=p}$ — петля у просторі ${\displaystyle X}$ із початком у точці ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle [g]\in \pi _{1}(X,p)}$ — її клас гомотопій який є елементом фундаментальної групи. Сюр'єктивність у твердженні теореми є еквівалентною існуванню таких петель ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n},}$ що образ кожної ${\displaystyle g_{i}}$ повністю належить якійсь із відкритих множин ${\displaystyle U_{\alpha }}$ і ${\displaystyle [g]=[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}].}$

Прообрази ${\displaystyle g^{-1}(U_{\alpha })}$ відкритих множин ${\displaystyle U_{\alpha }}$ при відображенні ${\displaystyle g}$ утворюють відкрите покриття одиничного відрізка. Кожна точка ${\displaystyle x\in [0,1]}$ належить деякій із цих відкритих множин разом із деяким своїм замкнутим околом ${\displaystyle [x-\varepsilon _{x},x+\varepsilon _{x}]}$ (тобто ${\displaystyle g([x-\varepsilon _{x},x+\varepsilon _{x}])\subset U_{\alpha }}$ для деякої множини ${\displaystyle U_{\alpha }}$). Відкриті відрізки ${\displaystyle (x-\varepsilon _{x},x+\varepsilon _{x})}$ утворюють відкрите покриття одиничного відрізка і з компактності випливає існування скінченної кількості таких відрізків, що утворюють відкрите покриття. Тоді скінченна кількість кінцевих точок цих відрізків розбиває ${\displaystyle [0,1]}$ на скінченну кількість замкнутих інтервалів образ кожного з яких при відображенні ${\displaystyle g}$ належить якійсь із множин ${\displaystyle U_{\alpha }}$. Два сусідні інтервали можуть при цьому відображатись у одну множину і їх можна об'єднати хоч це і не має значення для цього доведення. Важливим є саме існування точок ${\displaystyle 0=s_{0}<s_{1}<s_{2}<\ldots <s_{n}=1}$ для яких ${\displaystyle g([s_{i},s_{i+1}])\subset U_{i}}$ для деяких множин ${\displaystyle U_{i}}$ (загалом різних для різних інтервалів).

Позначимо тепер ${\displaystyle f_{i}}$ криву яка є рівною репараметризації кривої ${\displaystyle g([s_{i-1},s_{i}])}$ на одиничний відрізок. Тоді ${\displaystyle g}$ є гомотопною добутку ${\displaystyle f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{n}}$ і образ кожної ${\displaystyle f_{i}}$ належить деякій ${\displaystyle U_{i}}$. Згідно із властивостями гомотопії кожна крива ${\displaystyle f_{i}}$ є гомотопною добутку ${\displaystyle f_{i}\cdot e_{i}}$ де ${\displaystyle e_{i}}$ позначає сталу криву із єдиним значенням ${\displaystyle x_{i}=f_{i}(1)=g(s_{i})}$. За побудовою ${\displaystyle x_{i}}$ належить двом множинам ${\displaystyle U_{i}}$ і ${\displaystyle U_{i+1}}$. Згідно умови множина ${\displaystyle U_{i}\cap U_{i+1}}$ є лінійно зв'язною і містить точку ${\displaystyle p}$ тому у ${\displaystyle U_{i}\cap U_{i+1}}$ існує крива ${\displaystyle \gamma _{i}}$, що з'єднує ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle x_{i}}$ . Згідно властивостей гомотопій кривих тоді стала крива ${\displaystyle e_{i}}$ є гомотопною добутку ${\displaystyle {\bar {\gamma }}_{i}\cdot \gamma _{i}}$ і з транзитивності гомотопії ${\displaystyle f_{i}}$ є гомотопною ${\displaystyle f_{i}\cdot {\bar {\gamma }}_{i}\cdot \gamma _{i}.}$ Оскільки добутки гомотопних кривих є гомотопними то ${\displaystyle f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{n}}$ і відповідно ${\displaystyle g}$ є гомотопним добутку ${\displaystyle f_{1}\cdot {\bar {\gamma }}_{1}\cdot \gamma _{1}\cdot f_{2}\cdot {\bar {\gamma }}_{2}\cdot \gamma _{2}\cdot \ldots \cdot {\bar {\gamma }}_{n-1}\cdot \gamma _{n-1}\cdot f_{n}.}$Нехай тепер ${\displaystyle g_{1}=f_{1}\cdot {\bar {\gamma }}_{1},\ g_{n}=\gamma _{n-1}\cdot f_{n}}$ і ${\displaystyle g_{i}=\gamma _{i-1}\cdot f_{i}\cdot {\bar {\gamma }}_{i}}$ для ${\displaystyle 1<i<n}$. Тоді із асоціативності добутків кривих щодо гомотопічної еквівалентності ${\displaystyle g}$ є гомотопною ${\displaystyle g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}.}$ Оскільки всі ${\displaystyle g_{i}}$ є петлями із початком у точці ${\displaystyle p}$ то кожен клас гомотопії ${\displaystyle [g_{i}]}$ є елементом фундаментальної групи ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$ і також ${\displaystyle [g]=[g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}]=[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}].}$ Оскільки образ кожної петлі ${\displaystyle g_{i}}$ міститься у множині ${\displaystyle U_{i}}$ (адже за побудовою ${\displaystyle f_{i}}$ і ${\displaystyle \gamma _{i}}$ з ${\displaystyle {\bar {\gamma }}_{i-1}}$ належать ${\displaystyle U_{i}}$) це завершує доведення сюр'єктивності.

Твердження про вільний добуток із амальгамаціями

Нехай тепер додатково виконується умова лінійної зв'язності усіх перетинів трьох множин ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }}$, ${\displaystyle [g]\in \pi _{1}(X,p)}$ є елементом фундаментальної групи і ${\displaystyle [g]=[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]}$ де образ кожної ${\displaystyle g_{i}}$ повністю належить якійсь із відкритих множин ${\displaystyle U_{i}}$. Відповідно у цьому випадку ${\displaystyle [g_{i}]}$ можна розглядати як образ елемента відповідної ${\displaystyle \pi _{1}(U_{i},p)}$ при гомоморфізмі ${\displaystyle H}$, а сам добуток як запис (можливо незведений) елемента вільного добутку груп ${\displaystyle \pi _{1}(U_{\alpha },p)}$.

Розглянемо тепер загальну множину формальних добутків виду ${\displaystyle [g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]}$ де кожен ${\displaystyle [g_{i}]}$ є елементом деякої множини ${\displaystyle \pi _{1}(U_{i},p)}$.

• Якщо для двох сусідніх елементів ${\displaystyle g_{i},\ g_{i+1}}$ їх образи належать одній множині (тобто ${\displaystyle U_{i}=U_{i+1}}$ ) то очевидно ${\displaystyle [g_{i}\cdot g_{i+1}]=[g_{i}]\cdot [g_{i+1}]}$ як елементи ${\displaystyle \pi _{1}(U_{i},p)}$ і якщо замінити ${\displaystyle [g_{1}]\cdot \ldots \cdot [g_{i-1}]\cdot [g_{i}]\cdot [g_{i+1}]\cdot [g_{i+2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]}$ на ${\displaystyle [g_{1}]\cdot \ldots \cdot [g_{i-1}]\cdot [g_{i}\cdot g_{i+1}]\cdot [g_{i+2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]}$ то одержиться лише інший запис елемента вільного добутку груп ${\displaystyle \pi _{1}(U_{\alpha },p)}$.

• Також якщо образ ${\displaystyle g_{i}}$ належить перетину ${\displaystyle U_{i}\cap U_{\alpha }}$ деяких двох множин із умови теореми то можна розглядати ${\displaystyle [g_{i}]}$ як елемент ${\displaystyle \pi _{1}(U_{i},p)}$ і ${\displaystyle \pi _{1}(U_{\alpha },p)}$. При такій заміні одержується інший елемент вільного добутку груп (адже ${\displaystyle [g_{i}]}$ як елемент ${\displaystyle \pi _{1}(U_{i},p)}$ і елемент ${\displaystyle \pi _{1}(U_{\alpha },p)}$ є елементами різних груп і відповідно різними елементами вільного добутку) але один елемент вільного добутку із амальгамаціями адже якщо розглядати ${\displaystyle [g_{i}]}$ у групі ${\displaystyle \pi _{1}(U_{i}\cap U_{\alpha },p)}$ то його образи при гомоморфізмах ${\displaystyle H_{i\alpha }}$ і ${\displaystyle H_{\alpha i}}$ будуть елементами ${\displaystyle [g_{i}]}$ у групах ${\displaystyle \pi _{1}(U_{i},p)}$ і ${\displaystyle \pi _{1}(U_{\alpha },p)}$ відповідно. Оскільки згідно з означенням вільного добутку із амальгамаціями елемент ${\displaystyle H_{i\alpha }([g_{i}])\cdot (H_{\alpha i})^{-1}([g_{i}])}$ у такому добутку є рівний одиничному елементу, то заміна у ${\displaystyle [g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]}$ елемента ${\displaystyle [g_{i}]}$ з групи ${\displaystyle \pi _{1}(U_{i},p)}$ на ${\displaystyle [g_{i}]}$ у ${\displaystyle \pi _{1}(U_{\alpha },p)}$ не змінює елемент у вільному добутку із амальгамаціями.

Нехай тепер вираз виду ${\displaystyle [g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]}$ де кожен ${\displaystyle [g_{i}]}$ є елементом деякої групи ${\displaystyle \pi _{1}(U_{i},p)}$ одержується із виразу ${\displaystyle [h_{1}]\cdot [h_{2}]\cdot \ldots \cdot [h_{m}]}$ де кожен ${\displaystyle [h_{j}]}$ є елементом деякої групи ${\displaystyle \pi _{1}(U_{j}',p)}$ за допомогою скінченної послідовності замін із двох попередніх параграфів або їх обернених. Тоді ${\displaystyle [g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]}$ і ${\displaystyle [h_{1}]\cdot [h_{2}]\cdot \ldots \cdot [h_{m}]}$ називаються еквівалентними. Із попереднього еквівалентні послідовності визначають єдиний елемент у вільному добутку із амальгамаціями. Також якщо ${\displaystyle [g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]}$ і ${\displaystyle [h_{1}]\cdot [h_{2}]\cdot \ldots \cdot [h_{m}]}$ є еквівалентними і всі класи гомотопії розглядати у ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$ (за допомогою гомоморфізму ${\displaystyle H}$) то дві послідовності задають один елемент у ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$ адже перший тип заміни не змінює елемента у ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$ оскільки ${\displaystyle [g_{i}\cdot g_{i+1}]=[g_{i}]\cdot [g_{i+1}]}$ також і якщо всі криві розглядати у ${\displaystyle X}$, а друга заміна не змінює елемента у ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$ оскільки ${\displaystyle H_{i}\circ H_{i\alpha }([g_{i}])=H_{\alpha }\circ H_{\alpha i}([g_{i}]).}$

Оскільки дві еквівалентні послідовності визначають один елемент вільного добутку із амальгамаціями і один елемент групи ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$ то залишається довести, що якщо ${\displaystyle [g]=[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]=[h_{1}]\cdot [h_{2}]\cdot \ldots \cdot [h_{m}]}$, де добутки задовольняють вказані вище умови, то відповідні послідовності є еквівалентними.

Згідно умови у цьому випадку добутки петель ${\displaystyle g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}}$ і ${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}\cdot \ldots \cdot h_{m}}$ (для якихось репараметризацій) є гомотопними у ${\displaystyle X}$ за допомогою деякої гомотопії ${\displaystyle F\ :\ [0,1]\times [0,1]\to X}$.

Із компактності ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$ подібно як у доведенні сюр'єктивності можна знайти послідовності ${\displaystyle 0=s_{0}<s_{1}<s_{2}<\ldots <s_{k}=1}$і ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{l}=1}$, такі, що образи усіх прямокутників ${\displaystyle [s_{i},s_{i+1}]\times [t_{j},t_{j+1}]}$ (і навіть трішки більших прямокутників, що містять вказані у середині) при відображенні належать кожен якійсь відкритій множині з умови. Нехай ${\displaystyle F([s_{i},s_{i+1}]\times [t_{j},t_{j+1}])\to U_{ij}.}$ Додатково у ${\displaystyle s}$-послідовність можна ввести всі точки, що розбивають криві у параметризаціях обох добутків кривих, що розглядаються.

Дані послідовності розбивають квадрат ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$ на kl прямокутників виду ${\displaystyle R_{ij}=[s_{i},s_{i+1}]\times [t_{j},t_{j+1}]}$. Посунемо тепер вертикальні лінії у рядках крім першого і останнього так, щоб кожна вершина прямокутника ${\displaystyle R_{ij}}$ належала не більше, ніж трьом прямокутникам, як на малюнку і пронумеруємо їх у такий же спосіб. Для кожної кривої ${\displaystyle \gamma }$ у квадраті ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$ із лівої сторону до правої образ ${\displaystyle F(\gamma )}$ є петлею у ${\displaystyle X}$ із початком у точці ${\displaystyle p.}$ Нехай ${\displaystyle \gamma _{r}}$ позначає ламану лінію, що відділяє перші r від інших. На малюнку виділено лінію ${\displaystyle \gamma _{6}}$, нижня сторона квадрата є ${\displaystyle \gamma _{0}}$, а верхня — ${\displaystyle \gamma _{kl}.}$

Із побудови кожна вершина ${\displaystyle x}$ прямокутників належить щонайбільше трьом прямокутникам. При відображенні ${\displaystyle F}$ образи цих прямокутників належать щонайбільше трьом відкритим множинам ${\displaystyle U_{ij}.}$ Згідно умови перетин цих множин є лінійно зв'язним, тому існує крива ${\displaystyle g_{x}}$, що з'єднує точку ${\displaystyle p}$ із ${\displaystyle F(x)}$ і належить цьому перетину. Долучивши до кожної такої вершини ${\displaystyle F(x)\neq p}$ петлю ${\displaystyle g_{x}\circ {\bar {g}}_{x}}$ як у доведенні сюр'єктивності можна одержати петлю гомотопну ${\displaystyle F(\gamma _{r})}$, що є добутком петель із образами у ${\displaystyle U_{\alpha }}$. А саме, ${\displaystyle \gamma _{r}}$ є набором вершин та відрізків, що їх сполучають. Кожному відрізку ${\displaystyle d}$, що сполучає вершини ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ відповідає петля ${\displaystyle {\bar {g}}_{x}\cdot F(d)\cdot g_{y}}$ у ${\displaystyle X}$.

Образ цієї петлі може належати двом різним відкритим підмножинам ${\displaystyle U_{\alpha }}$ і ${\displaystyle U_{\beta }}$ і можна розглядати клас гомотопії ${\displaystyle {\bar {g}}_{x}\cdot F(d)\cdot g_{y}}$ у ${\displaystyle U_{\alpha }}$ і ${\displaystyle U_{\beta }}$. Вибравши один із цих варіантів для кожної петлі одержується добуток ${\displaystyle F(\gamma _{r})=[f_{1}]\cdot [f_{2}]\cdot \ldots \cdot [f_{N}]}$. Різним виборам множин для кожної петлі відповідають еквівалентні добутки. Таким чином для кожної ламаної ${\displaystyle \gamma _{r}}$ одержуються набори еквівалентних добутків у вільному добутку груп.

Далі можна перейти від деякого із еквівалентних добутків для ламаної ${\displaystyle \gamma _{r}}$ до еквівалентного добутку для ${\displaystyle \gamma _{r+1}.}$ Образи всіх сторін прямокутника ${\displaystyle R_{r+1}}$ при відображенні ${\displaystyle F}$ належать деякій одній множині ${\displaystyle U_{\alpha }}$. Цій множині також належать всі криві ${\displaystyle g_{x}}$ і ${\displaystyle {\bar {g}}_{x}}$ для усіх вершин прямокутників на границі ${\displaystyle R_{r+1}}$. Ламані ${\displaystyle \gamma _{r}}$ і ${\displaystyle \gamma _{r+1}}$ відрізняються лише частинами на границі ${\displaystyle R_{r+1}}$. Перша ламана включає ліву і нижню сторони (лише нижню якщо ${\displaystyle R_{r+1}}$ є першим прямокутником у рядку), а друга верхню і праву (лише верхню, якщо ${\displaystyle R_{r+1}}$ є останнім прямокутником у рядку). Позначимо ${\displaystyle x}$ — ліву верхню вершину прямокутника ${\displaystyle R_{r+1}}$, ${\displaystyle y}$ — праву нижню, а ${\displaystyle z_{1},\ z_{2}}$ — відповідно ліву нижню і праву верхню. Також за побудовою на верхній і нижній сторонах прямокутника можуть бути додатково ще одна чи дві вершини інших прямокутників.

Частина у добутку для ${\displaystyle \gamma _{r}}$, що відповідає відрізкам, які сполучають вершини на лівій і нижній сторонах ${\displaystyle R_{r+1}}$ має вид ${\displaystyle [g_{x}\cdot F(d_{xz_{1}})\cdot {\bar {g}}_{z_{1}}]\cdot [g_{z_{1}}\cdot F(d_{z_{1}\cdot })\cdot {\bar {g}}_{\cdot }]\cdot \ldots \cdot [g_{\cdot }\cdot F(d_{\cdot y})\cdot {\bar {g}}_{y}]}$, де ${\displaystyle d_{xz_{1}}}$ позначає відрізки, що з'єднують відповідні вершини, трикрапка позначає можливі одну чи дві петлі для вершин на нижній стороні прямокутника і їх класи гомотопій, а крапки у нижніх індексах — загальні позначення точок для можливих різних варіантів вершин на нижній стороні прямокутника. Виберемо той добуток із класу еквівалентності де кожна із цих петель належить ${\displaystyle \pi _{1}(U_{\alpha },p)}$. Далі за означеннями цей добуток є еквівалентним ${\displaystyle [g_{x}\cdot F(d_{xz_{1}})\cdot {\bar {g}}_{z_{1}}\cdot g_{z_{1}}\cdot F(d_{z_{1}\cdot })\cdot {\bar {g}}_{\cdot }\cdot \ldots \cdot g_{\cdot }\cdot F(d_{\cdot y})\cdot {\bar {g}}_{y}]}$ у ${\displaystyle \pi _{1}(U_{\alpha },p)}$. Цей останній елемент є еквівалентним ${\displaystyle [g_{x}\cdot F(d_{xz_{1}y})\cdot {\bar {g}}_{y}]}$, де ${\displaystyle d_{xz_{1}y}}$ позначає ламану із лівої сторони ${\displaystyle R_{r+1}}$, а потім його нижньої сторони. Оскільки ${\displaystyle d_{xz_{1}y}}$ є очевидно гомотопною ${\displaystyle d_{xz_{2}y}}$ у ${\displaystyle R_{r+1}}$, то ${\displaystyle g_{x}\cdot F(d_{xz_{1}y})\cdot {\bar {g}}_{y}}$ є гомотопною ${\displaystyle g_{x}\cdot F(d_{xz_{2}y})\cdot {\bar {g}}_{y}}$ у ${\displaystyle U_{\alpha }}$. Знову ж розглядаючи вершини на верхній і правій сторонах і діючи обернено до попереднього отримуємо, що ${\displaystyle g_{x}\cdot F(d_{xz_{2}y})\cdot {\bar {g}}_{y}}$ є гомотопною до замкнутої кривої із приєднаними петлями ${\displaystyle g_{z}\circ {\bar {g}}_{z}}$ для всіх проміжних вершин на верхній і правій сторонах. Далі цю петлю можна записати як добуток петель і таким чином одержати добуток елементів, що відповідає одному із еквівалентних типових добутків у ${\displaystyle \gamma _{r+1}}$ для верхньої і правої сторони ${\displaystyle R_{r+1}}$. Якщо ${\displaystyle R_{r+1}}$ є першим або останнім прямокутником у рядку, то цей процес треба трохи видозмінити, зокрема замість гомотопії між лівими і нижніми сторонами прямокутника і верхніми і правими із збереженнями початкових і кінцевих вершин потрібні неперервні деформації в одномі випадку нижньої сторони на верхню і праву сторони із рухом лівої вершини вздовж лівої сторони прямокутника, а в іншому випадку лівої і нижньої сторін на верхню із рухом нижньої правої вершини вздовж правої сторони прямокутника.

Таким чином всі добутки, що відповідають ${\displaystyle \gamma _{r}}$ є еквівалентними добуткам для ${\displaystyle \gamma _{r+1}}$. Звідси всі добутки для ${\displaystyle \gamma _{0}}$ є еквівалентними добуткам із ${\displaystyle \gamma _{kl}.}$

За означенням образ нижньої сторони квадрата ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$ при відображенні ${\displaystyle F}$ є ${\displaystyle g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}}$ із відповідною параметризацією. Окрім того точки, що відділяють різні ${\displaystyle g_{i}}$ є серед вершин на нижній стороні. Образ кожної ${\displaystyle g_{i}}$ належить деякій множині ${\displaystyle U_{\alpha }}$ і можна додатково вимагати щоб якщо вершина ${\displaystyle x}$ на нижній стороні належить області визначення ${\displaystyle g_{i}}$ у параметризації, то відповідна крива ${\displaystyle g_{x}}$, що з'єднує точку ${\displaystyle p}$ із ${\displaystyle F(x)}$ належала не лише відкритим множинам, що відповідають прямокутникам вершинами яких є ${\displaystyle x}$ але і множині ${\displaystyle U_{\alpha }}$. Тоді ${\displaystyle [g_{i}]}$ буде еквівалентним добутку елементів виду ${\displaystyle [g_{x}\cdot F(d)\cdot {\bar {g}}_{y}]}$ у ${\displaystyle \pi _{1}(U_{\alpha },p)}$, що відповідають послідовним вершинам у області значень для ${\displaystyle g_{i}}$ і відрізкам, що їх сполучають. А загалом ${\displaystyle [g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]}$ є еквівалентним побудованим вище еквівалентним добуткам для ${\displaystyle \gamma _{0}}$. Також точки, що відділяють різні ${\displaystyle h_{i}}$ є серед вершин на верхній стороні. Тому аналогічними аргументами із вибором кривих ${\displaystyle g_{x}}$ для вершин верхньої сторони одержується еквівалентність добутку ${\displaystyle [h_{1}]\cdot [h_{2}]\cdot \ldots \cdot [h_{m}]}$ із типовим добутком для ${\displaystyle \gamma _{kl}.}$ Оскільки добутки для ${\displaystyle \gamma _{0}}$ є еквівалентними добуткам із ${\displaystyle \gamma _{kl}}$ то і добутки ${\displaystyle [g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]}$ і ${\displaystyle [h_{1}]\cdot [h_{2}]\cdot \ldots \cdot [h_{m}]}$ є еквівалентними.

Наслідки

• Якщо перетин ${\displaystyle W}$ є однозв'язним, то

  ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*\pi _{1}(V,p),}$

тобто фундаментальна група ${\displaystyle X}$ є ізоморфною вільному добутку фундаментальних груп ${\displaystyle U}$ і ${\displaystyle V}$.

• Зокрема,

${\displaystyle \pi _{1}(X_{1}\vee X_{2})=\pi _{1}(X_{1})*\pi _{1}(X_{2}),}$ для букета ${\displaystyle X_{1}\vee X_{2}}$ зв'язних і локально однозв'язних просторів ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X_{2}}$.

• Простір є однозв'язним якщо для нього існує покриття двома однозв'язними відкритими множинами із зв'язним перетином.
  • Наприклад сферу ${\displaystyle X=S^{2}}$ можна покрити двома дисками ${\displaystyle U=S^{2}\backslash \{n\}}$ і ${\displaystyle V=S^{2}\backslash \{s\}}$, де ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle s}$ позначають відповідно північний і південний полюси. Перетин ${\displaystyle W=V\cap U=S^{2}\backslash \{n,s\}}$ є зв'язною множиною і по теоремі Зейферта — ван Кампена фундаментальна група ${\displaystyle W}$ також є тривіальною.

Варіації і узагальнення

• Існує узагальнення теореми для фундаментальних групоїдів. Воно дозволяє розглядати випадок коли ${\displaystyle W}$ не є зв'язаною множиною.
• Послідовність Маєра — Вієторіса — аналогічна теорема для груп гомологій.

Див. також

• Вільний добуток
• Послідовність Маєра — Вієторіса
• Фундаментальна група
• Псевдоколо

Джерела

• В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. — Москва : МЦНМО, 2004. — 352 с.
• Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
• E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.
• ^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)