Псевдоколо

Псевдоко́ло — скінченний топологічний простір, невідмінний від кола з погляду алгебричної топології.

Побудова

Псевдоколо складається з чотирьох точок ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$ і наділене топологією з такими відкритими множинами:

${\displaystyle \left\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b\},\{a\},\{b\},\varnothing \right\}}$ .

Зауваження

• Цю топологію можна визначити через частковий порядок ${\displaystyle a<c,\ b<c,\ a<d,\ b<d}$, де відкрити набори замкнутих множин.

Властивості

• З точки зору загальної топології, псевдоколо — патологічний простір, оскільки він не задовольняє жодній з аксіом відокремлюваності, крім ${\displaystyle T_{0}}$.
• Неперервне відображення ${\displaystyle f}$ із кола ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\{\,(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\,\}}$ у псевдоколо, що визначається як

  ${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}a\quad x<0\\b\quad x>0\\c\quad (x,y)=(0,1)\\d\quad (x,y)=(0,-1)\end{cases}}}$,

є слабкою гомотопічною еквівалентністю. Зокрема, ${\displaystyle f}$ індукує ізоморфізми всіх гомотопічних груп, а також ізоморфізм на сингулярних гомологіях і когомологіях і взагалі ізоморфізм для всіх теорій гомологій та когомологій.

Варіації та узагальнення

• Павло Сергійович Александров показав, що з будь-якого скінченного симпліційного комплексу ${\displaystyle K}$ існує скінченний топологічний простір ${\displaystyle X_{K}}$, який має той самий слабкий гомотопічний тип, що й геометрична реалізація ${\displaystyle |K|}$.

Посилання

1. P. Alexandroff. Diskrete Räume // Матем. сб.. — 1937. — Bd. 2 (1 Juli). — S. 501–519.