Стала Глейшера — Кінкеліна

У математиці стала Глейшера–Кінкеліна (або стала Глейшера), зазвичай позначається як ${\displaystyle A}$, — математична стала, що пов'язана з K-функцією та ^[en]. Стала виникає у багатьох сумах та інтегралах, особливо у тих, де присутні гамма-функції та дзета-функції. Названа на честь математиків ^[en] та ^[en].

Її наближене значення дорівнює

${\displaystyle A=1{,}28242712910062263687\dots \quad }$ ( послідовність A074962 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Стала Глейшера–Кінкеліна може бути визначена як границя

${\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{\frac {H(n)}{n^{{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{12}}}{\rm {e}}^{-{\frac {n^{2}}{4}}}}},}$

де ${\displaystyle H(n)=\prod \limits _{k=1}^{n}k^{k}}$ — гіперфакторіал. Ця формула показує зв'язок між ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle \pi }$, який, можливо, найкраще ілюструє формула Стірлінга

${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n^{n+{\frac {1}{2}}}{\rm {e}}^{-n}}},}$

яка показує, що ${\displaystyle \pi }$ — границя відповідної послідовності факторіалів, а ${\displaystyle A}$ у свою чергу — границя відповідної послідовності гіперфакторіалів.

Еквівалентним є означення сталої ${\displaystyle A}$ через ^[en] (${\displaystyle G(n)=\prod \limits _{k=1}^{n-2}k!={\dfrac {[\Gamma (n)]^{n-1}}{K(n)}}}$, де ${\displaystyle \Gamma (n)}$ — гамма-функція, ${\displaystyle K(n)}$ — K-функція)

${\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{\frac {(2\pi )^{\frac {n}{2}}n^{{\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}}{\rm {e}}^{-{\frac {3n^{2}}{4}}+{\frac {1}{12}}}}{G(n+1)}}.}$

Стала Глейшера–Кінкеліна також з'являється при обчисленні похідних дзета-функції Рімана, наприклад,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\zeta '(-1)={\frac {1}{12}}-\ln A,\\&\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-\zeta '(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}(12\ln A-\gamma -\ln 2\pi ),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \gamma }$ — стала Ейлера–Маскероні.

Наступна рівність була виведена ^[en]:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }k^{\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi {\rm {e}}^{\gamma }}}\right)^{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Альтернативною є формула, визначена для простих чисел,

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }p_{k}^{\frac {1}{p_{k}^{2}-1}}={\frac {A^{12}}{2\pi {\rm {e}}^{\gamma }}},}$

де ${\displaystyle p_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-те просте число.

Наведемо приклади визначених інтегралів, де зустрічається стала ${\displaystyle A}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\ln \Gamma (x)\,{\rm {d}}x={\frac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\frac {1}{4}}\ln \pi ,\\\int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{{\rm {e}}^{2\pi x}-1}}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2}}\zeta '(-1)={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{2}}\ln A.\end{aligned}}}$

Стала ${\displaystyle A}$ може бути представлена у вигляді суми, яка випливає з представлення дзета-функції Рімана, отриманого Гельмутом Гассе

${\displaystyle \ln A={\frac {1}{8}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}C_{n}^{k}(k+1)^{2}\ln(k+1).}$

Примітки

1. Van Gorder, Robert A. (2012). Glaisher-Type Products over the Primes. International Journal of Number Theory. 08 (2): 543—550. doi:10.1142/S1793042112500297.

Література

• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. The Ramanujan Journal. 16 (3): 247—270. arXiv:math.NT/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID 14910435.
• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. Ramanujan Journal. 16 (3): 247—270. arXiv:math/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID 14910435. (Provides a variety of relationships.)
• Weisstein, Eric W. Glaisher–Kinkelin Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Посилання