K-функція

У математиці K-функція, зазвичай позначається як ${\displaystyle K(z)}$, — узагальнення функції гіперфакторіала для комплексних чисел подібно до гамма-функції як узагальнення функції факторіала для комплексних чисел.

Означення

Формально K-функція визначається так

${\displaystyle K(z)=(2\pi )^{-{\frac {z-1}{2}}}\exp \left[{C_{z}^{2}}+\int _{0}^{z-1}\ln \Gamma (t+1)\,dt\right].}$

Також можна записати її у простішій формі:

${\displaystyle K(z)=\exp {\bigl [}\zeta '(-1,z)-\zeta '(-1){\bigr ]},}$

де ${\displaystyle \zeta '(z)}$ — похідні дзета-функції Рімана, ${\displaystyle \zeta (a,z)}$ — дзета-функція Гурвіца і

${\displaystyle \zeta '(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left.{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right|_{s=a}.}$

Інша форма запису через полігамма-функцію:

${\displaystyle K(z)=\exp \left[\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln 2\pi \right].}$

Або, використовуючи ^[en], можна сказати, що

${\displaystyle K(z)=A\exp \left[\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right],}$

де ${\displaystyle A}$ — стала Глейшера.

Властивості

Нехай ${\displaystyle \alpha >0}$. Тоді

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx-\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\frac {1}{2}}\right).}$

Нехай

${\displaystyle f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx.}$

Диференціюючи цю рівність по ${\displaystyle \alpha }$, отримаємо

${\displaystyle f'(\alpha )=\ln K(\alpha +1)-\ln K(\alpha )=\ln {\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}.}$

За означенням K-функції можна записати

${\displaystyle f'(\alpha )=\alpha \ln \alpha .}$

Також

${\displaystyle f(\alpha )={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\frac {1}{2}}\right)+C.}$

Покладемо ${\displaystyle \alpha =0}$. Тоді отримаємо

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx=\lim _{t\to 0}\left[{\frac {1}{2}}t^{2}\left(\ln t-{\frac {1}{2}}\right)\right]+C=C.}$

Тепер можна зробити висновок про рівність, наведену вище.

K-функція тісно пов'язана з гамма-функцією та ^[en]: для натуральних ${\displaystyle n}$ маємо

${\displaystyle K(n)={\frac {{\bigl (}\Gamma (n){\bigr )}^{n-1}}{G(n)}}.}$

Можна записати цю рівність більш просто

${\displaystyle K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}.}$

Значення функції при натуральних аргументах:

${\displaystyle 1,\,4,\,108,\,27648,\,86400000,\,4031078400000,\,3319766398771200000,\ldots \quad }$ ( послідовність A002109 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Література

1. Victor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order
2. Olivier Espinosa . A Generalized polygamma function. Integral Transforms and Special Functions Vol. 15, No. 2, April 2004, pp. 101–115