Радіус вписаного кола

Не плутати з зовнівписаним колом.

Вписане коло трикутника — це найбільше коло, розташоване в трикутнику, яке дотичне до трьох його сторін. Центр вписаного в трикутник кола називають інцентром. Інцентр також є точкою перетину бісектрис трикутника. Традиційно позначають латинською літерою I.

Трикутник (чорний) з вписаним колом (синє), зовнішніми вписаними колами (помаранчеві), бісектрисами внутрішніх (червоні) та зовнішніх (зелені) кутів.

Центр вписаного кола можна знайти, як точку перетину трьох бісектрис внутрішніх кутів. Центр зовнівписаного кола можна знайти, як точку перетину бісектриси внутрішнього кута і двох бісектрис зовнішніх кутів. З цього випливає, що центр вписаного кола разом з трьома центрами зовнішніх вписаних кіл утворюють ортоцентричну систему.

Властивості інцентра

• Інцентр лежить на однаковій відстані від усіх сторін трикутника.
• Інцентр ділить бісектрису кута ${\displaystyle A}$ у відношенні ${\displaystyle {\frac {b+c}{a}}}$, де ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — сторони трикутника.
• Теорема про трилисник (або лема про тризубець). Якщо продовження бісектриси кута А перетинає описане навколо трикутника ABC коло в точці ${\displaystyle W}$, то справедлива рівність: ${\displaystyle WB=WC=WI=WO}$, де ${\displaystyle O}$ — центр зовнішнього вписаного кола, що дотикається до сторони ${\displaystyle BC}$.
• Формула Ейлера. Квадрат відстані між інцентром ${\displaystyle I}$ і центром описаного кола ${\displaystyle O}$ дорівнює ${\displaystyle OI^{2}=R^{2}-2Rr}$, де ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle r}$ — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл.

Властивості вписаного кола

• У кожен трикутник можна вписати коло, притому тільки одне.
• Центр I вписаного кола називається інцентром, він рівновіддалений від усіх сторін і є точкою перетину бісектрис трикутника.
• Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}$

де S — площа трикутника, а p — півпериметр.

• Якщо AB — основа рівнобедреного ${\displaystyle \triangle ABC}$, то коло, дотичне до сторін кута ${\displaystyle \angle ACB}$ в точках A і B, проходить через інцентр трикутника ABC.
• Якщо пряма, що проходить через точку I паралельно стороні AB, перетинає сторони BC і CA в точках A₁ і B₁, то ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}}$.
• Точки дотику вписаного в трикутник T кола з'єднані відрізками утворюють трикутник T₁.
  • Бісектриси T є серединними перпендикулярами T₁.
  • Нехай T₂ — ортоцентричний трикутник T₁. Тоді його сторони паралельні сторонам вихідного трикутника T.
  • Нехай T₃ — серединний трикутник T₁. Тоді бісектриси T є висотами T₃.
  • Нехай T₄ — ортотрикутник T₃, тоді бісектриси T є бісектрисами T₄.
• Радіус вписаного в прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c кола дорівнює ${\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}}$.
• Відстань від вершини С трикутника до точки, в якій вписане коло дотикається сторони, дорівнює ${\displaystyle d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c}$.
• Відстань від вершини C до центра вписаного кола дорівнює ${\displaystyle l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}}$, де r — радіус вписаного кола, а γ — кут вершини C.
• Відстань від вершини C до центра вписаного кола може також бути знайдено за формулами ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}}$ і ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}}$
• : нехай коло ${\displaystyle V}$ дотичне до сторін ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle AC}$ і дуги ${\displaystyle BC}$ описаного кола трикутника ${\displaystyle ABC}$. Тоді точки дотику кола ${\displaystyle V}$ зі сторонами і центр вписаного кола трикутника ${\displaystyle ABC}$ лежать на одній прямій.

Примітки

1. Єфремов Д. Нова геометрія трикутника. — Одеса, 1902. — С. 130. з джерела 4 березня 2016

Див. також

• Трикутник
• Коло
• Описане коло
• Зовнівписане коло
• Описаний багатокутник
• Теорема про рівні вписані кола