Примарний ідеал

Примарний ідеал — ідеал ${\displaystyle \ I}$ комутативного кільця, для якого, якщо ${\displaystyle \ xy}$ є елементом ${\displaystyle \ I}$, то ${\displaystyle \ x}$ або ${\displaystyle \ y^{n}}$ теж є елементом ${\displaystyle \ I,}$ для деякого натурального ${\displaystyle \ n.}$ Є важливим поняттям в комутативній алгебрі.

Довільний ідеал в кільці Нетер має примарний розклад, тобто може бути записаний як перетин скінченної кількості примарних ідеалів. Цей результат відомий як теорема Ласкера — Нетер.

Всі прості ідеали є примарними ідеалами.

Якщо ${\displaystyle \ I}$ — примарний ідеал, тоді асоційований простий ідеал ${\displaystyle \ P}$ є радикалом ${\displaystyle \ I.}$ Ідеал ${\displaystyle \ I}$ в такому випадку називають ${\displaystyle \ P}$-примарним.

Якщо ${\displaystyle \ P}$ максимальний простий ідеал, тоді довільний ідеал, що містить степінь ${\displaystyle \ P}$ є ${\displaystyle \ P}$-примарним. Не всі ${\displaystyle \ P}$-примарні ідеали є степенями ${\displaystyle \ P,}$ наприклад, ідеал (x, y²) є ${\displaystyle \ P}$-примарним для ідеалу P = (x, y) в кільці k[x, y], але він не є степенем P.

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)