Поліном Шура

У математиці многочлени Шура, названі на честь ^[en], — це певні симетричний многочлен від ${\displaystyle n}$ змінних, параметризовані розбиттями, що узагальнюють елементарні симетричні поліноми і ^[en]. У теорії представлень вони є характерами ^[en]загальної лінійної групи.

Поліноми Шура утворюють лінійний базис простору всіх симетричних поліномів. Будь-який добуток поліномів Шура можна записати як лінійну комбінацією поліномів Шура з невід'ємними цілими коефіцієнтами; значення цих коефіцієнтів задається комбінаторними формулами за ^[en].

У загальному випадку асиметричні поліноми Шура пов'язані з парами розбиттів і мають властивості, що аналогічні властивостям поліномів Шура.

Означення (біальтернативна формула Якобі)

Поліноми Шура параметризуються розбиттями невід'ємних цілих чисел. Для заданого розбиття ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$, де ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \dots \geq \lambda _{n}}$ і ${\displaystyle \lambda _{j}}$ — невід'ємні цілі числа, функції

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n})}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{\lambda _{1}+n-1}&x_{2}^{\lambda _{1}+n-1}&\dots &x_{n}^{\lambda _{1}+n-1}\\x_{1}^{\lambda _{2}+n-2}&x_{2}^{\lambda _{2}+n-2}&\dots &x_{n}^{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{\lambda _{n}}&x_{2}^{\lambda _{n}}&\dots &x_{n}^{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right]\end{aligned}}}$

є ^[en] за властивостями визначника. Поліном є знакозмінним, якщо він змінює знак при будь-якій перестановці змінних.

Оскільки поліноми Шура є знакозмінними, то всі вони діляться на визначник Вандермонда

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}\\x_{1}^{n-2}&x_{2}^{n-2}&\dots &x_{n}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&1&\dots &1\end{matrix}}\right]=\prod _{1\leq j<k\leq n}(x_{j}-x_{k}).\end{aligned}}}$

Поліноми Шура визначаються за допомогою відношення

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n}+0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}{a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}},\end{aligned}}}$

яке відоме як біальтернативна формула Якобі, яка є частинним випадком ^[en].

Поліном Шура є симетричною функцією, оскільки чисельник і знаменник відношення є знакозмінними, і є поліномом, оскільки всі знакозмінні поліноми діляться на визначник Вандермонда.

Властивості

Поліноми Шура степеня ${\displaystyle d}$ в ${\displaystyle n}$ змінних є лінійним базисом для простору однорідних симетричних поліномів степеня ${\displaystyle d}$ в :${\displaystyle n}$ змінних. Для розбиття ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$ поліном Шура є сумою одночленів

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{T}x^{T}=\sum _{T}x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{n}^{t_{n}},\end{aligned}}}$

де підсумовування йде за всіма напівстандартними діаграмами Юнга ${\displaystyle T}$ форми ${\displaystyle \lambda }$. Степені ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}}$ визначають вагу для ${\displaystyle T}$, іншими словами, кожне ${\displaystyle t_{i}}$ підраховує кількість чисел ${\displaystyle i}$ в ${\displaystyle T}$.

Можна показати, що це еквівалентно означенню з першої формули Джамбелл і за допомогою ^[en] (як описано нижче).

Поліноми Шура можна представити як лінійні комбінації одночлених симетричних поліномів ${\displaystyle m_{\mu }}$ з натуральними коефіцієнтами ${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$, які називають ^[en],

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu }.\end{aligned}}}$

Числа Костки ${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$ визначаються числом напівстандартних діаграм Юнга форми ${\displaystyle \lambda }$ і ваги ${\displaystyle \mu }$.

Тотожності Якобі—Труді

Перша формула Якобі—Труді виражає поліном Шура як визначник у термінах ^[en],

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\lambda }=\det(h_{\lambda _{i}+j-i})_{i,j=1}^{l(\lambda )}=\det \left[{\begin{matrix}h_{\lambda _{1}}&h_{\lambda _{1}+1}&\dots &h_{\lambda _{1}+n-1}\\h_{\lambda _{2}-1}&h_{\lambda _{2}}&\dots &h_{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\h_{\lambda _{n}-n+1}&h_{\lambda _{n}-n+2}&\dots &h_{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right],\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle h_{i}:=s_{(i)}}$.

Друга формула Якобі—Труді виражає поліном Шура як визначник у термінах елементарних симетричних поліномів,

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\lambda }=\det(e_{\lambda '_{i}+j-i})_{i,j=1}^{l(\lambda ')}=\det \left[{\begin{matrix}e_{\lambda '_{1}}&e_{\lambda '_{1}+1}&\dots &e_{\lambda '_{1}+l-1}\\e_{\lambda '_{2}-1}&e_{\lambda '_{2}}&\dots &e_{\lambda '_{2}+l-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e_{\lambda '_{l}-l+1}&e_{\lambda '_{l}-l+2}&\dots &e_{\lambda '_{l}}\end{matrix}}\right],\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle e_{i}:=s{(1^{i})}}$, ${\displaystyle \lambda '}$ — розбиття спряжене до ${\displaystyle \lambda }$.

В обох тотожностях функції з невід'ємними нижніми індексами визначаються як нульові.

Тотожність Джамбеллі

Іншою тотожністю з використанням визначників є ^[en], яка виражає функцію Шура для довільного розбиття в термінах функції для гачкових розбиттів, що містяться в діаграмі Юнга.

У позначеннях Фробеніуса розбиття позначається як

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r}),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle a_{i}}$ для кожного діагонального елемента на місці ${\displaystyle ii}$ позначає кількість блоків праворуч у тому самому рядку, а ${\displaystyle b_{i}}$ — кількість блоків під ним у тому самому стовпці (відповідно довжина руки та ноги).

Тотожність Джамбеллі виражає функцію Шура, що відповідає цьому розбиттю, як визначник

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{(a_{1},\dots ,a_{r}\mid b_{1},\dots ,b_{r})}=\det(s_{(a_{i}\mid b_{j})})\end{aligned}}}$

відповідних гачкових розбиттів.

Тотожність Коші

Тотожність Коші для функцій Шура (тепер для нескінченної кількості змінних) та її дуальна тотожність стверджують, що

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda }(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)h_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1-x_{i}y_{j})^{-1},\end{aligned}}}$

i

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda '}(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)e_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1+x_{i}y_{j}),\end{aligned}}}$

де сума береться зі всіма розбиттями ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$ і ${\displaystyle e_{\lambda }(x)}$ — відповідно повні симетричні функції та елементарні симетричні функції.

Якщо суму береться за добутками поліномів Шура в ${\displaystyle n}$ змінних ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$, то сума включає лише розбиття довжини ${\displaystyle \ell (\lambda )\leq n}$, оскільки в іншому випадку поліноми Шура перетворюються на нуль.

Існує багато узагальнень цих тотожностей на інші сім'ї симетричних функцій. Наприклад, поліноми Макдональда, поліноми Шуберта та поліноми Гротендіка допускають тотожності типу Коші.

Інші тотожності

Поліноми Шура можуть також обчислюватись шляхом уточнення формули для ^[en],

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{w\in S_{n}/S_{n}^{\lambda }}w\left(x^{\lambda }\prod _{\lambda _{i}>\lambda _{j}}{\frac {x_{i}}{x_{i}-x_{j}}}\right),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle S_{n}^{\lambda }}$ — така підгрупа перестановок, що ${\displaystyle \lambda _{w}(i)=\lambda _{i}}$ для всіх ${\displaystyle i}$, а ${\displaystyle w}$ діє на змінні шляхом перестановки індексів.

Правило Мурнагана—Накаями

Правило Мурнагана—Накаями виражає добуток симетричної функції суми ступенів з поліномом Шура в термінах поліномів Шура:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{r}\cdot s_{\lambda }=\sum _{\mu }(-1)^{ht(\mu /\lambda )+1}s_{\mu },\end{aligned}}}$

де сума береться за всіма розбиттями ${\displaystyle \mu }$ такими, що ${\displaystyle \mu /\lambda }$ — це обідок-гачок розміру ${\displaystyle r}$, а ${\displaystyle ht(\mu /\lambda )}$ — це кількість рядків в діаграмі ${\displaystyle \mu /\lambda }$.

Правило Літтлвуда—Річардсона і формула П'єрі

Коефіцієнти Літтлвуда—Річардсона залежать від трьох розбиттів ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \nu }$, де ${\displaystyle \lambda }$ і ${\displaystyle \mu }$ описують функції Шура, що перемножуються, і ${\displaystyle \nu }$ визначає функцію Шура, коефіцієнтом якої є коефіцієнт в лінійній комбінації; іншими словами це коефіцієнти ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$ такі, що

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\lambda }s_{\mu }=\sum _{\nu }c_{\lambda ,\mu }^{\nu }s_{\nu }.\end{aligned}}}$

Правило Літтлвуда—Річардсона стверджує, що коефіцієнт ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$ дорівнює номеру діаграми Літтлвуда—Річардсона асиметричних форм ${\displaystyle \nu /\lambda }$ з вагою ${\displaystyle \mu }$.

Формула П'єрі — частинний випадок правила Літтлвуда—Річардсона, яка представляє добуток ${\displaystyle h_{r}s_{\lambda }}$ в термінах поліномів Шура. Дуальна версія представляє ${\displaystyle e_{r}s_{\lambda }}$ в термінах поліномів Шура.

Конкретизації

Значення полінома Шура ${\displaystyle s_{\lambda }}$ в ${\displaystyle (1,1,\dots ,1)}$ дає кількість напівстандартних діаграм Юнга форми ${\displaystyle \lambda }$ із елементами в ${\displaystyle 1,2,\dots ,n}$. Наприклад, за допомогою ^[en] можна побачити, що

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\lambda }(1,1,\dots ,1)=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}.\end{aligned}}}$

У цій формулі ${\displaystyle \lambda }$ є кортежем, що вказує ширину кожного рядка діаграми Юнга, яка неявно розширюється нулями, поки не матиме довжину ${\displaystyle n}$.

Сума елементів ${\displaystyle \lambda _{i}}$ дорівнює ${\displaystyle d}$. Дивись також ^[en], яка обчислює ту саму величину для фіксованого ${\displaystyle \lambda }$.

Приклад

Наступний розширений приклад повинен допомогти з'ясувати ці ідеї. Розглянемо випадок ${\displaystyle n=3}$, ${\displaystyle d=4}$. Використовуючи діаграми Феррера або будь-який інший метод, знаходимо, що існує всього чотири розбиття для числа чотири щонайбільше на три частини. Маємо

${\displaystyle {\begin{aligned}&s_{(2,1,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{matrix}}\right]=x_{1}x_{2}x_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\&s_{(2,2,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{3}&x_{2}^{3}&x_{3}^{3}\\1&1&1\end{matrix}}\right]=x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3}^{2},\end{aligned}}}$

і так далі, де ${\displaystyle \Delta }$ — визначник Вандермонда ${\displaystyle a_{(2,1,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})}$. Підсумовуючи:

${\displaystyle {\begin{aligned}&1.\ s_{(2,1,1)}=e_{1}e_{3},\\&2.\ s_{(2,2,0)}=e_{2}^{2}-e_{1}e_{3},\\&3.\ s_{(3,1,0)}=e_{1}^{2}e_{2}-e_{2}^{2}-e_{1}e_{3},\\&4.\ s_{(4,0,0)}=e_{1}^{4}-3e_{1}^{2}e_{2}+2e_{1}e_{3}+e_{2}^{2}.\end{aligned}}}$

Будь-який однорідний симетричний поліном четвертого степеня з трьома змінними можна виразити як єдину лінійну комбінацію цих чотирьох поліномів Шура, і цю комбінацію можна знову знайти використовуючи ^[en] для відповідного порядку виключення. Наприклад,

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}\end{aligned}}}$

є очевидно однорідним симетричним поліномом четвертого степеня і

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi =s_{(2,1,1)}-s_{(3,1,0)}+s_{(4,0,0)}.\end{aligned}}}$

Зв'язок із теорією представлень

Поліноми Шура зустрічаються в ^[en], загальних лінійних груп і унітарних груп. З ^[en] випливає, що поліноми Шура — характери скінченновимірних незвідних представлень загальних лінійних груп, і це допомагає узагальнити роботу Шура на інші компактні і напівпрості групи Лі.

Декілька співвідношень виникає з цього зв'язку, одним з найважливіших є співвідношення для функції ${\displaystyle s_{\lambda }}$ в термінах симетричних степеневих функцій ${\displaystyle p_{k}=\sum \limits _{i}x_{i}^{k}}$.

Якщо записати ${\displaystyle x_{\rho }^{\lambda }}$ для характеру представлень симетричної групи індексованої розбиттям ${\displaystyle \lambda }$ та обчислити його на елементах циклічного типу індексованих розбиттям ${\displaystyle \rho }$, тоді

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\lambda }=\sum _{\nu }{\frac {\chi _{\nu }^{\lambda }}{z_{\nu }}}p_{\nu }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi _{\rho }^{\lambda }\prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!k^{r_{k}}}},\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}$ означає, що розбиття ${\displaystyle \rho }$ має ${\displaystyle r_{k}}$ частин довжини ${\displaystyle k}$.

Цілі числа ${\displaystyle x_{\rho }^{\lambda }}$ можна обчислити за допомогою ^[en].

Додатність Шура

Завдяки зв'язку з теорією представлень симетрична функція, що допускає додатний розклад через функції Шура, має особливе значення.

Наприклад, асиметричні функції Шура мають додатний розклад через звичайні функції Шура, а коефіцієнти є коефіцієнтами Літтлвуда—Річардсона.

Частинним випадком цього є розклад повних однорідних симетричних функцій ${\displaystyle h_{\lambda }}$ через функції Шура. Цей розклад відображає те, як модуль перестановки розкладається на незвідні представлення.

Методи доведення додатності Шура

Існує декілька методів для доведення додатності Шура заданої симетричної функції ${\displaystyle F}$. Якщо функція ${\displaystyle F}$ описується комбінаторним способом, то прямий метод полягає у побудові бієкції з напівстандартнми діаграмами Юнга. Прикладами таких бієкцій є відповідність Едельмана—Гріна та ^[en].

Бієкція з більшою структурою — доведення з використання так званих ^[en]. Цей метод можна описати як визначення певної структури графа, що описуються локальними правилами, для базових комбінаторних об'єктів.

Подібною ідеєю є поняття дуальної еквівалентності. Цей підхід також використовує структуру графа, але на об'єктах, що представляють розклад за фундаментальним квазісиметричним базисом. Це тісно пов'язано з RSK—відповідністю.

Узагальнення

Асиметричні функцій Шура

Асиметричні функції Шура ${\displaystyle s_{\lambda /\mu }}$ залежать від двох розбиттів ${\displaystyle \lambda }$ і ${\displaystyle \mu }$, і визначаються за допомогою властивості

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle s_{\lambda /\mu },s_{\nu }\rangle =\langle s_{\lambda },s_{\mu }s_{\nu }\rangle .\end{aligned}}}$

Тут скалярним добутком є скалярний добуток Холла для якого поліноми Шура утворюють ортонормований базис.

Як і для звичайних поліномів Шура існує багато способів обчислення асиметричних функцій Шура. Відповідні тотожності Якобі—Труді мають вигляд

${\displaystyle {\begin{aligned}&s_{\lambda /\mu }=\det(h_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )},\\&s_{\lambda '/\mu '}=\det(e_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )}.\end{aligned}}}$

Існує також комбінаторна інтерпретація асиметричних поліномів Шура, а саме вони є сумою за всіма напівстандартними діаграмами Юнга (чи діаграмами у вигляді строгих стовпців) асиметричної форми ${\displaystyle \lambda /\mu }$.

Асиметричні поліноми Шура допускають додатний розклад за поліномами Шура. Правило для коефіцієнтів визначається ^[en].

Подвійні поліноми Шура

Подвійні поліноми Шура можна розглядати як узагальнення зсувних поліномів Шура.

Ці поліноми також тісно пов'язані з факторними поліномами Шура.

Для заданого розбиття ${\displaystyle \lambda }$ і послідовності ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$ можна визначити подвійний поліном Шура ${\displaystyle s_{\lambda }(x\parallel a)}$ як

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\lambda }(x||a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )-c(\alpha )}),\end{aligned}}}$

де сума береться за всіма зворотними напівстандартними діаграмами Юнга ${\displaystyle T}$ форми ${\displaystyle \lambda }$ і натуральними елементами ${\displaystyle 1,\dots ,n}$ . Тут ${\displaystyle T(\alpha )}$ — значення в комірці ${\displaystyle \alpha }$ діаграми Юнга ${\displaystyle T}$, а ${\displaystyle c(\alpha )}$ — вміст комірки.

Комбінаторне правило для коефіцієнтів Літтлвуда—Річардсона (залежно від послідовності a) отримав А.І. Молєв. Зокрема, це означає, що зсувні поліноми Шура мають невід'ємні коефіцієнти Літтлвуда—Річардсона.

Зсувні поліноми Шура ${\displaystyle s_{\lambda }^{*}(y)}$ можна отримати з подвійних поліномів Шура шляхом конкретизації ${\displaystyle a_{i}=-i}$ і ${\displaystyle y_{i}=x_{i}+i}$.

Подвійні поліноми Шура є частинними випадками подвійних ^[en].

Факторні поліноми Шура

Факторні поліноми Шура можна визначити наступним чином. Для заданого розбиття ${\displaystyle \lambda }$ і подвійної нескінченної послідовності ${\displaystyle \dots ,a_{a-1},a_{0},a_{1},\dots }$ можна визначити факторний поліном Шура ${\displaystyle s_{\lambda }(x|a)}$ як

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\lambda }(x|a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )+c(\alpha )}),\end{aligned}}}$

де сума береться за всіма напівстандартними діаграмами Юнга ${\displaystyle T}$ форми ${\displaystyle \lambda }$ і натуральними елементами ${\displaystyle 1,\dots ,n}$. Тут ${\displaystyle T(\alpha )}$ — значення в комірці ${\displaystyle \alpha }$ діаграми Юнга ${\displaystyle T}$, а ${\displaystyle c(\alpha )}$ — вміст комірки.

Існує також формула через визначник:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\lambda }(x|a)={\frac {\det[(x_{j}|a)^{\lambda _{i}+n-i}]_{i,j=1}^{l(\lambda )}}{\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})}},\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle (y|a)^{k}=(y-a_{1})\cdots (y-a_{k})}$. Очевидно, якщо ${\displaystyle a_{i}=0}$ для всіх ${\displaystyle i}$, то одержуємо звичайний поліном Шура ${\displaystyle s_{\lambda }}$.

Подвійні поліноми Шура і факторні поліноми Шура в ${\displaystyle n}$ змінних пов'язані за допомогою тотожності ${\displaystyle s_{\lambda }(x\|a)=s_{\lambda }(x|u)}$, де ${\displaystyle a_{n-i+1}=u_{i}}$.

Інші узагальнення

Існують численні узагальнення поліномів Шура:

• ^[en]
• Зсувні поліноми Шура
• Марковані поліноми Шура
• ^[en]
• ^[en]
• Ключові поліноми (відомі також як характери Демазуре)
• Квазисиметричні поліноми Шура
• Строго рядкові поліноми Шура
• ^[en]
• Модулярні поліноми Шура
• Циклічні функції Шура
• ^[en]
• Поліноми Шура для симетричних і ортогональних груп
• k-функції Шура
• Поліноми Гротендіка (^[en])
• ^[en]

Див. також

• ^[en]
• ^[en], де можна знайти деякі тотожності, що включають поліноми Шура.

Примітки

1. Fulton та Harris, 1991, Formula A.5
2. Fulton та Harris, 1991, Formula A.6
3. Доведення цього можна знайти в R. Stanley's Enumerative Combinatorics Volume 2, Corollary 7.17.5.
4. Molev, A.I. (June 2009). Littlewood–Richardson polynomials. Journal of Algebra. 321 (11): 3450—68. arXiv:0704.0065. doi:10.1016/j.jalgebra.2008.02.034.

Література

• Macdonald, I. G. (1995). Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs (вид. 2nd). Oxford University Press. ISBN . MR 1354144.
• Sagan, Bruce E. (2001) [1994], "Schur functions in algebraic combinatorics", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Sturmfels, Bernd (1993). Algorithms in Invariant Theory. Springer. ISBN .
• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. . MR 1153249. OCLC 246650103.