Діаграма Юнга — у математиці є комбінаторним об'єктом, корисним у теорії представлень та [en]. Діаграма забезпечує зручний спосіб опису представлення групи симетричних та загальних лінійних груп та вивчення їх властивостей. Діаграми Юнга були введені [en], математиком Кембриджського університету, в 1900 році. Невдовзі, у 1903 році, вони були застосовані у вивченні симетричної групи Георгом Фробеніусом. У подальшому теорію діаграм Юнга розвинули багато математиків, зокрема [en], Вільям Годж, [en], Джан-Карло Рота, [en], [en] та [en].
Визначення
Примітка: ця стаття використовує англійську конвенцію для відображення "Діаграм та таблиць Юнга".
Діаграми
Діаграма Юнга (також називається (діаграмою Феррерса), особливо, якщо вона представлена з використанням точок) - це скінчена колекція комірок, розташованих у стовпцях, що лежать у лівих-виправданих рядках, з довжинами рядків у незмінному порядку. У переліку кількості кодів у кожному рядку задано розділ λ невід'ємного цілого числа n, загальну кількість кодів діаграми. Схоже, діаграма Юнга має форму λ, і вона містить ту ж саму інформацію, що і цей розділ. Зберігання однієї діаграми Юнга в іншій означає часткове впорядкування на множині всіх розділів, що насправді є структурою гратки, відомої як [en]. У кожному стовпчику вказано кількість комірок діаграми Юнга, яка дає інший розділ, сполучений або переміщений розділ λ; одержує діаграму Юнга такої форми, яка відбиває оригінальну діаграму вздовж головної діагоналі.
Існує майже загальна згода про те, що в маркуванні комірки діаграми Юнга за парними цілими числами перший індекс вибирає рядок діаграми, а другий індекс вибирає поле в рядку. Тим не менш існують дві чіткі конвенції для відображення цих діаграм: перша розміщує кожен рядок під попереднім, а друга розміщує кожен рядок у верхній частині попереднього. Оскільки перша конвенція в основному використовується англофонами, тоді як вони часто віддають перевагу французьким мовам, звичайно в цій конвенції існує, відповідно, як англійське позначення та французьке позначення; наприклад, у своїй книзі про симетричні функції, [en] радить читачам, які віддають перевагу Французькій конвенції, "читати цю книгу вгору вниз у дзеркалі" (Macdonald 1979, p. 2). Ця номенклатура, мабуть, почалася як жартівлива. Англійське позначення відповідає універсальному використанню матриць, тоді як французьке позначення лише наближається до конвенції декартових координат; однак, французьке позначення відрізняється від цієї конвенції, поставивши в першу чергу вертикальну координату. На малюнку праворуч показано діаграму Юнга , яка відповідає розділу (5, 4, 1) номеру 10 за допомогою англійського позначення. Кон'югативним розділом, який вимірює довжину колонки, є (3, 2, 2, 2, 1).
Довжина руки та ноги
У багатьох програмах, наприклад, при визначенні [en], зручно визначити довжину руки aλ(s) комірки s як число стовпців праворуч від s на діаграмі λ. Аналогічно, довжина ноги lλ(s) - це кількість комірок нижче s. Ця позначка передбачає, використання англійського позначення. Наприклад, значення гака комірки s в λ є тоді це просто aλ(s)+lλ(s)+1.
Таблиці
Таблиці Юнга отримуються, заповненням комірок діаграми Юнга діаграми з символами, взятими з деякого алфавіту, який, як правило, повинен бути повністю впорядкованою множиною. Спочатку цей алфавіт був набором індексованих змінних x1, x2, x3..., але зараз для зручності зазвичай використовується набір чисел. У своїй оригінальній заявці до [en], таблиці Юнга мають n різних записів, довільно призначених коміркам діаграми. Таблиця називається стандартною, якщо записи в кожному рядку та кожен стовпчик збільшуються. Число відмінних стандартних таблиць Юнга на n записів дається [en]
1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (послідовність A000085[недоступне посилання з липня 2019] в ЕПЦЧ)
В інших програмах природно, щоб однаковий номер з'явився більше одного разу (або взагалі не з'явився) у таблиці. Таблиця називається напів стандартною або стовпчико-строгою, якщо записи трішки збільшуються вздовж кожного рядка і суворо зменшують кожен стовпчик. Записуючи кількість разів, коли кожне число відображається у табличці, дається послідовність, відома як вага таблиць. Таким чином, стандарт таблиць Юнга являє собою саме напів стандартну таблицю ваги (1,1, ..., 1), яка вимагає, щоб кожне ціле число до n з'являлося рівно один раз.
Варіації
Існує декілька варіантів цього визначення: наприклад, суворого-рядкова таблиця, яка збільшує кількість записів по рядках і збільшує колонки. Також були розглянуті таблички зі зменшувальними записами, зокрема, в [en]. Існують також узагальнення, такі як таблиця доміно або стрічкова таблиця, в якій декілька комірок можуть бути згруповані разом перед призначенням записів до них.
Асиметричні таблиці
Асиметрична форма являє собою пару розділів (λ,μ) таких, що діаграма Юнга λ містить діаграму Юнга μ; це позначається λ/μ. Якщо λ = (λ1,λ2,...) і μ=(μ1,μ2,...),, то сховище діаграм означає, що μi ≤ λi для всіх i. Діаграма асиметричної форми λ/μ - це теоретико-множинна різниця діаграми Юнга та діапазонів λ та μ: множина квадратів, що належать до діаграми λ, але не до μ. Асиметрична таблиця форми λ/μ отримується заповненням квадратів відповідної асиметричної діаграми; така таблиця є напів стандартом, якщо записи в кожному її рядку повільно зростають і суворо збільшуються в кожному стовпчику, і це нормально, якщо всі числа від 1 до числа квадратів асиметричної діаграми з'являються рівно один раз. У той час як карта з розділів на їх діаграму Юнга ін'єктивна, це не так з карти з асиметричною фігурою на асиметричну діаграму; отже, форма асиметричної діаграми не завжди може бути визначена тільки з набору заповнених квадратів. Незважаючи на те, що багато властивостей асиметричних таблиць залежать лише від заповнених квадратів, деякі операції, визначені на них, вимагають явного знання λ та μ, тому важливо, щоб асиметричні таблиці записували цю інформацію: дві різні асиметричні таблиці можуть відрізнятися лише за своєю формою, в той час як вони матимуть один і той же набір квадратів, кожен з яких заповнюється однаковими записами. </ref> therefore the shape of a skew diagram cannot always be determined from the set of filled squares only. Although many properties of skew tableaux only depend on the filled squares, some operations defined on them do require explicit knowledge of λ and μ, so it is important that skew tableaux do record this information: two distinct skew tableaux may differ only in their shape, while they occupy the same set of squares, each filled with the same entries.> Таблиці Юнга можуть бути ідентифіковані з асиметричною таблицею, в якій {{mvar|μ} - порожній розділ (0) (унікальний розділ 0).
Будь-яка напів стандартна таблиця T з формою λ/μ з позитивними цілими записами породжує послідовність розділів (або діаграми Юнга), починаючи з μ, і беручи за розділ i, розміщується далі в послідовності, в якій діаграма отримується з μ, додавши всі поля, що містять значення value ≤ i в T; цей розділ з часом стає рівним λ. Будь-яка пара послідовних форм у такій послідовності є асиметричною формою, діаграма якої містить не більше одного коду в кожному стовпчику; такі форми називаються горизонтальними смугами. Ця послідовність розділів повністю визначає T, і насправді можна визначити напів стандартною таблицею як такі послідовності, як це робив Макдональд (Macdonald 1979, p. 4).Це визначення включає розділи λ і μ у даних, що містять асиметричну таблицю.
Огляд програм
Таблиці Юнга мають численне застосування в комбінаториці, теорії представлень та алгебраїчній геометрії. Розглянуто різні способи підрахунку "Таблиць Юнга" і доведено спосіб визначення та ідентифікації для функцій Шура. Відомо багато комбінаторних алгоритмів на таблицях, в тому числі Шютценбергера та [en]. Ласкукс і Шютценбергер вивчали асоціативний продукт на наборі всіх напів стандартних таблиць Юнга, надавши їм структуру під назвою [en] (французька: le monoïde plaxique).
У теорії зображень стандартні таблиці Юнга з розміром k описують основи нескоротних уявлень симетричної групи на k букв. [en] в кінцевомірному [en]загальної лінійної групи GLn параметризована набором напів стандартних таблиць Юнга фіксованої форми над алфавітом {1, 2, ..., n}. Це має важливі наслідки для теорії інваріантів, починаючи від роботи Годжа на [en]грассманіану який далі досліджує Джан-Карло Рота з співавторами, включаючи [en] і [en], а також [en]. [en], що описує (серед інших речей) розпад тензорного добутку нескоротних уявлень GLn на нескоротні компоненти, сформульовано в термінах певного асиметричної напівстандартної таблиці.
Застосування до алгебраїчного центру геометрії навколо [en] на грассманіанах та [en]. Деякі важливі класи гомології можуть бути представлені [en] та описані в термінах таблиць Юнга.
Застосування в теорії зображень
Дивіться також:[en]
Діаграми Юнга знаходяться в тісному взаємозв'язку з [en]симетричної групи над комплексними числами. Вони забезпечують зручний спосіб визначення [en], з яких побудовані [en]. Багато фактів про зображення можна вивести з відповідної діаграми. Нижче ми описуємо два приклади: визначення розмірності зображення та обмеження зображення. В обох випадках ми побачимо, що деякі властивості представлення можна визначити, використовуючи лише його діаграму.
Діаграми Юнга також параметризують незвідні поліноміальні зображення загальної лінійної групи GLn (коли вони мають не більше n непорожніх рядків) або незвідні зображення спеціальної лінійної групи SLn (коли вони мають не більше n − 1 порожніх рядків), або незвідні комплексні зображення спеціальної унітарної групи SUn (знову ж таки, коли вони мають не більше n − 1 порожніх рядків). У цих випадках центральну роль відіграє напів стандартна таблиця з записами до n, а не стандартна таблиця; зокрема це число тих таблиць, які визначають розмір представлення.
Розмірність зображення
Розмір нескоротного представлення πλ симетричної групи Sn, що відповідає розбиттю λ з n, дорівнює кількості різних стандартних таблиць Юнга, які можна отримати з діаграми представлення. Цей номер можна розрахувати за [en].
Гачок з довжиною гачка hook(x) комірки x у діаграмі Юнга Y(λ) форми λ - це число комірок, що знаходяться в одному рядку справа від нього, а також ті комірки в тому ж стовпчику під ним, плюс один ( для самої комірки). За формулою довжини гачка розмір нескоротного зображення - n! поділена на виріб довжини гачка всіх комірок у діаграмі подання:
На малюнку праворуч показано довжини гаків для всіх комірок на діаграмі розділу 10 = 5 + 4 + 1. Таким чином
Аналогічно, розмір нескоротного представлення W(λ) GLr, що відповідає розбиттю λ з n (з не більше r частинами), - це число напівстандартного зображення Юнга у формі λ (що містить лише записи від 1 до r), яке задається формулою довжини гачка:
де індекс i дає рядок і колонку j комірки. Наприклад, розділ (5, 4, 1) ми отримуємо як розмір відповідного нескоротного представлення GL7 (переміщення кодів рядками):
Обмежені зображення
Представлення симетричної групи на n елементах, Sn також є зображеннями симетричної групи на n − 1 елемента Sn−1. Однак неприйнятне зображення Sn не може бути неприйнятним для Sn−1. Натомість це може бути пряма сума декількох уявлень, які нескоротні для Sn-1. Ці уявлення потім називаються факторами [en] (див. також [en]).
Питання про визначення цього розкладу обмеженого представлення даного незвідного зображенням Sn, що відповідає розбиттю λ з n, відповідає наступним чином. Один з них утворює набір всіх діаграм Юнга, які можна отримати з діаграми форми λ, видаливши лише одну комірку (яка повинна бути в кінці його рядка та її стовпчика); потім обмежене представлення розкладається як пряма сума незвідних представлень Sn−1, що відповідають тим діаграмам, кожен з яких з'являється лише один раз у сукупності.
Дивіться також
- [en]
- [en]
- [en]
Примітки
- Knuth, Donald E. (1973), The Art of Computer Programming, Vol. III: Sorting and Searching (вид. 2nd), Addison-Wesley, с. 48,
Such arrangements were introduced by Alfred Young in 1900
. - Young, A. (1900), On quantitative substitutional analysis, Proceedings of the London Mathematical Society, Ser. 1, 33 (1): 97—145, doi:10.1112/plms/s1-33.1.97. See in particular p. 133.
- For instance the skew diagram consisting of a single square at position (2,4) can be obtained by removing the diagram of μ = (5,3,2,1) from the one of λ = (5,4,2,1), but also in (infinitely) many other ways. In general any skew diagram whose set of non-empty rows (or of non-empty columns) is not contiguous or does not contain the first row (respectively column) will be associated to more than one skew shape.
- A somewhat similar situation arises for matrices: the 3-by-0 matrix A must be distinguished from the 0-by-3 matrix B, since AB is a 3-by-3 (zero) matrix while BA is the 0-by-0 matrix, but both A and B have the same (empty) set of entries; for skew tableaux however such distinction is necessary even in cases where the set of entries is not empty.
- Predrag Cvitanović (2008). Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press., eq. 9.28 and appendix B.4
Список літератури
- William Fulton. Young Tableaux, with Applications to Representation Theory and Geometry. Cambridge University Press, 1997, .
- Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, 2nd Edition - Westview
- Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. MR553598
- Laurent Manivel. Symmetric Functions, Schubert Polynomials, and Degeneracy Loci. American Mathematical Society.
- Jean-Christophe Novelli, Igor Pak, Alexander V. Stoyanovkii, "A direct bijective proof of the Hook-length formula [ 28 серпня 2017 у Wayback Machine.]", Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 1 (1997), pp. 53–67.
- Bruce E. Sagan. The Symmetric Group. Springer, 2001,
- (2001), Діаграма Юнга, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN
- Predrag Cvitanović, Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press, 2008.
Посилання
- Eric W. Weisstein. "Ferrers Diagram [ 29 серпня 2017 у Wayback Machine.]". From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
- Eric W. Weisstein. "Young Tableau [ 2 грудня 2017 у Wayback Machine.]." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
- Semistandard tableaux [ 4 серпня 2018 у Wayback Machine.] entry in the FindStat [ 31 жовтня 2020 у Wayback Machine.] database
- Standard tableaux [ 22 грудня 2017 у Wayback Machine.] entry in the FindStat [ 31 жовтня 2020 у Wayback Machine.] database
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Diagrama Yunga u matematici ye kombinatornim ob yektom korisnim u teoriyi predstavlen ta en Diagrama zabezpechuye zruchnij sposib opisu predstavlennya grupi simetrichnih ta zagalnih linijnih grup ta vivchennya yih vlastivostej Diagrami Yunga buli vvedeni en matematikom Kembridzhskogo universitetu v 1900 roci Nevdovzi u 1903 roci voni buli zastosovani u vivchenni simetrichnoyi grupi Georgom Frobeniusom U podalshomu teoriyu diagram Yunga rozvinuli bagato matematikiv zokrema en Vilyam Godzh en Dzhan Karlo Rota en en ta en Viznachennya Primitka cya stattya vikoristovuye anglijsku konvenciyu dlya vidobrazhennya Diagram ta tablic Yunga Diagrami Diagrama Yunga formi 5 4 1 anglijske poznachennyaDiagrama Yunga formi 5 4 1 francuzke poznachennya Diagrama Yunga takozh nazivayetsya diagramoyu Ferrersa osoblivo yaksho vona predstavlena z vikoristannyam tochok ce skinchena kolekciya komirok roztashovanih u stovpcyah sho lezhat u livih vipravdanih ryadkah z dovzhinami ryadkiv u nezminnomu poryadku U pereliku kilkosti kodiv u kozhnomu ryadku zadano rozdil l nevid yemnogo cilogo chisla n zagalnu kilkist kodiv diagrami Shozhe diagrama Yunga maye formu l i vona mistit tu zh samu informaciyu sho i cej rozdil Zberigannya odniyeyi diagrami Yunga v inshij oznachaye chastkove vporyadkuvannya na mnozhini vsih rozdiliv sho naspravdi ye strukturoyu gratki vidomoyi yak en U kozhnomu stovpchiku vkazano kilkist komirok diagrami Yunga yaka daye inshij rozdil spoluchenij abo peremishenij rozdil l oderzhuye diagramu Yunga takoyi formi yaka vidbivaye originalnu diagramu vzdovzh golovnoyi diagonali Isnuye majzhe zagalna zgoda pro te sho v markuvanni komirki diagrami Yunga za parnimi cilimi chislami pershij indeks vibiraye ryadok diagrami a drugij indeks vibiraye pole v ryadku Tim ne mensh isnuyut dvi chitki konvenciyi dlya vidobrazhennya cih diagram persha rozmishuye kozhen ryadok pid poperednim a druga rozmishuye kozhen ryadok u verhnij chastini poperednogo Oskilki persha konvenciya v osnovnomu vikoristovuyetsya anglofonami todi yak voni chasto viddayut perevagu francuzkim movam zvichajno v cij konvenciyi isnuye vidpovidno yak anglijske poznachennya ta francuzke poznachennya napriklad u svoyij knizi pro simetrichni funkciyi en radit chitacham yaki viddayut perevagu Francuzkij konvenciyi chitati cyu knigu vgoru vniz u dzerkali Macdonald 1979 p 2 Cya nomenklatura mabut pochalasya yak zhartivliva Anglijske poznachennya vidpovidaye universalnomu vikoristannyu matric todi yak francuzke poznachennya lishe nablizhayetsya do konvenciyi dekartovih koordinat odnak francuzke poznachennya vidriznyayetsya vid ciyeyi konvenciyi postavivshi v pershu chergu vertikalnu koordinatu Na malyunku pravoruch pokazano diagramu Yunga yaka vidpovidaye rozdilu 5 4 1 nomeru 10 za dopomogoyu anglijskogo poznachennya Kon yugativnim rozdilom yakij vimiryuye dovzhinu kolonki ye 3 2 2 2 1 Dovzhina ruki ta nogi U bagatoh programah napriklad pri viznachenni en zruchno viznachiti dovzhinu ruki al s komirki s yak chislo stovpciv pravoruch vid s na diagrami l Analogichno dovzhina nogi ll s ce kilkist komirok nizhche s Cya poznachka peredbachaye vikoristannya anglijskogo poznachennya Napriklad znachennya gaka komirki s v l ye todi ce prosto al s ll s 1 Tablici Standartna diagrama Yunga formi 5 4 1 Tablici Yunga otrimuyutsya zapovnennyam komirok diagrami Yunga diagrami z simvolami vzyatimi z deyakogo alfavitu yakij yak pravilo povinen buti povnistyu vporyadkovanoyu mnozhinoyu Spochatku cej alfavit buv naborom indeksovanih zminnih x1 x2 x3 ale zaraz dlya zruchnosti zazvichaj vikoristovuyetsya nabir chisel U svoyij originalnij zayavci do en tablici Yunga mayut n riznih zapisiv dovilno priznachenih komirkam diagrami Tablicya nazivayetsya standartnoyu yaksho zapisi v kozhnomu ryadku ta kozhen stovpchik zbilshuyutsya Chislo vidminnih standartnih tablic Yunga na n zapisiv dayetsya en 1 1 2 4 10 26 76 232 764 2620 9496 poslidovnist A000085 nedostupne posilannya z lipnya 2019 v EPCCh V inshih programah prirodno shob odnakovij nomer z yavivsya bilshe odnogo razu abo vzagali ne z yavivsya u tablici Tablicya nazivayetsya napiv standartnoyu abo stovpchiko strogoyu yaksho zapisi trishki zbilshuyutsya vzdovzh kozhnogo ryadka i suvoro zmenshuyut kozhen stovpchik Zapisuyuchi kilkist raziv koli kozhne chislo vidobrazhayetsya u tablichci dayetsya poslidovnist vidoma yak vaga tablic Takim chinom standart tablic Yunga yavlyaye soboyu same napiv standartnu tablicyu vagi 1 1 1 yaka vimagaye shob kozhne cile chislo do n z yavlyalosya rivno odin raz Variaciyi Isnuye dekilka variantiv cogo viznachennya napriklad suvorogo ryadkova tablicya yaka zbilshuye kilkist zapisiv po ryadkah i zbilshuye kolonki Takozh buli rozglyanuti tablichki zi zmenshuvalnimi zapisami zokrema v en Isnuyut takozh uzagalnennya taki yak tablicya domino abo strichkova tablicya v yakij dekilka komirok mozhut buti zgrupovani razom pered priznachennyam zapisiv do nih Asimetrichni tablici Asimetrichna tablicya formi 5 4 2 2 2 1 anglijske poznachennya Asimetrichna forma yavlyaye soboyu paru rozdiliv l m takih sho diagrama Yunga l mistit diagramu Yunga m ce poznachayetsya l m Yaksho l l 1 l 2 i m m 1 m 2 to shovishe diagram oznachaye sho mi li dlya vsih i Diagrama asimetrichnoyi formi l m ce teoretiko mnozhinna riznicya diagrami Yunga ta diapazoniv l ta m mnozhina kvadrativ sho nalezhat do diagrami l ale ne do m Asimetrichna tablicya formi l m otrimuyetsya zapovnennyam kvadrativ vidpovidnoyi asimetrichnoyi diagrami taka tablicya ye napiv standartom yaksho zapisi v kozhnomu yiyi ryadku povilno zrostayut i suvoro zbilshuyutsya v kozhnomu stovpchiku i ce normalno yaksho vsi chisla vid 1 do chisla kvadrativ asimetrichnoyi diagrami z yavlyayutsya rivno odin raz U toj chas yak karta z rozdiliv na yih diagramu Yunga in yektivna ce ne tak z karti z asimetrichnoyu figuroyu na asimetrichnu diagramu otzhe forma asimetrichnoyi diagrami ne zavzhdi mozhe buti viznachena tilki z naboru zapovnenih kvadrativ Nezvazhayuchi na te sho bagato vlastivostej asimetrichnih tablic zalezhat lishe vid zapovnenih kvadrativ deyaki operaciyi viznacheni na nih vimagayut yavnogo znannya l ta m tomu vazhlivo shob asimetrichni tablici zapisuvali cyu informaciyu dvi rizni asimetrichni tablici mozhut vidriznyatisya lishe za svoyeyu formoyu v toj chas yak voni matimut odin i toj zhe nabir kvadrativ kozhen z yakih zapovnyuyetsya odnakovimi zapisami lt ref gt therefore the shape of a skew diagram cannot always be determined from the set of filled squares only Although many properties of skew tableaux only depend on the filled squares some operations defined on them do require explicit knowledge of l and m so it is important that skew tableaux do record this information two distinct skew tableaux may differ only in their shape while they occupy the same set of squares each filled with the same entries gt Tablici Yunga mozhut buti identifikovani z asimetrichnoyu tabliceyu v yakij mvar m porozhnij rozdil 0 unikalnij rozdil 0 Bud yaka napiv standartna tablicya T z formoyu l m z pozitivnimi cilimi zapisami porodzhuye poslidovnist rozdiliv abo diagrami Yunga pochinayuchi z m i beruchi za rozdil i rozmishuyetsya dali v poslidovnosti v yakij diagrama otrimuyetsya z m dodavshi vsi polya sho mistyat znachennya value i v T cej rozdil z chasom staye rivnim l Bud yaka para poslidovnih form u takij poslidovnosti ye asimetrichnoyu formoyu diagrama yakoyi mistit ne bilshe odnogo kodu v kozhnomu stovpchiku taki formi nazivayutsya gorizontalnimi smugami Cya poslidovnist rozdiliv povnistyu viznachaye T i naspravdi mozhna viznachiti napiv standartnoyu tabliceyu yak taki poslidovnosti yak ce robiv Makdonald Macdonald 1979 p 4 Ce viznachennya vklyuchaye rozdili l i m u danih sho mistyat asimetrichnu tablicyu Oglyad programTablici Yunga mayut chislenne zastosuvannya v kombinatorici teoriyi predstavlen ta algebrayichnij geometriyi Rozglyanuto rizni sposobi pidrahunku Tablic Yunga i dovedeno sposib viznachennya ta identifikaciyi dlya funkcij Shura Vidomo bagato kombinatornih algoritmiv na tablicyah v tomu chisli Shyutcenbergera ta en Laskuks i Shyutcenberger vivchali asociativnij produkt na nabori vsih napiv standartnih tablic Yunga nadavshi yim strukturu pid nazvoyu en francuzka le monoide plaxique U teoriyi zobrazhen standartni tablici Yunga z rozmirom k opisuyut osnovi neskorotnih uyavlen simetrichnoyi grupi na k bukv en v kincevomirnomu en zagalnoyi linijnoyi grupi GLn parametrizovana naborom napiv standartnih tablic Yunga fiksovanoyi formi nad alfavitom 1 2 n Ce maye vazhlivi naslidki dlya teoriyi invariantiv pochinayuchi vid roboti Godzha na en grassmanianu yakij dali doslidzhuye Dzhan Karlo Rota z spivavtorami vklyuchayuchi en i en a takozh en en sho opisuye sered inshih rechej rozpad tenzornogo dobutku neskorotnih uyavlen GLn na neskorotni komponenti sformulovano v terminah pevnogo asimetrichnoyi napivstandartnoyi tablici Zastosuvannya do algebrayichnogo centru geometriyi navkolo en na grassmanianah ta en Deyaki vazhlivi klasi gomologiyi mozhut buti predstavleni en ta opisani v terminah tablic Yunga Zastosuvannya v teoriyi zobrazhenDivitsya takozh en Diagrami Yunga znahodyatsya v tisnomu vzayemozv yazku z en simetrichnoyi grupi nad kompleksnimi chislami Voni zabezpechuyut zruchnij sposib viznachennya en z yakih pobudovani en Bagato faktiv pro zobrazhennya mozhna vivesti z vidpovidnoyi diagrami Nizhche mi opisuyemo dva prikladi viznachennya rozmirnosti zobrazhennya ta obmezhennya zobrazhennya V oboh vipadkah mi pobachimo sho deyaki vlastivosti predstavlennya mozhna viznachiti vikoristovuyuchi lishe jogo diagramu Diagrami Yunga takozh parametrizuyut nezvidni polinomialni zobrazhennya zagalnoyi linijnoyi grupi GLn koli voni mayut ne bilshe n neporozhnih ryadkiv abo nezvidni zobrazhennya specialnoyi linijnoyi grupi SLn koli voni mayut ne bilshe n 1 porozhnih ryadkiv abo nezvidni kompleksni zobrazhennya specialnoyi unitarnoyi grupi SUn znovu zh taki koli voni mayut ne bilshe n 1 porozhnih ryadkiv U cih vipadkah centralnu rol vidigraye napiv standartna tablicya z zapisami do n a ne standartna tablicya zokrema ce chislo tih tablic yaki viznachayut rozmir predstavlennya Rozmirnist zobrazhennya Dovzhini gakiv korobok dlya peregorodki 10 5 4 1 Rozmir neskorotnogo predstavlennya pl simetrichnoyi grupi Sn sho vidpovidaye rozbittyu l z n dorivnyuye kilkosti riznih standartnih tablic Yunga yaki mozhna otrimati z diagrami predstavlennya Cej nomer mozhna rozrahuvati za en Gachok z dovzhinoyu gachka hook x komirki x u diagrami Yunga Y l formi l ce chislo komirok sho znahodyatsya v odnomu ryadku sprava vid nogo a takozh ti komirki v tomu zh stovpchiku pid nim plyus odin dlya samoyi komirki Za formuloyu dovzhini gachka rozmir neskorotnogo zobrazhennya n podilena na virib dovzhini gachka vsih komirok u diagrami podannya dim pl n x Y l hook x displaystyle dim pi lambda frac n prod x in Y lambda operatorname hook x Na malyunku pravoruch pokazano dovzhini gakiv dlya vsih komirok na diagrami rozdilu 10 5 4 1 Takim chinom dim pl 10 7 5 4 3 1 5 3 2 1 1 288 displaystyle dim pi lambda frac 10 7 cdot 5 cdot 4 cdot 3 cdot 1 cdot 5 cdot 3 cdot 2 cdot 1 cdot 1 288 Analogichno rozmir neskorotnogo predstavlennya W l GLr sho vidpovidaye rozbittyu l z n z ne bilshe r chastinami ce chislo napivstandartnogo zobrazhennya Yunga u formi l sho mistit lishe zapisi vid 1 do r yake zadayetsya formuloyu dovzhini gachka dim W l i j Y l r j ihook i j displaystyle dim W lambda prod i j in Y lambda frac r j i mathrm hook i j de indeks i daye ryadok i kolonku j komirki Napriklad rozdil 5 4 1 mi otrimuyemo yak rozmir vidpovidnogo neskorotnogo predstavlennya GL7 peremishennya kodiv ryadkami dim W l 7 8 9 10 11 6 7 8 9 57 5 4 3 1 5 3 2 1 1 66528 displaystyle dim W lambda frac 7 cdot 8 cdot 9 cdot 10 cdot 11 cdot 6 cdot 7 cdot 8 cdot 9 cdot 5 7 cdot 5 cdot 4 cdot 3 cdot 1 cdot 5 cdot 3 cdot 2 cdot 1 cdot 1 66528 Obmezheni zobrazhennya Predstavlennya simetrichnoyi grupi na n elementah Sn takozh ye zobrazhennyami simetrichnoyi grupi na n 1 elementa Sn 1 Odnak neprijnyatne zobrazhennya Sn ne mozhe buti neprijnyatnim dlya Sn 1 Natomist ce mozhe buti pryama suma dekilkoh uyavlen yaki neskorotni dlya Sn 1 Ci uyavlennya potim nazivayutsya faktorami en div takozh en Pitannya pro viznachennya cogo rozkladu obmezhenogo predstavlennya danogo nezvidnogo zobrazhennyam Sn sho vidpovidaye rozbittyu l z n vidpovidaye nastupnim chinom Odin z nih utvoryuye nabir vsih diagram Yunga yaki mozhna otrimati z diagrami formi l vidalivshi lishe odnu komirku yaka povinna buti v kinci jogo ryadka ta yiyi stovpchika potim obmezhene predstavlennya rozkladayetsya yak pryama suma nezvidnih predstavlen Sn 1 sho vidpovidayut tim diagramam kozhen z yakih z yavlyayetsya lishe odin raz u sukupnosti Divitsya takozh en en en PrimitkiKnuth Donald E 1973 The Art of Computer Programming Vol III Sorting and Searching vid 2nd Addison Wesley s 48 Such arrangements were introduced by Alfred Young in 1900 Young A 1900 On quantitative substitutional analysis Proceedings of the London Mathematical Society Ser 1 33 1 97 145 doi 10 1112 plms s1 33 1 97 See in particular p 133 For instance the skew diagram consisting of a single square at position 2 4 can be obtained by removing the diagram of m 5 3 2 1 from the one of l 5 4 2 1 but also in infinitely many other ways In general any skew diagram whose set of non empty rows or of non empty columns is not contiguous or does not contain the first row respectively column will be associated to more than one skew shape A somewhat similar situation arises for matrices the 3 by 0 matrix A must be distinguished from the 0 by 3 matrix B since AB is a 3 by 3 zero matrix while BA is the 0 by 0 matrix but both A and B have the same empty set of entries for skew tableaux however such distinction is necessary even in cases where the set of entries is not empty Predrag Cvitanovic 2008 Group Theory Birdtracks Lie s and Exceptional Groups Princeton University Press eq 9 28 and appendix B 4Spisok literaturiWilliam Fulton Young Tableaux with Applications to Representation Theory and Geometry Cambridge University Press 1997 ISBN 0 521 56724 6 Howard Georgi Lie Algebras in Particle Physics 2nd Edition Westview Macdonald I G Symmetric functions and Hall polynomials Oxford Mathematical Monographs The Clarendon Press Oxford University Press Oxford 1979 viii 180 pp ISBN 0 19 853530 9 MR553598 Laurent Manivel Symmetric Functions Schubert Polynomials and Degeneracy Loci American Mathematical Society Jean Christophe Novelli Igor Pak Alexander V Stoyanovkii A direct bijective proof of the Hook length formula 28 serpnya 2017 u Wayback Machine Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 1 1997 pp 53 67 Bruce E Sagan The Symmetric Group Springer 2001 ISBN 0 387 95067 2 2001 Diagrama Yunga u Hazewinkel Michiel red Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Predrag Cvitanovic Group Theory Birdtracks Lie s and Exceptional Groups Princeton University Press 2008 PosilannyaEric W Weisstein Ferrers Diagram 29 serpnya 2017 u Wayback Machine From MathWorld A Wolfram Web Resource Eric W Weisstein Young Tableau 2 grudnya 2017 u Wayback Machine From MathWorld A Wolfram Web Resource Semistandard tableaux 4 serpnya 2018 u Wayback Machine entry in the FindStat 31 zhovtnya 2020 u Wayback Machine database Standard tableaux 22 grudnya 2017 u Wayback Machine entry in the FindStat 31 zhovtnya 2020 u Wayback Machine database