Поде́рний трику́тник (також педа́льний трику́тник і трику́тник проє́кцій) точки відносно - це трикутник, вершинами якого є основи перпендикулярів, опущених із точки на сторони трикутника (або їх продовження).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelJrTDFCbFpHRnNYM1J5YVdkZmFXeHNkWE4wY21GMGFXOXVMbkJ1Wnk4eU1qQndlQzFRWldSaGJGOTBjbWxuWDJsc2JIVnpkSEpoZEdsdmJpNXdibWM9LnBuZw==.png)
Пов'язані визначення
- Описане коло подерного трикутника називають подерним або педальним колом.
- Трикутник із вершинами в інших точках перетину трьох прямих, проведених через вершини подерного трикутника і дану точку
, з описаним колом, називають колово-чевіанним трикутником.
Властивості
- Колово-чевіанний трикутник точки подібний до її подерного трикутника..
- Вершини подерного трикутника ділять три сторони початкового трикутника на шість відрізків так, що сума квадратів трьох з них, які не мають спільних кінців, дорівнює сумі квадратів трьох інших.
- Істинне й зворотне: якщо на трьох сторонах початкового трикутника вибрано три точки так, що вони ділять сторони на шість відрізків, при цьому сума квадратів трьох із них, які не мають спільних кінців, дорівнює сумі квадратів трьох інших, тоді ці три точки є вершинами деякого подерного трикутника. Зокрема:
- три висоти трикутника перетинаються в одній точці (в ортоцентрі);
- три серединних перпендикуляри (медіатриси) до сторін трикутника перетинаються в одній точці (в центрі описаного кола);
- три перпендикуляри до сторін трикутника, проведені в точках їх дотику з трьома зовнівписаними колами, перетинаються в одній точці.
- Істинне й зворотне: якщо на трьох сторонах початкового трикутника вибрано три точки так, що вони ділять сторони на шість відрізків, при цьому сума квадратів трьох із них, які не мають спільних кінців, дорівнює сумі квадратів трьох інших, тоді ці три точки є вершинами деякого подерного трикутника. Зокрема:
Окремі випадки подерних трикутників
Вироджений подерний трикутник
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMelkxTDFCbFpHRnNYMnhwYm1WZmFXeHNkWE4wY21GMGFXOXVMbk4yWnk4eU1qQndlQzFRWldSaGJGOXNhVzVsWDJsc2JIVnpkSEpoZEdsdmJpNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
- Подерний трикутник точки
вироджується в пряму (на малюнку вона синього кольору) тоді і тільки тоді, коли
лежить на описаному колі трикутника
. У цьому випадку пряма, що містить подерний трикутник, називається прямою Сімсона.
Рівносторонній подерний трикутник
- Подерний трикутник точки Аполлонія є рівностороннім трикутником.
Ортоцентричний трикутник як подерний трикутник
- Подерний трикутник ортоцентра є ортоцентричним трикутником.
Серединний трикутник як подерний трикутник
Серединний трикутник (додатковий трикутник) є подерним трикутником центра описаного кола початкового трикутника.
Подерні кола двох ізогонально спряжених точок трикутника
- Дві точки трикутника ізогонально спряжені тоді і тільки тоді, коли добутки трьох їхніх відстаней до трьох сторін трикутника рівні.
- Подерні кола двох ізогонально спряжених точок збігаються.
- Зокрема, подерним колом ортоцентра і центра описаного кола (як двох ізогонально спряжених точок трикутника) є коло Ейлера.
Примітки
- Зетель, 1962, с. 136.
- Задача 108130
- Зетель, 1962, с. 137, п. 126, теорема.
- Зетель, 1962, с. 136, п. 126, обратная теорема.
- Зетель, 1962, с. 97, п. 80.
Література
- Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. — 2-е издание. — М. : Учпедгиз, 1962.
Посилання
- Деякі задачі й теореми про подерний трикутник (рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Pode rnij triku tnik takozh peda lnij triku tnik i triku tnik proye kcij tochki P displaystyle P vidnosno ABC displaystyle triangle ABC ce trikutnik vershinami yakogo ye osnovi perpendikulyariv opushenih iz tochki P displaystyle P na storoni trikutnika ABC displaystyle ABC abo yih prodovzhennya Sinij trikutnik podernij trikutnik tochki P displaystyle P vidnosno chervonogo trikutnikaPov yazani viznachennyaOpisane kolo podernogo trikutnika nazivayut podernim abo pedalnim kolom Trikutnik iz vershinami v inshih tochkah peretinu troh pryamih provedenih cherez vershini podernogo trikutnika i danu tochku P displaystyle P z opisanim kolom nazivayut kolovo cheviannim trikutnikom VlastivostiKolovo cheviannij trikutnik tochki podibnij do yiyi podernogo trikutnika Vershini podernogo trikutnika dilyat tri storoni pochatkovogo trikutnika na shist vidrizkiv tak sho suma kvadrativ troh z nih yaki ne mayut spilnih kinciv dorivnyuye sumi kvadrativ troh inshih Istinne j zvorotne yaksho na troh storonah pochatkovogo trikutnika vibrano tri tochki tak sho voni dilyat storoni na shist vidrizkiv pri comu suma kvadrativ troh iz nih yaki ne mayut spilnih kinciv dorivnyuye sumi kvadrativ troh inshih todi ci tri tochki ye vershinami deyakogo podernogo trikutnika Zokrema tri visoti trikutnika peretinayutsya v odnij tochci v ortocentri tri seredinnih perpendikulyari mediatrisi do storin trikutnika peretinayutsya v odnij tochci v centri opisanogo kola tri perpendikulyari do storin trikutnika provedeni v tochkah yih dotiku z troma zovnivpisanimi kolami peretinayutsya v odnij tochci Okremi vipadki podernih trikutnikivVirodzhenij podernij trikutnik Pryama Simsona trikutnika ABCPodernij trikutnik tochki P displaystyle P virodzhuyetsya v pryamu na malyunku vona sinogo koloru todi i tilki todi koli P displaystyle P lezhit na opisanomu koli trikutnika ABC displaystyle ABC U comu vipadku pryama sho mistit podernij trikutnik nazivayetsya pryamoyu Simsona Rivnostoronnij podernij trikutnik Podernij trikutnik tochki Apolloniya ye rivnostoronnim trikutnikom Ortocentrichnij trikutnik yak podernij trikutnik Podernij trikutnik ortocentra ye ortocentrichnim trikutnikom Seredinnij trikutnik yak podernij trikutnik Seredinnij trikutnik dodatkovij trikutnik ye podernim trikutnikom centra opisanogo kola pochatkovogo trikutnika Poderni kola dvoh izogonalno spryazhenih tochok trikutnikaDvi tochki trikutnika izogonalno spryazheni todi i tilki todi koli dobutki troh yihnih vidstanej do troh storin trikutnika rivni Poderni kola dvoh izogonalno spryazhenih tochok zbigayutsya Zokrema podernim kolom ortocentra i centra opisanogo kola yak dvoh izogonalno spryazhenih tochok trikutnika ye kolo Ejlera PrimitkiZetel 1962 s 136 Zadacha 108130 Zetel 1962 s 137 p 126 teorema Zetel 1962 s 136 p 126 obratnaya teorema Zetel 1962 s 97 p 80 LiteraturaZetel S I Novaya geometriya treugolnika Posobie dlya uchitelej 2 e izdanie M Uchpedgiz 1962 PosilannyaDeyaki zadachi j teoremi pro podernij trikutnik ros