Перетворення Лапласа

Перетворення Лапла́са — інтегральне перетворення, що пов'язує функцію ${\displaystyle \ F(s)}$ комплексної змінної (зображення) з функцією ${\displaystyle \ f(x)}$ дійсної змінної (оригінал). За його допомогою досліджують властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.

Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке поширення в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають простіші співвідношення між їхніми зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.

Означення

Пряме перетворення Лапласа

Перетворенням Лапласа функції дійсної змінної ${\displaystyle \ f(x)}$, називається функція ${\displaystyle \ F(s)}$ комплексної змінної ${\displaystyle s=\sigma +i\omega \,}$, така що:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{0^{.}}^{\infty }\limits \!e^{-st}f(t)\,dt.}$

Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа.

Обернене перетворення Лапласа

Оберненим перетворенням Лапласа функції комплексної змінної ${\displaystyle \ F(s)}$, називається функція ${\displaystyle \ f(x)}$ дійсної змінної, така що:

${\displaystyle f(x)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\sigma _{1}-i\cdot \infty }^{\sigma _{1}+i\cdot \infty }\limits \!e^{sx}F(s)\,ds,}$

де ${\displaystyle \sigma _{1}\ }$ — деяке дійсне число. Права частина цього виразу називається інтегралом Бромвіча.

Двостороннє перетворення Лапласа

Докладніше: Двостороннє перетворення Лапласа

Двостороннє перетворення Лапласа визначається таким чином:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\limits \!e^{-sx}f(x)\,dx.}$

Дискретне перетворення Лапласа

Розрізняють ${\displaystyle \ D}$-перетворення і ${\displaystyle \ Z}$-перетворення.

• ${\displaystyle \ D}$-перетворення

Нехай ${\displaystyle x_{d}\left({t}\right)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{x\left({nT}\right)\cdot \delta \left({t-nT}\right)}}$ — дискретна функція, тобто значення цієї функції визначені тільки в дискретні моменти часу ${\displaystyle \ nT}$, де ${\displaystyle \ n}$ — ціле число, а ${\displaystyle \ T}$ — період дискретизації.
Тоді, застосовуючи перетворення Лапласа, одержуємо:
${\displaystyle {\mathcal {D}}\left\{{x_{d}\left(t\right)}\right\}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{x\left({nT}\right)\cdot e^{-snT}}}$

• ${\displaystyle \ Z}$-перетворення

Якщо використати наведену заміну змінних:
${\displaystyle \ z=e^{sT}}$,
одержимо Z-перетворення:
${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{{x_{d}\left({t}\right)}\right\}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{x\left({nT}\right)\cdot z^{-n}}}$

Властивості

• Абсолютна збіжність

Якщо інтеграл Лапласа є абсолютно збіжним при ${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}}$, тобто існує границя

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int \limits _{0}^{b}\limits \!|f(x)|e^{-\sigma _{0}x}\,dx=\int \limits _{0}^{\infty }\limits \!|f(x)|e^{-\sigma _{0}x}\,dx}$,

то він є збіжним абсолютно і рівномірно для ${\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _{0}}$ і ${\displaystyle F(s)}$ — аналітична функція при ${\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _{0}}$ (${\displaystyle \sigma =\operatorname {\mathrm {Re} } \,s}$ — дійсна частина комплексної змінної ${\displaystyle s}$). Точна нижня грань ${\displaystyle \sigma _{a}}$ множини чисел ${\displaystyle \sigma }$, при яких ця умова виконується, називається абсцисою абсолютної збіжності перетворення Лапласа для функції ${\displaystyle f(x)}$.

• Достатні умови існування прямого перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(x)\}}$ існує в сенсі абсолютної збіжності в наступних випадках:

1. Випадок ${\displaystyle \sigma \geqslant 0}$: перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\limits \!|f(x)|\,dx}$
2. Випадок ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}$: перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл ${\displaystyle \int \limits _{0}^{x_{1}}\limits \!|f(x)|\,dx}$ існує для кожного скінченного ${\displaystyle x_{1}>0}$ и ${\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^{\sigma _{a}x}}$ для ${\displaystyle x>x_{2}\geqslant 0}$
3. Випадок ${\displaystyle \sigma >0}$ або ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}$ (яка із границь більша): перетворення Лапласа існує,якщо існує перетворення Лапласа для функції ${\displaystyle f'(x)}$ (похідна до ${\displaystyle f(x)}$) для ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}$.

• Достатані умови існування оберненого перетворення Лапласа

1. Якщо ${\displaystyle F(s)}$ — аналітична функція для ${\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _{a}}$ і має порядок менше −1, то обернене перетворення для неї існує і є неперервним для всіх значень аргумента, причому ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=0}$ для ${\displaystyle t\leqslant 0}$

2. Нехай ${\displaystyle F(s)=\varphi [F_{1}(s),F_{2}(s),\dots ,F_{n}(s)]}$, так щоб ${\displaystyle \varphi (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})}$ аналітична відносно кожного ${\displaystyle z_{k}}$ і рівна нулю для ${\displaystyle z_{1}=z_{2}=\dots =z_{n}=0}$, і ${\displaystyle F_{k}(s)={\mathcal {L}}\{f_{k}(x)\{(\sigma >\sigma _{ak}\colon k=1,2,\dots ,n)}$, тоді обернене перетворення існує і відповідне пряме перетворення має абсцису абсолютної збіжності.

• Теорема про згортку

Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{g(x)\}}$

• Множення зображень

${\displaystyle f(x)g(0)+\int \limits _{0}^{x}\limits \!f(x-\tau )g'(\tau )\,d\tau ={\mathcal {L}}^{-1}\{sF(s)G(s)\}}$

Ліва частина цього виразу називається .

• Диференціювання і інтегрування оригіналу

Для перетворення Лапласа від похідної функції виконується рівність:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^{+})}$

Для похідної ${\displaystyle n}$-го порядку:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(x)\right\}=s^{n}\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+})-\dots -f^{(n-1)}(0^{+})}$

Перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{x}\limits \!f(t)\,dt\right\}={\frac {F(s)}{s}}}$

• Дифренціювання та інтегрування зображення

Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F'(s)\}=-xf(x)}$

Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{\int \limits _{s}^{+\infty }\limits \!F(s)\,ds\right\}={\frac {f(x)}{x}}}$

• Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми

Запізнення зображень:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{e^{ax}f(x)\right\}=F(s-a)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s-a)\right\}=e^{ax}f(x)}$

Запізнення оригіналів:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(x-a)u(x-a)}$

де ${\displaystyle u(x)}$ — Функція Гевісайда.

• Інші властивості

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(x)+bg(x)\right\}=aF(s)+bG(s)}$

Множення на число

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(ax)\right\}={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right)}$

Пряме і обернене перетворення Лапласа деяких функцій

№	Функція	Часова область ${\displaystyle x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}}$	Частотна область ${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}$	Область збіжності
1	ідеальне запізнення	${\displaystyle \delta (t-\tau )\ }$	${\displaystyle e^{-\tau s}\ }$
1a	одиничний імпульс	${\displaystyle \delta (t)\ }$	${\displaystyle 1\ }$	${\displaystyle \forall \ s\,}$
2	запізнення n-го порядку з частотним зсувом	${\displaystyle {\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle s>0\,}$
2a	степенева n-го порядку	${\displaystyle {t^{n} \over n!}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{n+1}}}$	${\displaystyle s>0\,}$
2a.1	степенева q-го порядку	${\displaystyle {t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{q+1}}}$	${\displaystyle s>0\,}$
2a.2	одинична функція	${\displaystyle u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s}}$	${\displaystyle s>0\,}$
2b	одинична функція з запізненням	${\displaystyle u(t-\tau )\ }$	${\displaystyle {e^{-\tau s} \over s}}$	${\displaystyle s>0\,}$
2c	«сходинка швидкості»	${\displaystyle t\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$	${\displaystyle s>0\,}$
2d	n-го порядку з частотним зсувом	${\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle s>-\alpha \,}$
2d.1	експоненційне затухання	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s+\alpha }}$	${\displaystyle s>-\alpha \ }$
3	експоненційне наближення	${\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}$	${\displaystyle s>0\ }$
4	синус	${\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle s>0\ }$
5	косинус	${\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle s>0\ }$
6	гіперболічний синус	${\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle s>|\alpha |\ }$
7	гіперболічний косинус	${\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle s>|\alpha |\ }$
8	експоненційно затухаючий синус	${\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle s>-\alpha \ }$
9	експоненційно затухаючий косинус	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle s>-\alpha \ }$
10	корінь n-го порядку	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}$	${\displaystyle s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$	${\displaystyle s>0\,}$
11	натуральний логарифм	${\displaystyle \ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]}$	${\displaystyle s>0\,}$
12	функція Бесселя першого роду порядку n	${\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}$	${\displaystyle s>0\,}$ ${\displaystyle (n>-1)\,}$
13	модифікована функція Бесселя першого роду порядку n	${\displaystyle I_{n}(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}}$	${\displaystyle s>|\omega |\,}$
14	функція Бесселя другого роду нульового порядку	${\displaystyle Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)}$
15	модифікована функція Бесселя другого роду, нульового порядку	${\displaystyle K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)}$
16	функція помилок	${\displaystyle \mathrm {erf} (t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}}$	${\displaystyle s>0\,}$
Примітки до таблиці: ${\displaystyle u(t)\,}$ — Функція Гевісайда. ${\displaystyle \delta (t)\,}$ — дельта-функція. ${\displaystyle \Gamma (z)\,}$ — гамма-функція. ${\displaystyle \gamma \,}$ — стала Ейлера — Маскероні. ${\displaystyle t\,}$, — дійсна змінна. ${\displaystyle s\,}$ — комплексна змінна. ${\displaystyle \alpha \,}$, ${\displaystyle \beta \,}$, ${\displaystyle \tau \,}$ и ${\displaystyle \omega \,}$ — дійсні числа. ${\displaystyle n\,}$ — ціле число.

Застосування перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа широко використовується в математиці, фізиці і техніці.

• Розв'язок систем диференціальних і інтегральних рівнянь — за допомогою перетворення Лапласа легко переходити від складних понять математичного аналізу до простіших алгебраїчних відношень.
• Розрахунок вихідних сигналів динамічних систем в теорії управління і .
• Розрахунок електричних схем за допомогою операторного методу.
• Розв'язок нестаціонарних задач математичної фізики.

Література

• Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
• Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
• Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
• Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
• Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
• Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.

Інтернет-ресурси

• Операційне числення . Перетворення Лапласа.

Див. також

• Перетворення Фур'є
• Диференціальні рівняння
• Перетворення Мелліна