Гіперболі́чні фу́нкції — сімейство елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язані з тригонометричними функціями.
Визначення
Гіперболічні функції задаються такими формулами:
- гіперболічний синус:
- (в іноземній літературі позначається ).
Існує сленгова назва: «шинус».
- гіперболічний косинус:
- (в іноземній літературі позначається ).
Існує сленгова назва: «чосинус», «кошинус».
Лінію гіперболічного косинуса називають ланцюговою, бо саме таку форму приймає ланцюг або мотузка, яку підвісили за обидва кінці в однорідному гравітаційному полі.
- гіперболічний тангенс:
- (в іноземній літературі позначається ).
Існують сленгові назви: «щангенс», «цангенс».
Іноді також визначається
- гіперболічний котангенс:
- ,
- гіперболічні секанс і косеканс:
- ,
- .
Властивості
Зв'язок з тригонометричними функціями
Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від уявного аргументу.
.
.
Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції та гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.
Важливі тотожності
- .
- Парність:
- ,
- ,
- .
- Формули додавання:
- ,
- ,
- .
- Формули подвоєного кута:
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
- Формули кратних кутів:
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
- Добуток
- ,
- ,
- ,
- .
- Суми
- ,
- ,
- ,
- .
- Формули пониження степеня
- ,
- .
- Похідні:
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
- Інтеграли:
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
- Дивись також: Таблиця інтегралів гіперболічних функцій, Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій
Нерівності
При всіх виконується
- ,
- .
Розкладання в степеневі ряди
- ,
- ,
- ,
- (Ряд Лорана).
Тут — числа Бернуллі.
Графіки
Аналітичні властивості
Гіперболічний синус і гіперболічний косинус аналітичний у всій комплексній площині, за винятком істотно особливої точки на нескінченності. Гіперболічний тангенс аналітичний скрізь, окрім полюсів в точках , де — ціле. Лишки у всіх цих полюсах рівні одиниці. Гіперболічний котангенс аналітичний скрізь, окрім точок , лишки в цих полюсах також рівні одиниці.
Див. також
Посилання
- Гіперболічні функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 184. — 594 с.
- . www.math10.com. Архів оригіналу за 20 липня 2021. Процитовано 20 липня 2021. (рос.)
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Ця стаття не містить . (жовтень 2014) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Giperboli chni fu nkciyi simejstvo elementarnih funkcij yaki virazhayutsya cherez eksponentu i tisno pov yazani z trigonometrichnimi funkciyami sh ch ta thViznachennyaViznachennya giperbolichnih funkcij cherez giperbolu Giperbolichni funkciyi zadayutsya takimi formulami giperbolichnij sinus s h x e x e x 2 displaystyle mathop mathrm sh x frac e x e x 2 v inozemnij literaturi poznachayetsya sinh x displaystyle sinh x Isnuye slengova nazva shinus giperbolichnij kosinus c h x e x e x 2 displaystyle mathop mathrm ch x frac e x e x 2 v inozemnij literaturi poznachayetsya cosh x displaystyle cosh x Isnuye slengova nazva chosinus koshinus Liniyu giperbolichnogo kosinusa nazivayut lancyugovoyu bo same taku formu prijmaye lancyug abo motuzka yaku pidvisili za obidva kinci v odnoridnomu gravitacijnomu poli giperbolichnij tangens t h x s h x c h x displaystyle mathop mathrm th x frac mathop mathrm sh x mathop mathrm ch x v inozemnij literaturi poznachayetsya tanh x displaystyle tanh x Isnuyut slengovi nazvi shangens cangens Inodi takozh viznachayetsya giperbolichnij kotangens c t h x 1 t h x displaystyle mathop mathrm cth x frac 1 mathop mathrm th x giperbolichni sekans i kosekans s e c h x 1 c h x displaystyle mathop mathrm sech x frac 1 mathop mathrm ch x c s c h x 1 s h x displaystyle mathop mathrm csch x frac 1 mathop mathrm sh x VlastivostiOdin zi sposobiv viznachennya trigonometrichnih funkcij cherez odinichne kolo Zv yazok z trigonometrichnimi funkciyami Giperbolichni funkciyi virazhayutsya cherez trigonometrichni funkciyi vid uyavnogo argumentu sh x i sin i x ch x cos i x th x i tg i x displaystyle operatorname sh x i sin ix quad operatorname ch x cos ix quad operatorname th x i operatorname tg ix sh i x i sin x ch i x cos x th i x i tg x displaystyle operatorname sh ix i operatorname sin x quad operatorname ch ix cos x quad operatorname th ix i operatorname tg x Funkciya Gudermana zv yazuye trigonometrichni funkciyi ta giperbolichni funkciyi bez zaluchennya kompleksnih chisel Vazhlivi totozhnosti ch 2 x sh 2 x 1 displaystyle operatorname ch 2 x operatorname sh 2 x 1 Parnist sh x sh x displaystyle operatorname sh x operatorname sh x ch x ch x displaystyle operatorname ch x operatorname ch x th x th x displaystyle operatorname th x operatorname th x Formuli dodavannya sh x y sh x ch y sh y ch x displaystyle operatorname sh x pm y operatorname sh x operatorname ch y pm operatorname sh y operatorname ch x ch x y ch x ch y sh y sh x displaystyle operatorname ch x pm y operatorname ch x operatorname ch y pm operatorname sh y operatorname sh x th x y th x th y 1 th x th y displaystyle operatorname th x pm y frac operatorname th x pm operatorname th y 1 pm operatorname th x operatorname th y Formuli podvoyenogo kuta sh 2 x 2 ch x sh x 2 th x 1 th 2 x displaystyle operatorname sh 2x 2 operatorname ch x operatorname sh x frac 2 operatorname th x 1 operatorname th 2 x ch 2 x ch 2 x sh 2 x 2 ch 2 x 1 1 2 sh 2 x 1 th 2 x 1 th 2 x displaystyle operatorname ch 2x operatorname ch 2 x operatorname sh 2 x 2 operatorname ch 2 x 1 1 2 operatorname sh 2 x frac 1 operatorname th 2 x 1 operatorname th 2 x th 2 x 2 th x 1 th 2 x displaystyle operatorname th 2x frac 2 operatorname th x 1 operatorname th 2 x cth 2 x 1 2 th x cth x displaystyle operatorname cth 2x frac 1 2 operatorname th x operatorname cth x th x ch 2 x 1 sh 2 x sh 2 x 1 ch 2 x displaystyle operatorname th x frac operatorname ch 2x 1 operatorname sh 2x frac operatorname sh 2x 1 operatorname ch 2x ch 2 x sh 2 x sh x ch x 2 displaystyle operatorname ch 2x pm operatorname sh 2x operatorname sh x pm operatorname ch x 2 Formuli kratnih kutiv sh 3 x 4 sh 3 x 3 sh x displaystyle operatorname sh 3x 4 operatorname sh 3 x 3 operatorname sh x ch 3 x 4 ch 3 x 3 ch x displaystyle operatorname ch 3x 4 operatorname ch 3 x 3 operatorname ch x th 3 x th x 3 th 2 x 1 3 th 2 x displaystyle operatorname th 3x operatorname th x frac 3 operatorname th 2 x 1 3 operatorname th 2 x sh 5 x 16 sh 5 x 20 sh 3 x 5 sh x displaystyle operatorname sh 5x 16 operatorname sh 5 x 20 operatorname sh 3 x 5 operatorname sh x ch 5 x 16 ch 5 x 20 ch 3 x 5 ch x displaystyle operatorname ch 5x 16 operatorname ch 5 x 20 operatorname ch 3 x 5 operatorname ch x th 5 x th x th 4 x 10 th 2 x 5 5 th 4 x 10 th 2 x 1 displaystyle operatorname th 5x operatorname th x frac operatorname th 4 x 10 operatorname th 2 x 5 5 operatorname th 4 x 10 operatorname th 2 x 1 Dobutok sh x sh y ch x y ch x y 2 displaystyle operatorname sh x operatorname sh y frac operatorname ch x y operatorname ch x y 2 sh x ch y sh x y sh x y 2 displaystyle operatorname sh x operatorname ch y frac operatorname sh x y operatorname sh x y 2 ch x ch y ch x y ch x y 2 displaystyle operatorname ch x operatorname ch y frac operatorname ch x y operatorname ch x y 2 th x th y ch x y ch x y ch x y ch x y displaystyle operatorname th x operatorname th y frac operatorname ch x y operatorname ch x y operatorname ch x y operatorname ch x y Sumi sh x sh y 2 sh x y 2 ch x y 2 displaystyle operatorname sh x pm operatorname sh y 2 operatorname sh frac x pm y 2 operatorname ch frac x mp y 2 ch x ch y 2 ch x y 2 ch x y 2 displaystyle operatorname ch x operatorname ch y 2 operatorname ch frac x y 2 operatorname ch frac x y 2 ch x ch y 2 sh x y 2 sh x y 2 displaystyle operatorname ch x operatorname ch y 2 operatorname sh frac x y 2 operatorname sh frac x y 2 th x th y sh x y ch x ch y displaystyle operatorname th x pm operatorname th y frac operatorname sh x pm y operatorname ch x operatorname ch y Formuli ponizhennya stepenya ch 2 x 2 ch x 1 2 displaystyle operatorname ch 2 frac x 2 frac operatorname ch x 1 2 sh 2 x 2 ch x 1 2 displaystyle operatorname sh 2 frac x 2 frac operatorname ch x 1 2 Pohidni sh x ch x displaystyle operatorname sh x prime operatorname ch x ch x sh x displaystyle operatorname ch x prime operatorname sh x th x 1 ch 2 x displaystyle operatorname th x prime frac 1 operatorname ch 2 x sh x 0 x ch t d t displaystyle operatorname sh x int limits 0 x operatorname ch tdt ch x 1 0 x sh t d t displaystyle operatorname ch x 1 int limits 0 x operatorname sh tdt th x 0 x d t ch 2 t displaystyle operatorname th x int limits 0 x frac dt operatorname ch 2 t Integrali sh x d x ch x C displaystyle int operatorname sh x dx operatorname ch x C ch x d x sh x C displaystyle int operatorname ch x dx operatorname sh x C th x d x ln ch x C displaystyle int operatorname th x dx ln operatorname ch x C 1 ch 2 x d x th x C displaystyle int frac 1 operatorname ch 2 x dx operatorname th x C 1 sh 2 x d x cth x C displaystyle int frac 1 operatorname sh 2 x dx operatorname cth x C Divis takozh Tablicya integraliv giperbolichnih funkcij Tablicya integraliv obernenih giperbolichnih funkcij Nerivnosti Pri vsih x R displaystyle x in mathbb R vikonuyetsya 0 ch x 1 sh x lt ch x displaystyle 0 leq operatorname ch x 1 leq operatorname sh x lt operatorname ch x th x lt 1 displaystyle operatorname th x lt 1 Rozkladannya v stepenevi ryadi sh x x x 3 3 x 5 5 x 7 7 n 0 x 2 n 1 2 n 1 displaystyle operatorname sh x x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 ldots sum n 0 infty frac x 2n 1 2n 1 ch x 1 x 2 2 x 4 4 x 6 6 n 0 x 2 n 2 n displaystyle operatorname ch x 1 frac x 2 2 frac x 4 4 frac x 6 6 ldots sum n 0 infty frac x 2n 2n th x x x 3 3 2 x 5 15 17 x 7 315 n 1 1 n 1 2 2 n 2 2 n 1 B 2 n x 2 n 1 2 n x lt p 2 displaystyle operatorname th x x frac x 3 3 frac 2x 5 15 frac 17x 7 315 ldots sum n 1 infty frac 1 n 1 2 2n 2 2n 1 B 2n x 2n 1 2n quad x lt frac pi 2 cth x 1 x x 3 x 3 45 2 x 5 945 1 x n 1 1 n 1 2 2 n B 2 n x 2 n 1 2 n 0 lt x lt p displaystyle operatorname cth x frac 1 x frac x 3 frac x 3 45 frac 2x 5 945 ldots frac 1 x sum n 1 infty frac 1 n 1 2 2n B 2n x 2n 1 2n quad 0 lt x lt pi Ryad Lorana Tut B 2 n displaystyle B 2n chisla Bernulli Grafiki sh x ch x th x cth x Analitichni vlastivosti Giperbolichnij sinus i giperbolichnij kosinus analitichnij u vsij kompleksnij ploshini za vinyatkom istotno osoblivoyi tochki na neskinchennosti Giperbolichnij tangens analitichnij skriz okrim polyusiv v tochkah z i p n 1 2 displaystyle z i pi n tfrac 1 2 de n displaystyle n cile Lishki u vsih cih polyusah rivni odinici Giperbolichnij kotangens analitichnij skriz okrim tochok z i p n displaystyle z i pi n lishki v cih polyusah takozh rivni odinici Div takozhOberneni giperbolichni funkciyiPosilannyaGiperbolichni funkciyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 184 594 s www math10 com Arhiv originalu za 20 lipnya 2021 Procitovano 20 lipnya 2021 ros Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno zhovten 2014