Нільпотентний ідеал

Нільпотентний ідеал — односторонній або двосторонній ідеал I кільця або напівгрупи з нулем А такий, що для деякого натурального k виконується I^k = {0}, тобто добуток будь-яких k елементів ідеалу I рівний нулю.

Приклади

• В ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ кільці лишків по модулю pⁿ, де p — деяке просте число, всі ідеали окрім самого кільця, нільпотентні.
• У груповому кільці F_p[G] скінченної р-групи G над полем з р елементів ідеал, породжений елементами виду а-1 де ${\displaystyle a\in G}$, є нільпотентним.
• У кільці верхніх трикутних матриць над деяким полем матриці, у яких на головній діагоналі елементи рівні нулю, утворюють нільпотентний ідеал.

Властивості

Будь-який елемент нільпотентного ідеалу є нільпотентним. Будь-який нільпотентний ідеал є одночасно нільідеалом і міститься в радикалі Джекобсона кільця. У правих (лівих, двосторонніх) кільцях Артіна радикал Джекобсона є нільпотентним, і поняття нільпотентного ідеалу і нільідеалу збігаються. Остання властивість справедлива і для правих (лівих, двосторонніх) кілець Нетер (теорема Левицького).

Всі нільпотентні ідеали комутативного кільця містяться в нільрадикалі, який в загальному випадку може бути не нільпотентним, а лише нільідеалом. Простим прикладом є пряма сума кілець ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ по всім натуральним n. У комутативному кільці будь-який нільпотентний елемент а міститься в деякому нільпотентному ідеалі, наприклад, в головному ідеалі, породженому а. У некомутативному кільці можуть існувати нільпотентні елементи, що не містяться в жодному нільпотентному ідеалі (і навіть нільідеалі). Наприклад, в повному кільці матриць над полем є нільпотентні елементи, зокрема матриці, у яких ненульові елементи стоять тільки над головною діагоналлю але це кільце є простим і, отже, не має ненульових нільпотентних ідеалів.

В скінченновимірній алгебрі Лі G існує максимальний нільпотентний ідеал, елементи якого ${\displaystyle x\in G}$, такі що ендоморфізм ${\displaystyle y\to [x,y]}$ для ${\displaystyle y\in G}$ є нільпотентним.

Література

• Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976.
• Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961;
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
• Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1, М., 1977;
• Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972;