Нескінченна множина

Нескінченна множина — множина, що не є скінченною. Можна дати ще декілька еквівалентних означень нескінченної множини:

• Множина, в якій для будь-якого натурального числа ${\displaystyle n}$ знайдеться скінченна підмножина із ${\displaystyle n}$ елементів.
• Множина, в якій знайдеться зліченна підмножина.
• Множина, в якій знайдеться підмножина, рівнопотужна деякому (ненульовому) граничному ординалу.
• Множина, для якої існує бієкція з деякою його власною підмножиною.

Для будь-якої нескінченної множини існує множина з ще більшою потужністю — таким чином, не існує нескінченної множини найбільшої потужності. Потужності нескінченних множин називаються алефами і позначаються ${\displaystyle \aleph _{\alpha },}$ де індекс ${\displaystyle \alpha }$ пробігає всі порядкові числа. Потужності нескінченних множин складають цілком упорядкований клас — найменшою потужністю нескінченної множини є ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ((алеф-0), потужність множини натуральних чисел), за ним слідують ${\displaystyle \aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\dots \aleph _{\omega _{1}},\dots \aleph _{\omega _{\omega _{1}}},\dots }$

Приклади

• Множини натуральних чисел ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — є нескінченними множинами.
• Множина функцій ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ є нескінченною.
• Упорядкована нескінченна множина може мати «кінці» (мінімальний і максимальний елементи) — наприклад, множина раціональних чисел на відрізку ${\displaystyle [0,1].}$
• Сукупність усіх нескінченних підмножин зліченної множини є незліченною нескінченною множиною.

Див. також

• Нескінченність
• Потужність множини
• Аксіоматика теорії множин
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Континуум
• Континуум-гіпотеза

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)