Мартинга́л в теорії ймовірностей — це випадковий процес, математичне сподівання якого в майбутній час рівне значенню процесу в цей час. Теорія мартингалів є одним з основних розділів сучасної теорії ймовірностей і має широке застосування у стохастичному моделюванні, зокрема у сфері фінансів.
Мартингали з дискретним часом
- Послідовність випадкових величин називається мартинга́лом з дискретним часом, якщо виконуються умови
- ;
- .
- Нехай задана також інша послідовність мартингалів . Тоді послідовність випадкових величин називається мартингалом відносно або -мартингалом, якщо
- ;
- .
- Найбільш загально нехай — ймовірнісний простір і задана на ньому фільтрація. Тоді послідовність випадкових величин називається мартингалом, якщо виконуються умови:
- Процес є узгодженим з фільтрацією .
- ;
- .
Виконуються також і загальніші властивості. Якщо m < n тоді:
- .
Мартингали з неперервним часом
Нехай задано ймовірнісний простір з заданою на ньому фільтрацією , де . Тоді випадковий процес називається мартингалом відносно , якщо
- вимірна відносно для довільного .
- .
- .
Якщо як взята природна фільтрація , то називається просто мартингалом.
Суб(супер)мартингали
- Нехай задана послідовність випадкових величин . Тоді послідовність випадкових величин називається су́б(су́пер)мартингалом відносно , якщо
- Випадковий процес називається суб(супер)мартингалом відносно , якщо
- вимірна відносно для довільного .
- .
- .
Якщо як взята природна фільтрація , то називається просто суб(супер)мартингалом.
Властивості
- Якщо — мартингал, то .
- Якщо — субмартингал, то — супермартингал.
- Якщо є мартингалом, а — опукла функція, то — субмартингал. Якщо — вгнута функція, то — супермартингал.
Приклади
- Вінерівський процес є мартингалом.
- Якщо { Nt : t ≥ 0 } є Пуассонівським процесом з параметроом λ, тоді випадковий процес { Nt − λt : t ≥ 0 } є мартингалом з неперервним часом.
- Мартингал Дуба
- Мартингал де Муавра
Джерела
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — 2-е. — Москва : Наука, 1977. — 567 с.(рос.)
- G. Grimmett and D. Stirzaker, Probability and Random Processes, 3rd edition, Oxford University Press, 2001,
- David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991,
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Martingal znachennya Martinga l v teoriyi jmovirnostej ce vipadkovij proces matematichne spodivannya yakogo v majbutnij chas rivne znachennyu procesu v cej chas Teoriya martingaliv ye odnim z osnovnih rozdiliv suchasnoyi teoriyi jmovirnostej i maye shiroke zastosuvannya u stohastichnomu modelyuvanni zokrema u sferi finansiv Martingali z diskretnim chasomPoslidovnist vipadkovih velichin Xn n N displaystyle X n n in mathbb N nazivayetsya martinga lom z diskretnim chasom yaksho vikonuyutsya umoviE Xn lt n N displaystyle mathsf E X n lt infty quad n in mathbb N E Xn 1 X1 Xn Xn n N displaystyle mathsf E X n 1 mid X 1 ldots X n X n quad n in mathbb N Nehaj zadana takozh insha poslidovnist martingaliv Yn n N displaystyle Y n n in mathbb N Todi poslidovnist vipadkovih velichin Xn n N displaystyle X n n in mathbb N nazivayetsya martingalom vidnosno Yn displaystyle Y n abo Yn displaystyle Y n martingalom yakshoE Xn lt n N displaystyle mathsf E X n lt infty quad n in mathbb N E Xn 1 Y1 Yn Xn n N displaystyle mathsf E X n 1 mid Y 1 ldots Y n X n quad n in mathbb N Najbilsh zagalno nehaj W F P displaystyle Omega mathcal F mathbb P jmovirnisnij prostir i Fn n N displaystyle mathcal F n n in mathbb N zadana na nomu filtraciya Todi poslidovnist vipadkovih velichin Xn n N displaystyle X n n in mathbb N nazivayetsya martingalom yaksho vikonuyutsya umovi Proces Xn n N displaystyle X n n in mathbb N ye uzgodzhenim z filtraciyeyu Fn n N displaystyle mathcal F n n in N E Xn lt n N displaystyle mathsf E X n lt infty quad n in mathbb N E Xn 1 Fn Xn n N displaystyle mathsf E X n 1 mid mathcal F n X n quad n in mathbb N Vikonuyutsya takozh i zagalnishi vlastivosti Yaksho m lt n todi E Xn Fm Xm displaystyle mathsf E X n mid mathcal F m X m Martingali z neperervnim chasomNehaj zadano jmovirnisnij prostir W F P displaystyle Omega mathcal F mathbb P z zadanoyu na nomu filtraciyeyu Ft t T displaystyle mathcal F t t in T de T R displaystyle T subset mathbb R Todi vipadkovij proces Xt t T displaystyle X t t in T nazivayetsya martingalom vidnosno Ft displaystyle mathcal F t yaksho Xt displaystyle X t vimirna vidnosno Ft displaystyle mathcal F t dlya dovilnogo t T displaystyle t in T E Xt lt t T displaystyle mathsf E X t lt infty quad t in T E Xt Fs Xs s t T s t displaystyle mathsf E X t mid mathcal F s X s quad forall s t in T s leq t Yaksho yak Ft displaystyle mathcal F t vzyata prirodna filtraciya Ft s Xs s t displaystyle mathcal F t sigma X s mid s leq t to Xt displaystyle X t nazivayetsya prosto martingalom Sub super martingaliNehaj zadana poslidovnist vipadkovih velichin Yn n N displaystyle Y n n in mathbb N Todi poslidovnist vipadkovih velichin Xn n N displaystyle X n n in mathbb N nazivayetsya su b su per martingalom vidnosno Yn displaystyle Y n yakshoE Xn lt n N displaystyle mathsf E X n lt infty quad n in mathbb N E Xn 1 Y1 Yn Xn n N displaystyle mathsf E X n 1 mid Y 1 ldots Y n geq leq X n quad n in mathbb N Vipadkovij proces Xt t T T R displaystyle X t t in T T subset mathbb R nazivayetsya sub super martingalom vidnosno Ft displaystyle mathcal F t yakshoXt displaystyle X t vimirna vidnosno Ft displaystyle mathcal F t dlya dovilnogo t T displaystyle t in T E Xt lt t T displaystyle mathsf E X t lt infty quad t in T E Xt Fs Xs s t T s t displaystyle mathsf E X t mid mathcal F s geq leq X s quad forall s t in T s leq t Yaksho yak Ft displaystyle mathcal F t vzyata prirodna filtraciya Ft s Xs s t displaystyle mathcal F t sigma X s mid s leq t to Xt displaystyle X t nazivayetsya prosto sub super martingalom VlastivostiYaksho Xt displaystyle X t martingal to EXt const displaystyle mathsf E X t mathrm const Yaksho Xt displaystyle X t submartingal to Xt displaystyle X t supermartingal Yaksho Xt displaystyle X t ye martingalom a f R R displaystyle f mathbb R to mathbb R opukla funkciya to f Xt displaystyle f X t submartingal Yaksho f displaystyle f vgnuta funkciya to f Xt displaystyle f X t supermartingal PrikladiVinerivskij proces ye martingalom Yaksho Nt t 0 ye Puassonivskim procesom z parametroom l todi vipadkovij proces Nt lt t 0 ye martingalom z neperervnim chasom Martingal Duba Martingal de MuavraDzherelaKartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros Gihman I I Skorohod A V Vvedenie v teoriyu sluchajnyh processov 2 e Moskva Nauka 1977 567 s ros G Grimmett and D Stirzaker Probability and Random Processes 3rd edition Oxford University Press 2001 ISBN 0 19 857223 9 David Williams Probability with Martingales Cambridge University Press 1991 ISBN 0 521 40605 6