Лемніскатна стала

Не плутати з ^[en].

В математиці стала Гаусса (позначається як ${\displaystyle G}$) визначається як обернене середнє арифметико-геометричне з 1 та квадратного кореня з 2:

Стала Гаусса
Названо на честь	Карл Фрідріх Гаус
Числове значення	0,8346268 ± 1,0E−7
Формула	${\displaystyle G={\frac {1}{\operatorname {agm} (1,{\sqrt {2}})}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$
Підтримується Вікіпроєктом

${\displaystyle {\displaystyle G={\frac {1}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {2}}\right)}}=0{,}8346268\dots .}}$

Стала була названа на честь Карла Фрідріха Гаусса, який у 1799 році довів, що

${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{4}}}},}$

а отже

${\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right),}$

де ${\displaystyle B}$ позначає бета-функцію.

Зв'язок з іншими сталими

Стала Гаусса може бути використана для обчислення гамма-функції при значенні аргументу 1/4:

${\displaystyle {\displaystyle \Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}.}$

Альтернативний варіант:

${\displaystyle {\displaystyle G={\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}{}^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}},}$

і, оскільки ${\displaystyle \pi }$ та ${\displaystyle \Gamma {\big (}{\tfrac {1}{4}}{\big )}}$ алгебраїчно незалежні, то стала Гаусса є трансцендентною.

Лемніскатні сталі

Стала Гаусса може бути використана для визначення лемніскатних сталих.

Гаусс та інші використовували еквівалентний запис:

${\displaystyle \varpi =\pi G,}$

який є лемніскатною сталою.

Однак Джон Тодд використовував іншу термінологію, визначаючи дві "лемніскатні сталі" ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}\pi G={\tfrac {1}{2}}\varpi ={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )},\\[3mu]B&={\frac {1}{2G}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$

Вони виникають при знаходженні довжини дуги лемніскати Бернуллі. ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$ є трансцендентними, що було доведено ^[en] відповідно у 1937 та 1941 роках.

Інші формули

Формула для ${\displaystyle G}$ у термінах тета-функцій Якобі має наступний вигляд:

${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}\left({\rm {e}}^{-\pi }\right),}$

а також у вигляді швидкозбіжного ряду:

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}{\rm {e}}^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}$

Стала також задається нескінченним добутком

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\operatorname {th} ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}$

Аналогічно за формулою Валліса:

${\displaystyle G=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n}}\cdot {\frac {4n+2}{4n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {3}{4}}\cdot {\frac {6}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {7}{8}}\cdot {\frac {10}{9}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {11}{12}}\cdot {\frac {14}{13}}{\biggr )}\cdots }$

А також вона випливає з визначених інтегралів:

${\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)}}\,{\rm {d}}x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)}}\,{\rm {d}}x,}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {\operatorname {ch} (\pi x)}}}.}$

Стала Гаусса у вигляді ланцюгового дробу має вигляд ${\displaystyle [0,1,5,21,3,4,14,\dots ]}$. (послідовність A053002 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Див. також

• Лемніскатна еліптична функція

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)

Примітки

1. Nielsen, Mikkel Slot. (July 2016). Undergraduate convexity : problems and solutions. p. 162. . OCLC 951172848.
2. Kobayashi, Hiroyuki; Takeuchi, Shingo (2019), Applications of generalized trigonometric functions with two parameters, Communications on Pure & Applied Analysis, 18 (3): 1509—1521, arXiv:1903.07407, doi:10.3934/cpaa.2019072
3. Asai, Tetsuya (2007), Elliptic Gauss Sums and Hecke L-values at s=1, arXiv:0707.3711
4. Todd, John (1975). The lemniscate constants. Communications of the ACM. 18: 14—19. doi:10.1145/360569.360580.
5. Hyde, Trevor (2014). (PDF). The American Mathematical Monthly. 121 (3): 237—243. doi:10.4169/amer.math.monthly.121.03.237. Архів оригіналу (PDF) за 16 жовтня 2021. Процитовано 13 травня 2022.

• Weisstein, Eric W. Gauss's Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Sequences A014549 and A053002 in OEIS

Зовнішні посилання

• Gauss's constant and where it occurs. www.johndcook.com (амер.). 17 жовтня 2021.