Кульовий сегмент

Кульови́й сегме́нт — частина кулі, відрізана від неї площиною. Поверхнями кульового сегмента є сферичний сегмент і круг, утворений при перетині кулі площиною.

Приклад кульового сегмента (зафарбований синім). Інша частина кулі також є кульовим сегментом

Якщо січна площина проходить через центр кулі, то такі кульові сегменти є однаковими і називаються півкулями.

---

Властивості тримірних фігур інколи ілюструють прикладами подібних алгебраїчних об'єктів, попри те що геометрично вони відмінні. Наприклад рівняння сфери та площини у тримірному просторі, за сталого значення однієї з координат чи проекції, відповідають рівнянням кола та прямої для двомірного випадку. Тому кажуть що круговий сегмент є двомірним випадком кульового сегмента. З тієї ж причини інколи розглядається багатовимірна, сфероїдна чи еліпсоїдна подоба.

Основні визначення

• Основа кульового сегмента — це круг радіуса a, утворений при перетині кулі площиною.
• Висота кульового сегмента (h) — найбільша відстань від січної площини (площини основи) до поверхні сегмента.
• Залежність між радіусом основи і висотою кульового сегмента має вигляд

${\displaystyle a={\sqrt {h(2r-h)}}}$.

Об'єм кульового сегмента

Через його параметри

Якщо радіус основи сегмента дорівнює ${\displaystyle a}$, висота сегмента — ${\displaystyle h}$, тоді об'єм V кульового сегмента буде

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2})}$,

Вираз через радіус сферичного сегмента ${\displaystyle r}$ та висоту ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle n=3,~V_{dome}={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3r-h)}$

Двомірний випадок

Через радіус сегмента круга ${\displaystyle r}$ та висоту ${\displaystyle h}$, чи з кутом ${\displaystyle \theta }$ та радіусом основи ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle n=2,~V_{dome}=r^{2}ArcCos\left({\frac {r-h}{r}}\right)-(r-h){\sqrt {h(2r-h)}}=r^{2}\theta -a(r-h)}$

Останній вираз ілюструє простий зв'язок з об'ємом сектора та його конічною частиною ${\displaystyle \textstyle V_{dome}=V_{sector}-V_{cone}}$, ${\displaystyle \textstyle V_{cone}(r,h,n)={\tfrac {r-h}{n}}V_{ball}(a,n-1)}$, ${\displaystyle \textstyle V_{ball}(r,k)={\frac {r^{k}\pi ^{k/2}}{\Gamma \left(k/2+1\right)}}}$. Для тримірного простору такий зв'язок менш очевидний, через те що подобою кута в радіанах є стерадіан, який пов'язаний із плоским аналогом більш складно.

Для довільної вимірності

- (рекурентний зв'язок):

• в явному вигляді

${\displaystyle V_{dome}(r,t,i+2)={\tfrac {2\pi r^{2}}{i+2}}\left(V_{dome}(r,t,i)-{\tfrac {rV_{ball}(r,i-1)}{(i+1)}}t\left(1-t^{2}\right)^{\frac {i+1}{2}}\right)}$

де ${\displaystyle i\geqslant 1,~t=\cos(\theta )={\tfrac {r-h}{r}},~V_{ball}(r,0)=1}$

• між сусідніми вимірностями

${\displaystyle V_{dome}(r,h,i)=\int \limits _{0}^{2a}V_{dome}\left(r(x),h(x),i-1\right)dx}$

де ${\displaystyle \textstyle i\geqslant 1,~r\geqslant h,~r(x)=r{\sqrt {1-\left({\frac {a-x}{r}}\right)^{2}}},~h(x)=r(x)-(r-h),~a={\sqrt {h(2r-h)}}}$

Розрахунок через інтегрування

За алгебраїчного використання, коли вираз є проміжним, чи для ілюстрації залежності від параметрів бувають корисні вирази у інтегральній формі:

- інтегрування через висоту

${\displaystyle V_{dome}(r,h,n)=\int \limits _{r-h}^{r}V_{ball}\left(a(x),n-1\right)dx=r\,V_{ball}(r,n-1)\int \limits _{t}^{1}(1-x^{2})^{\frac {n-1}{2}}dx}$

де ${\displaystyle a(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},~t=\cos(\theta )={\frac {r-h}{r}}}$.

- інтегрування через кут

${\displaystyle V_{dome}(r,h,n)=r\,V_{ball}(r,n-1)\int \limits _{0}^{\theta }\sin ^{n}\phi \,d\phi }$

де ${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {r-h}{r}}}$

Оптимізація під алгебраїчну простоту на кожному кроці не завжди є оптимальною, оперування загальними виразами може бути корисним у доведеннях через те що вони є параметрами для загальних інваріантів.

Площа сферичної поверхні кульового сегмента

Площа сферичної частини поверхні сегмента (сегмента сфери) дорівнює

${\displaystyle A=2\pi rh}$

або

${\displaystyle A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )}$.

Параметри ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle h}$ і ${\displaystyle r}$ пов'язані співвідношеннями

${\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}}$,

${\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}}$.

Підстановка останньої залежності у перший вираз для обчислення площі дає рівняння

${\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})}$.

Див. також

• Сферичний сегмент
• Кульовий шар
• Кульовий сектор
• Сферична оболонка

Примітки

1. «Кульовий сегмент» [ 12 квітня 2017 у Wayback Machine.] / Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
2. Polyanin, Andrei D; Manzhirov, Alexander V. (2006), , CRC Press, с. 69, ISBN , архів оригіналу за 2 лютого 2017, процитовано 3 вересня 2017.

Посилання

• Кульовий сегмент [ 18 серпня 2017 у Wayback Machine.] / на сайті «ЯКлас».