Конти́нуум-гіпо́теза — гіпотеза, яку висунув Георг Кантор у 1877 і згодом безуспішно намагався її довести, що її можна сформулювати таким чином:
Континуум-гіпотеза | |
Коротка назва | CH, HC і HC |
---|---|
Названо на честь | континуум[d] |
Першовідкривач або винахідник | Георг Кантор |
Дата відкриття (винаходу) | 1877 |
Формула | |
Позначення у формулі | , , і |
Ким вирішена | Курт Гедель і Пол Джозеф Коен |
Підтримується Вікіпроєктом |
- Будь-яка нескінченна підмножина континууму є або зліченною, або континуальною.
Континуум-гіпотеза стала першою з двадцяти трьох математичних проблем, про які Давид Гільберт доповів на II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі 1900 року. Тому континуум-гіпотеза відома також як перша проблема Гільберта.
1940 року Курт Гедель довів, що у системі аксіом Цермело—Френкеля з аксіомою вибору (ZFC), континуум-гіпотезу не можна спростувати (за припущення про несуперечність ZFC); а 1963 року американський математик довів, що континуум-гіпотезу не можна довести, виходячи з тих же аксіом (також у припущенні про несуперечність ZFC). Таким чином, континуум-гіпотеза не залежить від аксіом ZFC.
Еквівалентні формулювання
Відомо кілька тверджень, еквівалентних континуум-гіпотезі:
- Пряма
може бути розфарбована в зліченну кількість кольорів так, що ні для якої одноколірної четвірки чисел
не виконується умова
- Площина
може бути повністю покрита зліченним сімейством кривих, кожна з яких має вигляд
(тобто має єдину точку перетину з кожною вертикальною прямою) або
(має єдину точку перетину з кожною горизонтальною прямою).
- Простір
можна розбити на 3 множини так, що вони перетинаються з будь-якою прямою, паралельною осям Ox, Oy і Oz, відповідно, лише в скінченній кількості точок.
- Простір
можна розбити на 3 множини так, що для кожної з них існує така точка P, що ця множина перетинається з будь-якою прямою, що проходить через P, лише в скінченній кількості точок.
Узагальнення
Узагальнена континуум-гіпотеза стверджує, що для будь-якої нескінченної множини S, кожна множина, кардинальне число якої більше, ніж у S, має кардинальне число, яке більше або дорівнює 2S.
Узагальнена континуум-гіпотеза також не суперечить аксіоматиці Цермело-Френкеля, і, як довели (Серпінський) 1947 р. і 1952 р., з неї випливає аксіома вибору.
Примітки
- Несуперечність системи аксіом Цермело—Френкеля з аксіомою вибору (ZFC) є необхідною умовою (оскільки в суперечливій системі можна довести будь-яке твердження). Однак, несуперечність ZFC неможливо довести в межах самої ZFC (відповідно до другої теореми Геделя про неповноту).
Джерела
- http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1201/1201.1207v1.pdf [ 27 листопада 2021 у Wayback Machine.] (англ.)
- Вацлав Серпінський. Cardinal And Ordinal Numbers. (англ.)
- Вацлав Серпінський. Про теорію множин. (англ.)
- http://www.math.wisc.edu/ [ 17 серпня 2012 у Wayback Machine.] ~ miller/old/m873-05/setplane.ps
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет