Комплексна площина

Комплексна площина ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — множина впорядкованих пар ${\displaystyle (x,y)}$, де ${\displaystyle \ x,y\in \mathbb {R} }$. Зазвичай проводиться утотожнення комплексної площини і поля комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ за принципом ${\displaystyle \ (x,y)\equiv x+iy}$. Це дозволяє ввести алгебричні операції на площині ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Розглянемо топологічні властивості комплексної площини і не будемо проводити різниці між парою ${\displaystyle \ z=(x,y)}$ і комплексним числом ${\displaystyle \ z=x+iy}$.

Геометричне представлення z і його спряжене число z̅ в комплексній площині. Довжина одного блакитного відрізку від початку координат до точки z є модулем або абсолютним значенням z. Кут φ є аргументом z.

Концепція комплексної площини, дозволяє привести комплексні числа у геометричному сенсі. Операцію додавання, здійснювати як додавання векторів. Множення двох комплексних чисел можна у найпростішому вигляді можна виразити в полярних координатах—величина або модуль добутку це добуток двох абсолютних величин, або модулів, а кут або аргумент добутку є сумою двох кутів, або аргументів. Зокрема, множення на комплексне число із модулем, що дорівнює 1 приводить до обертання.

Комплексну площину іноді називають площиною Арганда, а геометричні ^[en] на цій площині діаграмами Арганда. Вони незвані в честь Роберта Аргана (1768—1822), хоча вперше їх описав норвезько-данський землевпорядник і математик Каспар Вессель (1745—1818).

Загальні позначення

В комплексному аналізі, комплексні числа зазвичай позначаються символом z, в якому виділяють його дійсну (x) і уявну (y) частини:

${\displaystyle z=x+iy}$

наприклад: z = 4 + 5i, де x і y є дійсними числами, і i є уявною одиницею. В цьому загальному позначенні комплексне число z відповідає точці (x, y) на декартовій площині.

В декартовій системі координат, точку (x, y) також можна представити в полярних координатах наступним чином

${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\qquad (r,\theta )=\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad \arctan {\frac {y}{x}}\right).}$

Для декартової площини можна припустити що арктангенс приймає значення лише від −π/2 до π/2 (в радіанах), і варто обережно поводитися при використанні функції арктангенса для точок (x, y) при x ≤ 0. В комплексній площині дані полярні координати будуть мати форму

${\displaystyle z=x+iy=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=|z|e^{i\theta }}$

де

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};\quad \theta =\arg(z)={\frac {1}{i}}\ln {\frac {z}{|z|}}=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.\,}$

Тут |z| є абсолютним значенням або модулем комплексного числа z; θ, це аргумент числа z, його зазвичай обирають в інтервалі 0 ≤ θ < 2π; а остання рівність (|z|e^iθ) взята із формули Ейлера. Слід зауважити, що без обмеження діапазону значень кута θ, аргумент z буде мати множину значень, оскільки (комплексна експоненційна функція) періодична, і має період 2π i. Тому, якщо θ є одним із значень arg(z), то іншими значення будуть задаватися як arg(z) = θ + 2nπ, де n приймає усі цілі значення ≠ 0.

Топологія комплексної площини

Відкриті множини

Фундаментальне поняття околу вводиться на комплексній площині таким чином — околом ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ називається множина виду ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0}$. Геометрично на комплексній площині околи мають вигляд кола з центром в певних точках комплексної площини. Інколи для зручності необхідно розглядати і проколоті околи ${\displaystyle {\dot {\mathcal {U}}}_{z_{0}}={\mathcal {U}}_{z_{0}}\setminus \{z_{0}\}}$.

Визначимо відкриту множину — згідно з визначенням із загальної топології, відкритою множина буде, якщо вона для будь-якої своєї точки містить деякий її окіл.

Точка згущення і замкнена множина

Точка ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ буде точкою згущення для множини ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$, якщо для довільного околу ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ перетин ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G}$ буде не порожнім. Іншими словами, точка є точкою згущення, якщо в довільній «близькості» до неї завжди можна знайти точки множини. Множина точок згущення називається похідною і позначається G'.

Множина ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ буде називатися замкнутою, якщо для неї справедливим є включення ${\displaystyle G'\subset G}$. Очевидно, що для довільної множини ${\displaystyle G}$ множина ${\displaystyle {\overline {G}}=G\cup G'}$ буде замкненою; вона називається замиканням множини ${\displaystyle G}$.

Границя

Точка ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ буде називатися граничною для множини ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$, якщо для довільного околу ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ перетин ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G}$ і ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap ({\mathbb {C} }\setminus G)}$ будуть не порожніми. Множина всіх граничних точок називається граничною множиною ${\displaystyle \partial G}$ або просто границею.

Всюди щільні множини

Множина ${\displaystyle E\subset \mathbb {C} }$ буде називатися всюди щільною в іншій множині ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$, якщо для довільної точки ${\displaystyle z_{0}\in G}$ і будь-якого околу ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ перетин ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap E}$ не порожній.

Зв'язність

Відстань між множинами

Як відомо з елементарної математики, на комплексній площині відстань між двома точками дорівнює модулю їх різниці. Тепер визначимо відстань між точкою ${\displaystyle z_{0}}$ і деякою множиною ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ як величину ${\displaystyle \mathrm {dist} \,(z_{0},G)=\inf _{z\in G}|z-z_{0}|}$.

На базі цього поняття вже можна визначити відстань між двома довільними множинами в ${\displaystyle \mathbb {C} }$: ${\displaystyle \mathrm {dist} \,(G_{1},G_{2})=\inf _{z\in G_{1}}\mathrm {dist} \,(z,G_{2})=\inf _{z\in G_{2}}\mathrm {dist} \,(z,G_{1})}$.

Зв'язність

Множина ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ називається Зв'язною, якщо для неї виконано співвідношення ${\displaystyle \inf _{z_{1},z_{2}\in G}|z_{1}-z_{2}|=0}$. Якщо дана величина не дорівнює нулю, то множина називається незв'язним. Можна показати, що незв'язну множину ${\displaystyle G}$ можна представити у вигляді об'єднання (скінченного або зліченного) ${\displaystyle \sum G_{n}}$, де ${\displaystyle G_{n}}$ — зв'язні множини, що не перетинаються, називаються зв'язними компонентами множини ${\displaystyle G}$. Потужність множини зв'язних компонент називається порядком зв'язності.

Випуклі, спряжені і лінійно зв'язані множини

Множина ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ називається спряженою відносно точки ${\displaystyle z_{0}\in G}$, якщо для довільної точки ${\displaystyle z\in G}$ виконується включення ${\displaystyle {\overline {z_{0}z}}\subset G}$.

Множина ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ називається випуклою, якщо вона спряжена відносно будь-якої своєї точки. Множина ${\displaystyle G^{*}}$ називається випуклою оболонкою множини ${\displaystyle G}$, якщо вона випукла, ${\displaystyle G\subset G^{*}}$ і для будь-якої випуклої множини ${\displaystyle G^{**}}$, що містить множину ${\displaystyle G}$ виконується включення ${\displaystyle G^{*}\subset G^{**}}$.

Ламаною ${\displaystyle \Gamma }$ називається множина точок комплексної площини, що представляється у вигляді об'єднання відрізків. Множина ${\displaystyle G}$ називається лінійно зв'язною, якщо для двох довільних точок ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in G}$ існує ламана ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ така, що виконується ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \Gamma }$.

Можна довести, що будь-яка лінійно зв'язана множина буде зв'язною. Звідси наслідком є те, що зв'язні всі випуклі і спряжені множини.

Криві на ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Криві и шляхи

Кривою або шляхом на комплексній площині ${\displaystyle \mathbb {C} }$ називається відображення вигляду ${\displaystyle \varphi (t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$. Особливо слід зазначити, що при такому визначенні можна конкретизувати не тільки вигляд кривої, який буде залежати від аналітичних властивостей функції ${\displaystyle \varphi (t)}$, але й її напрямок. Наприклад, функції ${\displaystyle \varphi (t)}$ і ${\displaystyle \eta (t)=\varphi (1-t)}$ будуть визначати однакову за виглядом криву, але вона буде проходити в протилежних напрямках.

Гомотопія кривих

Криві ${\displaystyle \varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle \varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$ називаються гомотопними, якщо існує крива ${\displaystyle \xi (t,q)\colon [0;1]\times [0;1]\to \mathbb {C} }$, що залежить від параметра ${\displaystyle q}$ таким чином, що ${\displaystyle \xi (t,0)\equiv \varphi _{0}}$ і ${\displaystyle \xi (t,1)\equiv \varphi _{1}}$.

Розширена комплексна площина і нескінченно віддалена точка

У комплексному аналізі часто корисно розглядати розширену комплексну площину, доповнену, порівняно зі звичайною, нескінченно віддаленою точкою ${\displaystyle (z=\infty )}$:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

геометрично точка ${\displaystyle \infty }$ зображується точкою сфери Рімана (її «північний полюс»).

За такого підходу необмежено ростуча (за модулем) послідовність вважається такою, що збігається до нескінченно віддаленої точки. Алгебричні операції з нескінченністю не виконуються, хоча кілька алгебричних співвідношень мають місце:

• ${\displaystyle {\frac {z}{\infty }}=0;\ \ z+\infty =\infty \ (z\neq \infty )}$
• ${\displaystyle z\cdot \infty =\infty ;\ \ {\frac {z}{0}}=\infty \ (z\neq 0)}$

${\displaystyle \varepsilon }$-околом нескінченно віддаленої точки вважається множина точок ${\displaystyle z}$, модуль яких більший, ніж ${\displaystyle 1 \over \varepsilon }$, тобто зовнішня частина ${\displaystyle 1 \over \varepsilon }$-околів початку координат.

Розширена комплексна площина називається також сферою Рімана, оскільки вона ізоморфна звичайній сфері ${\displaystyle S^{2}}$ (ізоморфізм можна встановити, наприклад, за допомогою стереографічної проєкції). Комплекснозначні функції в деяких випадках можна продовжити на сферу Рімана. Оскільки прямі на площині (за стереографічної проєкції) переходять у кола на сфері, що містять нескінченно віддалену точку, комплексні функції зручніше розглядати на сфері.^[]

Див. також

Примітки

1. Wessel's memoir was presented to the Danish Academy in 1797; Argand's paper was published in 1806. (Whittaker & Watson, 1927, p. 9)
2. A detailed definition of the complex argument in terms of the real arctangent can be found .
3. It can be shown (Whittaker & Watson, 1927, Appendix) that all the familiar properties of the complex exponential function, the trigonometric functions, and the complex logarithm can be deduced directly from the for e^z. In particular, the principal value of logr, where |r| = 1, can be calculated without reference to any geometrical or trigonometric construction.
4. (Whittaker & Watson, 1927, p. 10)
5. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.. — М. : Наука, 1967. — 304 с.