Діагональний метод Кантора

У теорії множин, Діагональний метод Кантора або діагональний аргумент Кантора, також відомий як метод діагоналізації, був опублікований у 1891 році Георгом Кантором як математичний доказ того, що існують нескінченні множини для котрих не існує взаємно однозначної відповідності з нескінченною множиною натуральних чисел. Такі множини тепер називають незліченними множинами, і розміри незліченних множин вивчає теорія кардинальних чисел, започаткована Кантором.

Ілюстрація діагонального аргументу  Кантора існування незліченних множин. Послідовність s не може входити у наведений перелік послідовностей.

Бієкція f(x) = 2x із натуральних у парні числа показує, що нескінченна множина може мати однакову потужність із точною підмножиною себе самої. Однак, діагональний метод Кантора показує, що  існують нескінченні множини різних потужностей.

Кантор ^[en] незліченність дійсних чисел у 1874 році іншим методом, відмінним від діагонального. Однак діагональний метод є потужним і універсальним способом, що був відтоді використаний у широкому діапазоні доведень, включаючи першу теорему Геделя про неповноту і тезу Черча — Тюрінга. Аргументи діагоналізації також часто є джерелом суперечностей, таких як парадокс Рассела і ^[en].

Незліченна множина

У статті 1891 року Кантор розглянув множину T усіх нескінченних послідовностей двійкових чисел (тобто кожна цифра числа є нулем або одиницею). Він почав із конструктивного доведення такої теореми:

Якщо s₁, s₂, … , s_n, … є довільним переліком елементів із T, то завжди існує елемент s із T якому не відповідає жоден елемент s_n у переліку.

Доведення починається із перелічення усіх елементів із T, наприклад:

s1 =	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s2 =	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s3 =	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s4 =	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s5 =	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s6 =	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s7 =	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

Далі, послідовність s будується вибираючи 1-шу цифру оберненою до 1-ї цифри s₁ (замінюючи 0 на 1 і навпаки), 2-гу цифру оберненою до 2-ї цифри s₂, 3-тю цифру оберненою до 3-ї цифри s₃, і загалом для кожного n, n-та цифра s є  оберненою до n-тої цифри s_n. Для прикладу вище отримаємо:

s1	=	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s2	=	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s3	=	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s4	=	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s5	=	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s6	=	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s7	=	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...
s	=	(1,	0,	1,	1,	1,	0,	1,	...)

За побудовою, s відрізняється від кожного s_n, оскільки їхні n-ті цифри відрізняються (підсвічені у прикладі). Тому s не може бути у переліку.

На основі цієї теореми, використовуючи доведення від супротивного Кантор показує, що:

Множина T є незліченною.

Доведення починається із припущення, що T зліченна. Тоді всі її елементи можуть бути записані як перелік s₁, s₂, … , s_n, … . Використання попередньої теореми до цього переліку дає елемент s, який не належить до переліку. Але, це суперечить тому, що s є елементом T і тому належить до переліку. Із суперечності випливає, що первісне припущення хибне. Отже, T незліченна.

Дійсні числа

Незліченність дійсних чисел вже була встановлена ^[en], але вона також випливає із попереднього результату. Для доведення цього будується ін'єкція f з множини T нескінченних двійкових рядків у множину R дійних чисел. Оскільки T є незліченною, то образ цієї функції f, який є підмножиною R, теж незліченний. Отже, множина R теж є незліченною. Також Кантор запропонував спосіб побудови бієкції між T і R. Отже, T і R мають однакову потужність, яка називається "потужністю континууму" і зазвичай позначається ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$.

Ін'єкція з T у R визначається відображенням рядків із T у десяткові числа, наприклад t = 0111… у число 0.0111…. ця функція визначена як f(t) = 0.t, є ін'єкцією, оскільки відображає різні рядки у різні числа.

Узагальнення для множин

Кантор використав узагальнену форму діагонального аргументу щоби довести Теорему Кантора: для кожної множини S, булеан S — тобто, множина всіх підмножин S (позначена як P(S))—має більшу потужність ніж сама S. Доведення відбувається так:

Нехай f буде будь-якою функцією із S у P(S). досить довести, що f не може бути сюр'єкцією. Це значить що деякий елемент T із P(S), тобто деяка підмножина S, не лежить в образі f. Розглянемо таку множину:

T = { s ∈ S: s ∉ f(s) }.

Для кожного s із S, або s належить T або ні. Якщо s належить T, то за визначенням T, s не належить f(s), тобто T не дорівнює f(s). З іншої сторони, якщо s не належить T, то за визначенням T, s належить f(s), тобто знову T не дорівнює f(s).

Наслідки

Із цього випливає що поняття множини всіх множин є суперечливим. Якби S була множиною всіх множин, то P(S) була б одночасно більшою за S і підмножиною S.

Парадокс Рассела показав, що наївна теорія множин, що базується на аксіомній схемі необмеженого розуміння, є суперечливою. 

Діагональний метод показує, що множина дійсних чисел більша за множину натуральних (і разом цілих та раціональних). Отже, можна запитати чи існує множина потужність якої посередині між потужністю цілих і дійсних чисел. Це питання приводить до континуум-гіпотези. Аналогічно, питання чи існує множина з потужністю між  |S| і |P(S)| для деякої нескінченної S приводить до  узагальненої континуум-гіпотези.

Примітки

1. Georg Cantor (1891). . ^[en] 1890—1891. 1: 75—78. Архів оригіналу за 15 квітня 2019. Процитовано 18 серпня 2018. Англійський переклад: Ewald, William B. (ed.) (1996). From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2. Oxford University Press. с. 920—922. ISBN .
2. Keith Simmons (30 липня 1993). . Cambridge University Press. с. 20–. ISBN . Архів оригіналу за 4 листопада 2020. Процитовано 18 серпня 2018.
3. Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 30. ISBN .
4. Gray, Robert (1994), (PDF), American Mathematical Monthly, 101 (9): 819—832, doi:10.2307/2975129, JSTOR 2975129, архів оригіналу (PDF) за 21 січня 2022, процитовано 18 серпня 2018
5. Bloch, Ethan D. (2011). The Real Numbers and Real Analysis. New York: Springer. с. 429. ISBN .
6. Sheppard, Barnaby (2014). (вид. illustrated). Cambridge University Press. с. 73. ISBN . Архів оригіналу за 13 серпня 2020. Процитовано 18 серпня 2018.
7. . Stanford encyclopedia of philosophy. Архів оригіналу за 12 серпня 2018. Процитовано 18 серпня 2018.
8. Bertrand Russell (1931). Principles of mathematics. Norton. с. 363—366.
9. Keith Simmons (30 липня 1993). . Cambridge University Press. с. 27. ISBN . Архів оригіналу за 4 листопада 2020. Процитовано 18 серпня 2018.

Зовнішні посилання

• Cantor's Diagonal Proof на MathPages
• Weisstein, Eric W. Cantor Diagonal Method(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.