Дробовий ідеал

Дробовий ідеал — підмножина Q поля часток K області цілісності R, що має вигляд ${\displaystyle \ Q=a^{-1}I}$, де ${\displaystyle a\in R,a\neq 0,I}$ — ідеал кільця R.

У інших термінах Q є R-підмодулем поля K, всі елементи якого допускають спільний знаменник, тобто існує елемент ${\displaystyle a\in R,a\neq 0,}$ такий, що ${\displaystyle ax\in R}$ для всіх ${\displaystyle x\in Q.}$

Для двох дробових ідеалів Q і P визначається операція множення: QP — множина всіх скінченних сум ${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\ i_{n}\in Q,\ j_{n}\in P.}$ Дробові ідеали утворюють щодо множення напівгрупу ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ з одиницею R. Для дробового ідеалу Q визначається дробовий ідеал

${\displaystyle Q^{*}=(R:Q)=\{x\in K\ |\ xQ\subset R\}.}$

Очевидно ${\displaystyle Q^{*}Q\subset R.}$ Якщо при цьому виконується рівність, то дробовий ідеал Q є оборотним елементом напівгрупи ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ і дробовий ідеал ${\displaystyle Q^{*}}$ є його оберненим елементом.

Для дедекіндових кілець і лише для них напівгрупа ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ є групою, тобто кожен дробовий ідеал кільця Дедекінда має обернений дробовий ідеал. Дана група є вільною абелевою групою, твірними якої є прості ідеали кільця Дедекінда.

Оборотні елементи напівгрупи ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ називаються оборотними ідеалами. Кожен оборотний ідеал має скінченний базис над R. Також кожен скінченно породжений R-модуль є дробовим ідеалом.

Головним дробовим ідеалом називається дробовий ідеал породжений одним елементом як R-підмодуль поля K. Тобто головний дробовий ідеал, це множина виду ${\displaystyle aR,~a\in K.}$ Всі головні дробові ідеали є оборотними: оберненим ідеалом є ідеал ${\displaystyle a^{-1}R.}$ Два головних ідеали ${\displaystyle aR,~a\in K}$ і ${\displaystyle bR,~b\in K}$ рівні тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle a=be,}$ де e — оборотний елемент кільця R.

Дивізоріальні ідеали

Нехай ${\displaystyle {\tilde {I}}}$ — перетин всіх головних дробових ідеалів, що містять дробовий ідеал I. Еквівалентно,

${\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I)),}$

де

${\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}}$.

Якщо ${\displaystyle {\tilde {I}}=I}$ тоді ідеал I називається дивізоріальним.

Література

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
• Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)

Посилання

• Ю.Дрозд. Алгебричні числа. Конспект лекцій [ 17 січня 2015 у Wayback Machine.]