Диферентний ідеал

У алгебраїчній теорії чисел і абстрактній алгебрі диферентним ідеалом або диферентою називається деякий ідеал пов'язаний із розширенням дедекіндових кілець. Диферентний ідеал пов'язаний із поняттями дискримінанта і норми ідеалу і є важливим, зокрема для дослідження розгалуження простих ідеалів.

Означення

Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, L — скінченне сепарабельне розширення поля K, B — ціле замикання кільця A в L. Нехай L — деяка адитивна підгрупа поля E.

Для неї можна ввести доповнюючу множину L' (щодо сліду) як сукупність всіх тих ${\displaystyle x\in E}$, для яких

${\displaystyle L'=\{x\in E\mid \operatorname {Tr} _{E/K}(xL)\subset A\}.}$

L' є адитивною підгрупою у E. Якщо ${\displaystyle L\subset M}$ — дві адитивні підгрупи, то ${\displaystyle M'\subset L'}$. Якщо Al = L то також AL' = L'.

Зокрема якщо L = B то B' є дробовим ідеалом кільця B. Оскільки B є дедекіндовим кільцем для дробового ідеалу B' існує обернений дробовий ідеал ${\displaystyle B'^{-1}}$ у групі дробових ідеалів.

Ідеал ${\displaystyle \delta _{E/K}=\delta _{B/A}=B'^{-1}}$ називається диферентним ідеалом або диферентою розширення B/A. Диферентний ідеал є звичайним ідеалом кільця B.

У алгебричній теорії чисел цей ідеал також називається відносним диферентним ідеалом. Абсолютним диферентним ідеалом числового поля K називається ${\displaystyle \delta _{K/\mathbb {Q} }}$. цьому випадку використовується позначення ${\displaystyle \delta _{K}}$.

Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — дробовий ідеал кільця B то ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ теж є адитивною підгрупою і диферентним ідеалом цього дробового ідеалу називається дробовий ідеал ${\displaystyle \delta _{E/K}({\mathfrak {m}})=({\mathfrak {m}}')^{-1}}$.

Приклад

Нехай ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$, де ${\displaystyle d\in \mathbb {Z} }$ — число, вільне від квадратів. Тоді для абсолютного диферентного ідеала:

${\displaystyle \delta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}{\begin{cases}(2{\sqrt {d}}),&d\not \equiv 1\mod 4\\({\sqrt {d}}),&d\equiv 1\mod 4\end{cases}}}$

Властивості

• Диферентний ідеал розширення B/A є звичайним ідеалом кільця B. Диферента довільного дробового ідеалу теж є дробовим ідеалом.
• Якщо при тих же позначеннях, що і вище ${\displaystyle \delta _{E/K}}$ — відносний диферентний ідеал і ${\displaystyle \delta _{E/K}({\mathfrak {m}})}$ — диферентний ідеал дробового ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ то ${\displaystyle \delta _{E/K}({\mathfrak {m}})={\mathfrak {m}}\delta _{E/K}}$.
• Диферентний ідеал породжується елементами виду ${\displaystyle F'(x)}$, де ${\displaystyle x\in B}$ і ${\displaystyle F'(x)}$ — похідна мінімального многочлена елемента ${\displaystyle x}$ над полем K. Зокрема ${\displaystyle B=A[x]}$ тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle \delta _{E/K}}$ є головним ідеалом породженим елементом ${\displaystyle F'(x)}$.
• Якщо ${\displaystyle D/E/K}$ є скінченними сепарабельними розширеннями з властивостями, як і вище, то

${\displaystyle \delta _{D/K}=\delta _{D/E}\delta _{E/K}}$

• Нехай S — мультиплікативна система у кільці A. Тоді ${\displaystyle \delta _{S^{-1}B/S^{-1}A}=S^{-1}\delta _{B/A}}$, де ${\displaystyle S^{-1}(\cdot )}$ позначає локалізацію кільця за множиною S.
• ${\displaystyle D_{B/A}=N_{B/A}(\delta _{B/A})}$, де ${\displaystyle D_{B/A}}$ позначає відносний дискримінант розширення B/A, а ${\displaystyle N_{B/A}(\cdot )}$ — норму ідеалу.
• У випадку числових полів клас відносного диферента завжди є квадратом у групі класів ідеалів. У загальному випадку це не так. Наприклад Фреліх і Тейт знайшли приклад скінченного сеперабельного розширення функціональних полів однієї змінної для якого відносний диферент не є квадратом.
• При тих же позначеннях, що і вище і для кожного простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ кільця B позначимо ${\displaystyle B_{v({\mathfrak {p}})}}$ — поповнення кільця B щодо нормування за ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. У цьому випадку ${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cap A}$ є простим ідеалом кільця A і поповнення за цим ідеалом позначимо ${\displaystyle A_{v({\mathfrak {q}})}}$. Тоді є справедливою рівність:

${\displaystyle \delta _{E/F}=\prod _{\mathfrak {p}}\delta _{B_{v({\mathfrak {p}})}/A_{v({\mathfrak {q}})}},}$

Добуток у правій частині має зміст оскільки для всіх простих ідеалів окрім скінченної кількості ${\displaystyle \delta _{B_{v({\mathfrak {p}})}/A_{v({\mathfrak {q}})}}=B}$.

Диферент і розгалуження простих ідеалів

Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, L — скінченне сепарабельне розширення поля K, B — ціле замикання кільця A в L. Припустимо також, що для будь-якого простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ кільця B поле лишків ${\displaystyle B/{\mathfrak {B}}}$ є досконалим.

Нехай тепер ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — простий ідеал кільця A. Тоді ${\displaystyle {\mathfrak {p}}B=\prod {\mathfrak {B}}_{i}^{e_{i}}}$, де ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$ — прості ідеали кільця B, що містять ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ (їх кількість є скінченною), а ${\displaystyle e_{i}}$ називаються індексами розгалуження ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$. Якщо ${\displaystyle e_{i}>1}$ то кажуть, що відповідний ідеал розгалужується.

Розгалуження є тісно пов'язані із диферентами. А саме простий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$ розгалужується тоді і тільки тоді коли він ділить диферент ${\displaystyle \delta _{B/A}}$. До того ж якщо характеристика поля ${\displaystyle B/{\mathfrak {B}}_{i}}$ не ділить ${\displaystyle e_{i}}$, то найбільшим степенем ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$ на який ділиться ${\displaystyle \delta _{B/A}}$ є ${\displaystyle e_{i}-1}$. В іншому випадку ${\displaystyle \delta _{B/A}}$ ділиться на вищий степінь ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$.

Див. також

• Дискримінант (теорія полів)
• Норма ідеалу

Література

• Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1991), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 27, Cambridge University Press, ISBN , Zbl 0744.11001
• Hecke, Erich (1981), Lectures on the theory of algebraic numbers, Graduate Texts in Mathematics, т. 77, New York–Heidelberg–Berlin: Springer-Verlag, ISBN , Zbl 0504.12001
• Koch, Helmut (2000), Number Theory: Algebraic Numbers and Functions, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 
• Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN .
• Narkiewicz, Władysław (1990), Elementary and analytic theory of algebraic numbers (вид. 2nd, substantially revised and extended), Springer-Verlag; PWN-Polish Scientific Publishers, ISBN , Zbl 0717.11045
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields, Graduate Texts in Mathematics, т. 67, Springer-Verlag, ISBN , Zbl 0423.12016
• Weiss, Edwin (1976), Algebraic Number Theory (вид. 2nd unaltered), Chelsea Publishin, ISBN , Zbl 0348.12101