Гіперболічна множина

У теорії динамічних систем кажуть, що дифеоморфізм ${\displaystyle f}$ многовиду ${\displaystyle M}$ гіперболічний на інваріантній множині ${\displaystyle \Lambda }$, якщо дотичне розшарування над ${\displaystyle \Lambda }$ допускає неперервний розклад у пряму суму,

${\displaystyle T_{\Lambda }M=E^{u}\oplus E^{s},}$

причому підрозшарування ${\displaystyle E^{u}}$ і ${\displaystyle E^{s}}$ інваріантні відносно динаміки, та вектори ${\displaystyle E^{u}}$ розтягуються, а вектори ${\displaystyle E^{s}}$ стискаються під дією динаміки:

${\displaystyle \|f^{n}(v)\|\leq c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{s},}$

${\displaystyle \|f^{n}(v)\|\geq c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u},}$

де ${\displaystyle c_{1},c_{2}>0}$ і ${\displaystyle \mu >1>\lambda >0}$ — сталі.

Також у цьому випадку кажуть, що ${\displaystyle \Lambda }$ — гіперболічна інваріантна множина відображення ${\displaystyle f}$.

Лінійні системи

Лінійну систему звичайних диференціальних рівнянь називають гіперболічною, якщо всі її власні значення (загалом, комплексні) мають відмінні від нуля дійсні частини.

Див. також

• Гіперболічна нерухома точка
• Дифеоморфізм Аносова
• Підкова Смейла

Примітки

1. Ахмеров Р.Р., Садовский Б.Н. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. оригіналу за 24 вересня 2015. Процитовано 2 серпня 2015.

Література

• ^[ru], ^[de]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М. : МЦНМО, 2005. — 464 с. — .