Гаарів вейвлет

У математиці Га́арів вейвле́т (англ. Haar wavelet) — це послідовність перемасштабованих функцій «квадратної» форми, які разом утворюють вейвлетне сімейство або базис. Вейвлетний аналіз подібний до аналізу Фур'є тим, що дозволяє цільовій функції над інтервалом бути поданою в термінах ортонормованого базису. Гаарову послідовність тепер визнають як перший відомий вейвлетний базис, та широко використовують як навчальний приклад.

Гаарів вейвлет

Га́арову послідо́вність (англ. Haar sequence) запропонував 1909 року ^[en]. Він використав ці функції, щоби навести приклад ортонормованої системи для простору ^[en] на одиничному інтервалі [0, 1]. Дослідження вейвлетів і навіть сам термін «вейвлет» з'явилися набагато пізніше. Як окремий випадок вейвлетів Добеші, гаарів вейвлет відомий також як Db1.

Гаарів вейвлет — це також найпростіший вейвлет із можливих. Технічний недолік гаарового вейвлета полягає в тому, що він не неперервний, а відтак і не диференційовний. Ця властивість, проте, може бути перевагою для аналізу сигналів із раптовими переходами (дискретних сигналів), таких як вістежування поломки інструмента у верстатах.

Материнську функцію гаарового вейвлета ${\displaystyle \psi (t)}$ можливо описати як

${\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{інакше.}}\end{cases}}}$

Його масштабну функцію ${\displaystyle \varphi (t)}$ можливо описати як

${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{інакше.}}\end{cases}}}$

Гаарові функції та гаарова система

Для кожної пари цілих чисел n, k із ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ га́арову фу́нкцію (англ. Haar function) ψ_n,k визначають на дійсній прямій ${\displaystyle \mathbb {R} }$ формулою

${\displaystyle \psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}t-k),\quad t\in \mathbb {R} .}$

Носієм цієї функції є напіввідкритий праворуч проміжок I_n,k = [k2⁻ⁿ, (k+1)2⁻ⁿ), тобто вона перетворюється на нуль за його межами. Вона має інтеграл 0 та норму 1 у гільбертовому просторі L²(${\displaystyle \mathbb {R} }$),

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.}$

Гаарові функції попарно ортогональні,

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1}n_{2}}\delta _{k_{1}k_{2}},}$

де ${\displaystyle \delta _{ij}}$ подає дельту Кронекера. Причина ортогональності тут така: коли два інтервали-носії ${\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}$ та ${\displaystyle I_{n_{2},k_{2}}}$ не рівні, то вони або не перетинаються, або менший із двох носіїв, скажімо, ${\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}$, міститься в нижній або верхній половині іншого інтервалу, на якому функція ${\displaystyle \psi _{n_{2},k_{2}}}$ лишається сталою. Тоді виходить, що добуток цих двох гаарових функцій кратний першій гаарової функції, тож цей добуток має інтеграл 0.

Га́арова систе́ма (англ. Haar system) на дійсній прямій — це множина функцій

${\displaystyle \{1\}\cup \{\psi _{n,k}(t)\;:\;n\in \mathbb {Z} ,\;k\in \mathbb {Z} \}.}$

Вона повна в L²(${\displaystyle \mathbb {R} }$): Гаарова система на прямій це ортонормований базис в L²(${\displaystyle \mathbb {R} }$).

Властивості гаарового вейвлета

Гаарів вейвлет має декілька визначних властивостей:

1. Будь-яку неперервну дійснозначну функцію з компактним носієм можливо рівномірно наблизити лінійними комбінаціями ${\displaystyle \varphi (t),\varphi (2t),\varphi (4t),\dots ,\varphi (2^{n}t),\dots }$ та їхніх зміщених функцій. Це поширюється на ті функційні простори, будь-яку функцію в яких можливо наблизити неперервними функціями.
2. Будь-яку неперервну дійсну функцію на [0, 1] можливо рівномірно наблизити на [0, 1] лінійними комбінаціями сталої функції 1, ${\displaystyle \psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{n}t),\dots }$ та їхніх зміщених функцій.
3. Ортогональність вигляду

   ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }2^{(n+n_{1})/2}\psi (2^{n}t-k)\psi (2^{n_{1}}t-k_{1})\,dt=\delta _{nn_{1}}\delta _{kk_{1}}.}$

   Тут ${\displaystyle \delta _{ij}}$ подає дельту Кронекера. Двоїста функція ψ(t) — це сама ψ(t).
4. Вейвлетні/масштабні функції з різним масштабом n мають функційний взаємозв'язок: оскільки

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\varphi (2t)+\varphi (2t-1)\\[.2em]\psi (t)&=\varphi (2t)-\varphi (2t-1),\end{aligned}}}$

   то виходить, що коефіцієнти масштабу n можливо обчислювати через коефіцієнти масштабу n+1:
   Якщо ${\displaystyle \chi _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\varphi (2^{n}t-k)\,dt}$
   та ${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{n}t-k)\,dt}$
   то

   ${\displaystyle \chi _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)+\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}}$

   ${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)-\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}.}$

Гаарова система на одиничному інтервалі, та пов'язані системи

У цьому розділі обговорення обмежено одиничним інтервалом [0, 1] та гааровими функціями, відмінними від нуля на [0, 1]. Система функцій, розглянута Гааром 1910 року, звана в цій статті га́аровою систе́мою на [0, 1], складається з підмножини гаарових вейвлетів, визначених як

${\displaystyle \{t\in [0,1]\mapsto \psi _{n,k}(t)\;:\;n\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;0\leq k<2^{n}\},}$

з додаванням сталої функції 1 на [0, 1].

В термінах гільбертового простору ця гаарова система на [0, 1] є повною ортонормованою системою, тобто, ортонормованим базисом для простору L²([0, 1]) квадратично інтегровних функцій на одиничному інтервалі.

Гаарова система на [0, 1] — зі сталою функцією 1 як першим елементом, за яким слідують гаарові функції, впорядковані за лексикографічним порядком пар (n, k), — є також ^{[en] [en]} для простору L^p([0, 1]), коли 1 ≤ p < ∞. Цей базис ^[en], коли 1 < p < ∞.

Існує пов'язана ^[en], яка складається з сум гаарових функцій,

${\displaystyle r_{n}(t)=2^{-n/2}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}\psi _{n,k}(t),\quad t\in [0,1],\ n\geq 0.}$

Зауважте, що |r_n(t)| = 1 на [0, 1). Це ортонормована система, але не повна. Мовою теорії ймовірностей, послідовність Радемахера — це примірник послідовності незалежних випадкових величин Бернуллі з середнім 0. ^[en] виражає той факт, що в усіх просторах L^p([0, 1]), 1 ≤ p < ∞, послідовність Радемахера ^[en] базису одиничного вектора в ℓ². Зокрема, ^[en] послідовності Радемахера в L^p([0, 1]), 1 ≤ p < ∞, ^[en] з ℓ².

Система Фабера — Шаудера

Систе́ма Фа́бера — Ша́удера (англ. Faber–Schauder system) — це система неперервних функцій на [0, 1], яка складається зі сталої функції 1, та кратних невизначених інтегралів функцій гаарової системи на [0, 1], обраних так, щоби мати норму 1 в максимум-нормі. Ця система починається з s₀ = 1, тоді s₁(t) = t — невизначений інтеграл, який сходить на 0 функції 1, першого елемента гаарової системи на [0, 1]. Далі для кожного цілого n ≥ 0 функції s_n,k визначено формулою

${\displaystyle s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}\int _{0}^{t}\psi _{n,k}(u)\,du,\quad t\in [0,1],\ 0\leq k<2^{n}.}$

Ці функції s_n,k неперервні, відтинково лінійні, відмінні від нуля на інтервалі I_n,k, на якому також відмінні від нуля ψ_n,k. Функція s_n,k дорівнює 1 у серединній точці x_n,k інтервалу  I_n,k, ліінйна на обох половинах цього інтервалу. Вона всюди набуває значень між 0 та 1.

Система Фабера — Шаудера це ^[en] для простору C([0, 1]) неперевних функцій на [0, 1]. Для кожної f з C([0, 1]) частинна сума

${\displaystyle f_{n+1}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\sum _{m=0}^{n-1}{\Bigl (}\sum _{k=0}^{2^{m}-1}a_{m,k}s_{m,k}{\Bigr )}\in C([0,1])}$

розкладу f ^[en] у системі Фабера — Шаудера — це неперервна відтинково лінійна функція, яка збігається з f в 2ⁿ + 1 точках k2⁻ⁿ, де 0 ≤ k ≤ 2ⁿ. Далі, формула

${\displaystyle f_{n+2}-f_{n+1}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\bigl (}f(x_{n,k})-f_{n+1}(x_{n,k}){\bigr )}s_{n,k}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{n,k}s_{n,k}}$

пропонує спосіб покрокового обчислення розкладу f. Оскільки f рівномірно неперервна, послідовність {f_n} рівномірно збігається до f. Звідси випливає, що розклад f у ряд у системі Фабера — Шаудера збігається в C([0, 1]), а сума цього ряду дорівнює f.

Система Франкліна

Систе́му Фра́нкліна (англ. Franklin system) отримують із системи Фабера — Шаудера ортонормувальною процедурою Грама — Шмідта. Оскільки система Франкліна має таку же лінійну оболонку, як і система Фабера — Шаудера, ця оболонка щільна в C([0, 1]), а отже й у L²([0, 1]). Тому система Франкліна є ортонормальним базисом для L²([0, 1]), який складається з неперервних відтинково лінійних функцій. Ф. Франклін довів 1928 року, що ця система є базисом Шаудера для C([0, 1]). Система Франкліна є також безумовним базисом Шаудера для простору L^p([0, 1]), коли 1 < p < ∞. Система Франкліна забезпечує базис Шаудера в ^[en][] A(D). Це довів 1974 року Бочкарев після того, як існування базису для кругової алгебри залишалося відкритим питанням протягом понад сорока років.

Побудова Бочкарева базиса Шаудера в A(D) відбувається так: нехай f — комплекснозначна ліпшицева функція на [0, π]; тоді f — сума косинусного ряду з абсолютно сумовними коефіцієнтами. Нехай T(f) — елемент A(D), визначений комплексним степеневим рядом з такими же коефіцієнтами,

${\displaystyle \left\{f:x\in [0,\pi ]\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)\right\}\longrightarrow \left\{T(f):z\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad |z|\leq 1\right\}.}$

Базис Бочкарева для A(D) утворюють образи під T функцій системи Франкліна на [0, π]. Еквівалентний опис Бочкарева для відображення T починається з розширення f до парної ліпшицевої функції g₁ на [−π, π], ототожнюваної з ліпшицевою функцією на одиничному колі T. Далі, покладімо, що g₂ — ^[en] g₁, і визначмо T(f) як функцію в A(D), чиє значення на межі T круга D дорівнює g₁ + ig₂.

Маючи справу з 1-періодичними неперервними функціями, а точніше з такими неперервними функціями f на [0, 1], що f(0) = f(1), можливо вилучити функцію s₁(t) = t з системи Фабера — Шаудера, щоб отримати періоди́чну систе́му Фа́бера — Ша́удера (англ. periodic Faber–Schauder system). Періоди́чну систе́му Фра́нкліна (англ. periodic Franklin system) отримують з періодичної системи Фабера — Шаудера шляхом ортонормування. Результат Бочкарева на A(D) можливо довести, довівши, що періодична система Франкліна на [0, 2π] є базисом для банахового простору A_r, ізоморфного A(D). Простір A_r складається з комплексних неперервних функцій на одиничному колі T, чиї ^[en] також неперервні.

Гаарова матриця

Пов'язана з гааровим вейвлетом гаарова матриця (англ. Haar matrix) 2×2 має вигляд

${\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Використовуючи ^[en], можливо перетворити будь-яку послідовність ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})}$ парної довжини на послідовність двоскладових векторів ${\displaystyle \left(\left(a_{0},a_{1}\right),\left(a_{2},a_{3}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)}$. Якщо кожен вектор домножити праворуч на матрицю ${\displaystyle H_{2}}$, буде отримано результат ${\displaystyle \left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)}$ одного етапу швидкого гаарово-вейвлетного перетворення (англ. fast Haar-wavelet transform). Зазвичай послідовності s та d розділяють, і продовжують перетворювати послідовність s. Послідовність s часто називають частиною усереднень, тоді як d відома як частина деталей.

Якщо мають послідовність довжини, кратної чотирьом, то можливо побудувати блоки з 4 елементів та перетворювати їх подібним чином за допомогою гаарової матриці 4×4

${\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},}$

яка поєднує два етапи швидкого гаарово-вейвлетного перетворення.

Порівняйте з ^[en], яка є нелокалізованою матрицею 1/−1.

Загалом, гаарову матрицю 2N×2N можливо вивести наступним рівнянням.

${\displaystyle H_{2N}={\begin{bmatrix}H_{N}\otimes [1,1]\\I_{N}\otimes [1,-1]\end{bmatrix}}}$

де ${\displaystyle I_{N}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}$, а ${\displaystyle \otimes }$ — добуток Кронекера.

Добуток Кронекера ${\displaystyle A\otimes B}$, де ${\displaystyle A}$ це матриця m×n, а ${\displaystyle B}$ — матриця p×q, виражають як

${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\dots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\dots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}$

Нижче показано невнормовану 8-точкову гаарову матрицю ${\displaystyle H_{8}}$

${\displaystyle H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&0&0&0&0&\\0&0&0&0&1&1&-1&-1\\1&-1&0&0&0&0&0&0&\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0&\\0&0&0&0&0&0&1&-1\end{bmatrix}}.}$

Зауважте, що наведена вище матриця це невнормована гаарова матриця. Гаарову матрицю, якої вимагає гаарове перетворення, потрібно унормовувати.

З визначення гаарової матриці ${\displaystyle H}$ можливо побачити, що, на відміну від перетворення Фур'є, ${\displaystyle H}$ має лише дійсні елементи (тобто, 1, -1 та 0), і не симетрична.

Візьмімо 8-точкову гаарову матрицю як приклад. Перший рядок ${\displaystyle H_{8}}$ вимірює усереднене значення, а другий рядок ${\displaystyle H_{8}}$ вимірює низькочастотну складову вхідного вектора. Наступні два рядки чутливі до першої та другої половини вхідного вектора відповідно, що відповідає середньочастотним складовим. Решта чотири рядки чутливі до чвертинних ділянок вхідного вектора, що відповідає високочастотним складовим.

Гаарове перетворення

Га́арове перетво́рення (англ. Haar transform) — це найпростіше вейвлетне перетворення. Це перетворення перехресно множить функцію на гаарів вейвлет з різними зміщеннями та розтягуваннями, як перетворення Фур'є перехресно множить функцію на хвилю синусоїди з двома фазами та багатьма розтягуваннями.^{[: ком.]}

Введення

Гаарове перетворення — це одна з найстаріших функцій перетворень, запропонована 1910 року угорським математиком ^[en]. Вона ефективна в таких застосуваннях як стискання сигналів та зображень в електричній та комп'ютерній інженерії, оскільки пропонує простий та обчислювально ефективний підхід для аналізу локальних аспектів сигналу.

Гаарове перетворення похідне від гаарової матриці. Нижче показано приклад матриці гаарового перетворення 4×4.

${\displaystyle H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

Гаарове перетворення можливо розглядати як процес дискретизації, в якому рядки матриці перетворення діють як вибірки із щоразу тоншою роздільністю.

Порівняйте з перетворенням Уолша, яке також 1/−1, але не локалізоване.

Властивості

Гаарове перетворення має наступні властивості

1. Відсутність потреби в множеннях. Воно вимагає лише додавань, і в гааровій матриці багато елементів з нульвоим значенням, тож обчислення є нетривалим. Воно швидше за перетворення Уолша, чия матриця складається з +1 та −1.
2. Довжини входу та виходу однакові. Проте ця довжина повинна бути степенем 2, тобто ${\displaystyle N=2^{k},k\in \mathbb {N} }$.
3. Його можливо використовувати для аналізу локалізованої ознаки сигналів. Завдяки ортогональній властивості гаарової функції можливо аналізувати частотні складові вхідного сигналу.

Гаарове та обернене гаарове перетворення

Гаарове перетворення y_n n-входової функції x_n це

${\displaystyle y_{n}=H_{n}x_{n}}$

Матриця гаарового перетворення дійсна та ортогональна. Тож обернене гаарове перетворення (англ. inverse Haar transform) можливо отримати наступними рівняннями.

${\displaystyle H=H^{*},H^{-1}=H^{T}}$, тобто ${\displaystyle HH^{T}=I}$

де ${\displaystyle I}$ — одинична матриця. Наприклад, коли n = 4

${\displaystyle H_{4}^{T}H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\cdot \;{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Тож обернене гаарове перетворення це

${\displaystyle x_{n}=H^{T}y_{n}}$

Приклад

Коефіцієнти гаарового перетворення n=4-точкового сигналу ${\displaystyle x_{4}=[1,2,3,4]^{T}}$ можливо знайти як

${\displaystyle y_{4}=H_{4}x_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

Цей вхідний сигнал можливо ідеально відтворити оберненим гааровим перетворенням

${\displaystyle {\hat {x_{4}}}=H_{4}^{T}y_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}}$

Див. також

• Знижування розмірності
• ^[en]
• Перетворення Уолша
• Вейвлет
• ^[en]
• Сигнал
• Гаароподібна ознака
• ^[en]
• ^[en]

Примітки

1. Haar, 1910, с. 361.
2. Lee, B.; Tarng, Y. S. (1999). Application of the discrete wavelet transform to the monitoring of tool failure in end milling using the spindle motor current. International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 15 (4): 238—243. doi:10.1007/s001700050062. S2CID 109908427. (англ.)
3. На відміну від попереднього твердження, цей факт не очевидний: див. Haar, 1910, с. 363.
4. Vidakovic, Brani (2010). Statistical Modeling by Wavelets. Wiley Series in Probability and Statistics (вид. 2). с. 60, 63. doi:10.1002/9780470317020. ISBN . (англ.)
5. див с. 3 у ^[en], L. Tzafriri, (1977), «Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92, Berlin: Springer-Verlag, . (англ.)
6. Цей результат завдячує ^[en], A remarkable series of orthogonal functions (I), Proc. London Math. Soc. 34 (1931) pp. 241—264. (англ.) Див. також с. 155 в J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), «Classical Banach spaces II, Function spaces». Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 97, Berlin: Springer-Verlag, . (нім.)
7. Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), system Orthogonal system, Математична енциклопедія, , ISBN 
8. Walter, Gilbert G.; Shen, Xiaoping (2001). Wavelets and Other Orthogonal Systems. Boca Raton: Chapman. ISBN . (англ.)
9. див., наприклад, с. 66 в ^[en], L. Tzafriri, (1977), «Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92, Berlin: Springer-Verlag, . (англ.)
10. Faber, Georg (1910), «Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar», Deutsche Math.-Ver (in German) 19: 104–112. ISSN 0012-0456; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553 (нім.)
11. Schauder, Juliusz (1928), «Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems», Mathematische Zeitschrift 28: 317–320. (нім.)
12. Golubov, B.I. (2001), system Faber–Schauder system, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN  (англ.)
13. див. Z. Ciesielski, Properties of the orthonormal Franklin system. Studia Math. 23 1963 141—157. (англ.)
14. Franklin system. B.I. Golubov (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655 (англ.)
15. Philip Franklin, A set of continuous orthogonal functions, Math. Ann. 100 (1928), 522—529. DOI:10.1007/BF01448860 (англ.)
16. S. V. Bočkarev, Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system. Mat. Sb. 95 (1974), 3–18 (Russian). Translated in Math. USSR-Sb. 24 (1974), 1–16. (англ.) (рос.)
17. Це питання з'являється на с. 238, § 3 у книзі Банаха, Banach, Stefan (1932), Théorie des opérations linéaires, Monografie Matematyczne, т. 1, Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej, Zbl 0005.20901 (фр.). Кругова алгебра A(D) з'являється як приклад 10, с. 12 книги Банаха.
18. Див. с. 161, III.D.20 та с. 192, III.E.17 в Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Banach spaces for analysts, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 25, Cambridge: Cambridge University Press, с. xiv+382, ISBN  (англ.)
19. Ruch, David K.; Van Fleet, Patrick J. (2009). Wavelet Theory: An Elementary Approach with Applications. John Wiley & Sons. ISBN . (англ.)
20. . Fourier.eng.hmc.edu. 30 жовтня 2013. Архів оригіналу за 21 серпня 2012. Процитовано 23 листопада 2013. (англ.)
21. The Haar Transform (англ.)

Література

• (1910), Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Mathematische Annalen, 69 (3): 331—371, doi:10.1007/BF01456326, hdl:2027/uc1.b2619563, S2CID 120024038 (нім.)
• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, (англ.)
• Англомовний переклад засадничої праці Гаара: (англ.)

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), system Haar system, Математична енциклопедія, , ISBN 
• Free Haar wavelet filtering implementation and interactive demo
• Free Haar wavelet denoising and lossy signal compression

Гаарове перетворення

• Kingsbury, Nick. . Архів оригіналу за 19 квітня 2006. (англ.)
• Eck, David (31 січня 2006). Haar Transform Demo Applets. (англ.)
• Ames, Greg (7 грудня 2002). (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 25 січня 2011. (англ.)
• Aaron, Anne; Hill, Michael; Srivatsa, Anand (6/1/2000). . Архів оригіналу за 18 березня 2008. (англ.)
• Wang, Ruye (4 грудня 2008). . Архів оригіналу за 21 серпня 2012. (англ.)