Адитивна теорія чисел

Адитивна теорія чисел — розділ теорії чисел, що виник під час вивчення задач про розкладання цілих чисел на складові заданого вигляду (наприклад, на прості числа, фігурні числа, ${\displaystyle n-}$і степені тощо).

Серед класичних проблем, дослідження яких заклало фундамент адитивної теорії чисел, можна назвати такі:

• Задача про подання числа сумою чотирьох квадратів та її узагальнення: теорема Ферма про багатокутні числа.
• Задача про подання простого числа у вигляді суми двох квадратів.
• Проблема Гольдбаха.
• Проблема Воринга.
• Гіпотези Поллока.

Сучасна адитивна теорія чисел включає широке коло задач дослідження абелевих груп і комутативних напівгруп з операцією додавання. Адитивна теорія чисел тісно пов'язана з комбінаторною теорією чисел (особливо з адитивною комбінаторикою) і з геометрією чисел, у ній застосовуються аналітичні, алгебричні й імовірнісні методи. В залежності від методів розв'язування, адитивні задачі входять складовою частиною в інші розділи теорії чисел — аналітичну теорію чисел, теорію алгебричних чисел, ^[en].

Історія

Перші систематичні результати в адитивній теорії чисел отримав Леонард Ейлер, який опублікував у 1748 році дослідження (за допомогою степеневих рядів) розкладання натуральних чисел на натуральні доданки; зокрема, він розглянув задачу про розкладання числа на задану кількість доданків і довів ^[en]. У цей же період виникли дві класичні проблеми адитивного типу: проблема Гольдбаха і проблема Воринга, надалі з'явилися десятки нових проблем. Їх вирішення ускладнюється тим, що у формулюваннях одночасно беруть участь кілька базових операцій над натуральними числами — ділення, за допомогою якого визначаються прості числа, множення, яке формує квадрати, куби тощо і додавання.

Для багатьох із цих проблем виявилися корисними такі загальні інструменти, як коловий метод Гарді – Літтлвуда, ^[en] та метод тригонометричних сум В. М. Виноградова. Гільберт довів, що для будь-якого цілого числа ${\displaystyle k>1}$ будь-яке натуральне число є сумою обмеженого числа доданків у степені ${\displaystyle k}$. Лев Шнірельман у 1930 році ввів поняття щільності послідовності натуральних чисел, що дозволило істотно просунутися у вирішенні проблеми Гольдбаха і довести узагальнену теорему Воринга.

1964 року довів важливу ^[en] з галузі адитивної комбінаторики.

Сучасний стан

Підмножина ${\displaystyle B}$ називається (асимптотичним) ^[en] скінченного порядку ${\displaystyle h}$, якщо будь-яке досить велике натуральне число ${\displaystyle n}$ можна записати як суму не більше ніж ${\displaystyle h}$ елементів ${\displaystyle B}$. Наприклад, натуральні числа самі є адитивним базисом порядку 1, оскільки кожне натуральне число тривіально є сумою не більше ніж одного натурального числа. Менш тривіальна теорема Лагранжа про суму чотирьох квадратів, яка показала, що множина квадратних чисел є адитивним базисом четвертого порядку. Інший вельми нетривіальний і широко відомий результат у цьому напрямку — ^[en] про те, що будь-яке досить велике непарне натуральне число можна подати як суму трьох простих чисел.

Багато сучасних досліджень у цій галузі стосуються загальних властивостей асимптотичних базисів скінченного порядку. Наприклад, множина ${\displaystyle A}$ називається мінімальним асимптотичних базисом порядку ${\displaystyle h,}$ якщо ${\displaystyle A}$ є асимптотичним базисом порядку ${\displaystyle h}$, але ніяка власна підмножина ${\displaystyle A}$ не є асимптотичним базисом порядку ${\displaystyle h}$. Доведено, що мінімальні асимптотичні базиси порядку ${\displaystyle h}$ існують для будь-якого ${\displaystyle h}$, а також існують асимптотичні базиси порядку ${\displaystyle h}$, що не містять мінімальних асимптотичних базисів порядку ${\displaystyle h}$.

Розглядається також проблема — наскільки можна зменшити кількість подань ${\displaystyle n}$ у вигляді суми ${\displaystyle h}$ елементів асимптотичного базису. Цьому присвячена досі не доведена ^[en] (1941).

Див. також

• Композиція числа
• ^[en]
• Розбиття числа

Примітки

1. Математическая энциклопедия, 1977, с. 91.
2. Mann, 1976.
3. Tao, 2006.
4. On Euler's Pentagonal Theorem [ 31 січня 2020 у Wayback Machine.] at MathPages.
5. Математическая энциклопедия, 1984, с. 979.
6. Карацуба А. А. Проблема Гильберта — Камке в аналитической теории чисел. Процитовано 1 грудня 2020.
7. Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947 / Под ред. А. Г. Куроша, , . — М.-Л. : , 1948. — С. 56—57.
8. Bell, Jason; Hare, Kathryn; Shallit, Jeffrey (2018), When is an automatic set an additive basis?, , Series B, 5: 50—63, arXiv:1710.08353, doi:10.1090/bproc/37, MR 3835513
9. Карацуба А. А. Эйлер и теория чисел // Современные проблемы математики. Вып. 11. — М. : МИАН, 2008. — С. 19—37. — .
10. Nathanson M. B. Minimal bases and maximal nonbases in additive number theory. — J. Number Theory. — 1974. — Vol. 6, no. 4. — P. 324—333.
11. Grekos G., Haddad L., Helou C., Pihko J. On the Erdős–Turán conjecture. — J. Number Theory. — 2003. — Vol. 102, no. 2. — P. 339—352.

Література

• Аддитивная теория чисел // [1] — М. : Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. з джерела 13 листопада 2013
• Проблемы аддитивной теории простых чисел // Теория чисел. — М. : Просвещение, 1966. — 384 с.
• Гельфанд А. О., Линник Ю. В. Аддитивные свойства чисел // Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М. : Физматгиз, 1962. — 272 с.
• Метод решета // [2] — М. : Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. з джерела 21 січня 2022
• Введение в аналитическую теорию чисел. — М. : Наука, 1971. — 416 с.
• Шнирельман Л. Г. Об аддитивных свойствах чисел // Успехи математических наук. — 1939. — № 6 (16 червня). — С. 9—25.
• (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (вид. Corrected reprint of 1965 Wiley). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN .
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. . . ISBN .
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. . . ISBN .
• Tao, Terence; (2006). Additive Combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 105. Cambridge University Press.

Посилання

• Бредіхін Б. М. Additive number theory [ 21 липня 2020 у Wayback Machine.], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. Адитивна теорія чисел(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.